.. index:: Statistik .. _Statistik: .. _Beschreibende Statistik: Beschreibende Statistik ======================= In der beschreibenden Statistik geht es um die Erfassung, Auswertung und Darstellung von experimentell oder empirisch gewonnenen Daten. Dabei werden eÂndliche Mengen an Objekten hinsichtlich bestimmter Eigenschaften untersucht. Dabei werden allgemein folgende Schritt durchlaufen: * Zunächst müssen in der beschreibenden Statistik alle für die Analyse relevanten Daten vollständig erhoben werden. * Das bei der Daten-Erhebung gewonnene, oftmals sehr umfangreiche Datenmaterial muss als nächstes in eine übersichtliche Form gebracht werden, üblicherweise in eine Tabelle oder eine Graphik. * Anschließend kann mit der Analyse der Daten begonnen werden. Hierbei lassen sich die Daten beispielsweise mittels wichtiger Kennzahlen wie Mittelwert und Streuungsmaß charakterisieren, ebenso können beispielsweise zeitliche Trends oder Abhängigkeiten zwischen mehreren Größen untersucht werden. * Zuletzt können die Ergebnisse der Analyse interpretiert werden. .. Statistische Grundbegriffe .. -------------------------- .. Um Daten bearbeiten und auswerten zu können, brauchst Du zunächst Daten, die .. noch nicht bearbeitet sind. Solche Daten bezeichnet man überlicherweise als "UrListe" .. index:: Merkmal, Merkmalsträger, Ausprägung .. _Merkmale, Merkmalsträger und Grundgesamtheit: .. rubric:: Merkmale, Merkmalsträger und Grundgesamtheit Als (Untersuchungs-)Merkmal wird die interessierende statistische Information bezeichnet. Ein einzelnes Objekt, das dieses Merkmal besitzt, nennt man Merkmalsträger. Die möglichen Werte, die ein Merkmal annehmen kann, heißen Merkmalswerte oder Ausprägungen dieses Merkmals. [#]_ .. Merkmalsträger: Auch statistische Einheit oder Untersuchungseinheit genannt .. Bei Experimenten: Versuchseinheiten, bei Beobachtungsstudien Beobachtungseinheiten .. Merkmale: Auch Variablen genannt. .. index:: Grundgesamtheit Die Menge an Objekten :math:`G`, die hinsichtlich einem oder mehrerer zu untersuchender Merkmale gleichwertig sind, wird als "Grundgesamtheit" oder "Population" bezeichnet. Bei der Festlegung der Grundgesamtheit werden müssen klare Abgrenzungen getroffen werden, beispielsweise müssen räumliche oder zeitliche Einschränkung vorliegen; die Mitglieder der Grundgesamtheit müssen somit nicht nur Träger des Untersuchungsmerkmals sein, sondern auch übereinstimmende Abgrenzungsmerkmale besitzen. *Beispiel:* * Bei einem naturwissenschaftlichen Experiment sind die einzelnen Messungen die Merkmalsträger, die ihrerseits Messdaten als Merkmale enthalten. * Bei einer Inventur werden zu einem bestimmten Zeitpunkt alle Objekte eines räumlich abgegrenzten Bereichs beispielsweise hinsichtlich ihrer Funktionsfähigkeit als Merkmal untersucht. .. Es ist nicht immer eindeutig, wie ein Merkmalsträger zu definieren ist. .. Beispielsweise müsste geklärt werden, ob das Merkmal "ist Mitarbeiter eines .. bestimmten Unternehmens" auch für Praktikanten gilt oder Personen, deren .. Beschäftigungsverhältnis vorübergehend ruht (beispielsweise wegen Mutterschutz). .. In einer sachlichen Abgrenzung müssen derartige Unklarheiten behoben werden. .. Dies kann allerdings einen gewollten Einfluss auf das Ergebnis einer .. statistischen Untersuchung zur Folge haben -- beispielsweise wird diskutiert, ob .. Personen ohne Anstellung, die gerade an einer Umschulung teilnehmen, in der .. Statistik der Arbeitslosen gelistet werden sollen oder nicht. Die Mächtigkeit :math:`n = |G|` der Grundgesamtheit ist gleich der Anzahl ihrer Objekte. In Tabellen werden die einzelnen zu untersuchenden Merkmale häufig einem Buchstaben :math:`\mathrm{A},\, \mathrm{B}\, \ldots` zugeordnet, die einzelnen zu einem jeweiligen Merkmalsträger gehörenden Merkmalswerte werden zeilenweise durchnummeriert und in der jeweiligen Spalte eingetragen. .. Die einzelnen Objekte werden üblicherweise mit einem .. Unterscheidungszeichen ("Schlüssel") :math:`\varepsilon _{\mathrm{i}}` versehen .. (wobei :math:`i` eine Zahl aus der Menge :math:`1,\,2,\,3,\ldots,n` ist). Jeder .. Datensatz, der zu einem einzelnen Objekt gehört, umfasst zusätzlich ein oder .. mehrere Merkmale :math:`(\alpha _{\mathrm{i}})`. .. Merkmal und Merkmalswert .. X Alter Y Geschlecht Z Einkommen .. Geschlecht männlich weiblich .. Familienstand ledig verheiraret geschieden verwitwet .. Einkommen Zahlenwert .. Farbe rot grün blau Meist ist bei einer Daten-Erhebung nicht möglich, alle Mitglieder der Grundgesamtheit zu untersuchen ("Vollerhebung"). In diesem Fall muss sich die Statistik mit einer kleineren, möglichst repräsentativen Stichprobe auskommen und von dieser auf die Gesamtheit schließen. .. _Qualitative und quantitative Merkmale: .. rubric:: Qualitative und quantitative Merkmale Merkmale können allgemein in zwei Gruppen unterteilt werden: .. index:: Merkmal; qualitativ * *Qualitative* Merkmale lassen sich nur verbal beschreiben, es können nur Namen oder Klassenbezeichnungen als Werte vorkommen. .. _Artmäßige Merkmale: Handelt es sich bei den Merkmalswerten um Namen, so spricht man auch von artmäßigen Merkmalen. Beispiele für derartige Merkmale sind Familiennamen, Geschlecht, Farbbezeichnungen, usw. .. _Intensitätsmäßig abgestufte Merkmale: Handelt es sich bei den Merkmalswerten um Klassenbezeichnungen, so spricht man auch von intensitätsmäßig abgestuften Merkmalen. Ein Beispiele hierfür sind Schulnoten ("sehr gut", "gut", usw.). .. _Häufbare Merkmale: Qualitative Merkmale lassen sich zudem in "häufbare" und "nicht häufbare" Merkmale unterscheiden. Ein qualitatives Merkmal ist häufbar, wenn ein Merkmalsträger mehrere Merkmalswerte gleichzeitig aufweisen kann; beispielsweise kann eine Person gegebenenfalls mehrere Berufsausbildungen absolviert haben. Ein qualitatives Merkmal ist nicht häufbar, wenn ein Merkmalsträger nur genau einen Merkmalswert aufweisen kann; beispielsweise hat jede Person genau eine Augenfarbe. .. häufbares Merkmal: Mehrere Merkmalsausprägungen möglich ("Mehrfachnennungen .. möglich) Bsp Farbe, Sprache, ? .. index:: Merkmal; quantitativ * *Quantitative* Merkmale können als Vielfaches einer Einheit ausgedrückt werden, beispielsweise Zeitdauer, Energiebedarf, usw. Können bei einem quantitativen Merkmal nur ganzzahlige Werte auftreten, so spricht man von einem diskreten Merkmal. Ein Beispiel hierfür sind Stückzahlen. .. Weitere Beispiele: Haushaltsgröße, Einwohnerzahl Können bei einem quantitativen Merkmal beliebige Werte auftreten, so spricht man von einem stetigen oder kontinuierlichen Merkmal. Beispiele hierfür sind Zeitdauern, Längenangaben, usw. .. Weitere Beispiele: Benzinverbrauch .. Quasi-stetig: zwar diskret, aber sehr feingradig abgestuft. .. Durch Rundungen oder Bildung von Intervallen kann jede stetige Variable zu .. einer diskreten Variablen gemacht werden. Um eine Vielzahl unterschiedlicher quantitativer Messwerte abzubilden, können diese in einzelne Intervalle zusammengefasst werden. Anstelle (sehr) viele Einzelergebnisse aufzulisten, genügt es damit, die Anzahl an Werten in den einzelnen Intervallen anzugeben. Üblicherweise werden zwischen :math:`5` und :math:`20` einzelne Intervallen mit jeweils gleich großen Intervallen und eindeutig zuzuordnenden Intervallgrenzen gewählt. Durch diese Methode gehen zwar einerseits die statistischen Informationen der Einzelmessungen teilweise verloren, andererseits werden dafür die Ergebnisse "komprimiert" und somit übersichtlicher. .. Skalenniveaus .. _Statistische Mess-Skalen: Statistische Mess-Skalen ------------------------ Mittels einer Mess-Skala können die möglichen Merkmalswerte nach bestimmten Ordnungsprinzipien darstellt werden. Für qualitative Merkmale werden Nominal- oder Ordinalskalen verwendet, für quantitative Merkmale kommen oftmals Intervall- oder Verhältnisskalen zum Einsatz. Im folgenden Abschnitt werden diese Skalen näher beschrieben. .. _Nominalskala: .. rubric:: Nominalskala Eine Nominalskala hat die möglichen Namen eines quantitativen Merkmals als Skalenwerte. Diese werden gleichberechtigt nebeneinander angeordnet. Die einzelnen Namen können zur Unterscheidung von artmäßigen Merkmalen genutzt werden, entsprechen jedoch keiner Rangordnung. Nehmen die einzelnen Namen zu viel Platz ein, so können ihnen auch Abkürzungen oder Nummern als Schlüsselwerte zugewiesen werden. .. Familienstand: ledig, verheiratet, geschieden, verwitwet .. Baden-Württemberg: 08 Bayern: 09 .. nur zwei mögliche Ausprägungen: binäre Variable .. _Ordinalskala: .. rubric:: Ordinalskala Eine Ordinalskala hat die Klassenbezeichnungen eines quantitativen Merkmals als Skalenwerte. Im Gegensatz zu einer Nominalskala sind die einzelnen Klassenbezeichnungen nicht gleichwertig, sondern entsprechen einer Rangordnung in auf- oder absteigender Folge. .. rubric:: Intervall- und Verhältnisskala Bei diesen beiden Skalentypen handelt es sich um metrische Skalen, vergleichbar mit einem Meterstab. Als Skalenwerte werden Vielfache einer Grundeinheit abgetragen. Eine metrische Skala heißt Intervallskala, wenn der Nullpunkt willkürlich gewählt ist; in diesem Fall können zwar Differenzen zwischen zwei Werten sinnvoll interpretiert werden, Quotienten hingegen nicht; Beispielsweise entsprechen :math:`\unit[20]{\degree C}` nicht einer doppelt so hohen Temperatur wie :math:`\unit[10]{\degree C}`, wenn man vom absoluten Temperaturnullpunkt :math:`T_0 = \unit[-273]{\degree C}` ausgeht. Ist der Nullpunkt einer Skala eindeutig festgelegt, so spricht man von einer Verhältnisskala. In diesem Fall sind auch Quotienten von einzelnen Werten sinnvoll interpretierbar. Beispiele hierfür sind Gewichtsangaben, Geldmengen, Stückzahlen, absolute Temperaturangaben usw. .. Alter, Tachostand .. _Graphische Darstellungen statistischer Daten: Graphische Darstellungen statistischer Daten -------------------------------------------- Bisweilen ist es praktisch, statistische Informationen als Diagramme graphisch darzustellen; diese müssen einerseits eindeutig beschriftet sein und sollten andererseits möglichst übersichtlich gestaltet werden. * Bei einem Histogramm werden auf der waagrechten Achse die einzelnen Intervall- oder Klassengrenzen abgetragen. Über den einzelnen Intervallen werden Rechtecke gezeichnet, deren Höhe die absoluten oder relativen Häufigkeiten des jeweiligen Intervalls oder der jeweiligen Klasse darstellen. * Todo: Tortendiagramm, Liniendiagramm, Boxplot usw. .. index:: Messfehler .. _Umgang mit ungenauen Messwerten: Umgang mit ungenauen Messwerten ------------------------------- Als Messfehler werden Differenzen zwischen gemessenen Werten und den unbekannten wahren Werten der jeweiligen Messgrößen bezeichnet. Sie lassen sich grundsätzlich in zwei Arten unterteilen -- in systematische und statistische (zufällige) Fehler. .. rubric:: Systematische Fehler Systematische Fehler entstehen durch mangelhafte Messverfahren, beispielsweise durch defekte Messgeräte, falsche Eichungen, oder Vernachlässigung von störenden Einflussgrößen. Je nach Fehler weichen die gemessenen Werte entweder nach oben oder nach unten von den tatsächlichen Werten ab. Systematische Fehler werden "reproduzierbar" genannt, denn bei erneuten Messvorgängen treten sie unter gleichen Bedingungen erneut auf. Wird der Fehler gefunden, so kann er berücksichtigt und eventuell korrigiert werden. .. rubric:: Statistische Fehler Statistische Fehler entstehen zufällig, beispielsweise durch Schwankungen in Messgeräten oder durch ein ungenaues Ablesen von analogen Messgeräten. Die Abweichungen der gemessenen Werte können unabhängig vom Fehler sowohl nach oben als auch nach unten von den tatsächlichen Werten abweichen. .. Statistisches Rauschen aufgrund diskreter, nicht-kontinuierlicher Messprozesse. .. Messung somit diskrete Folge von Elementarereignissen .. Beispiel Geigerzähler; thermisches Rauschen Statistische Fehler können nicht nie komplett vermieden werden. Die Messgenauigkeit kann jedoch erhöht werden, indem mehrere Messungen oder Stichprobentests unter gleichen Bedingungen durchgeführt werden. Die Summe aller nicht erfassbaren systematischen und zufälligen Fehler ergibt den Größtfehler einer Datenaufnahme beziehungsweise Messung. Setzt sich ein Ergebnis rechnerisch aus mehreren gemessenen Größen zusammen, so hat auch dieses einen Fehler, der sich aus den Fehlern der Einzelgrößen ergibt. Dabei gelten für verschiedene Rechenoperationen verschiedene Regeln: * Bei Summen und Differenzen (also :math:`y = x_1 + x_2` oder :math:`y = x_1 -x_2`) werden die Absolutfehler der Einzelgrößen quadriert und addiert; die Quadratwurzel aus diesem Wert liefert schließlich den Fehler der Ergebnisgröße: .. math:: \Delta y = \sqrt{(\Delta x_1)^2 + (\Delta x_2)^2} * Bei Produkten und Quotienten (also :math:`y = x_1 \cdot x_2` oder :math:`y = x_1 : x_2`) werden die relativen Fehler unter der Wurzel quadratisch addiert: .. math:: \frac{\Delta y}{y} = \sqrt{\left(\frac{\Delta x_1}{x_1}\right)^2 + \left(\frac{\Delta x_2}{x_2}\right)^2} * Bei Potenzen und Wurzeln (also :math:`y = x_1^{x_2}`) wird der relative Fehler von y bestimmt durch .. math:: \frac{\Delta y}{y} = x_2 \cdot \frac{\Delta x_1}{\;x_1} Dies gilt auch für :math:`x_2 < 1` (Wurzeln). .. _Mittelwerte und Streuungsmaße: Mittelwerte und Streuungsmaße ----------------------------- Nicht nur bei der Fehlerrechnung hat man bei statistischen Analysen als Ziel, die Gesamtheit aller Merkmalswerte mit einigen charakteristischen Größen zusammenzufassen; diese sollten beispielsweise einen durchschnittlichen Wert sowie die Streuung der Merkmalswerte um diesen Durchschnittswert beziffern. .. index:: Mittelwert .. _Mittelwerte: Mittelwerte ^^^^^^^^^^^ Mit "Mittelwert" bezeichnet man umgangssprachlich meist das so genannte arithmetische Mittel; bisweilen sind allerdings auch andere Durchschnittswerte wie Median- oder Modalwerte besser zur Beschreibung einer Häufigkeitsverteilung geeignet. .. index:: Mittelwert; artithmetisches Mittel .. _Mittelwert: .. _Arithmetisches Mittel: .. _Arithmetischer Mittelwert: Arithmetisches Mittel ''''''''''''''''''''' Hat man eine Folge von :math:`n` gemessenen Elementarereignissen vorliegen, so schwanken die Messwert :math:`x_i` der Ereignisse um den Mittelwert :math:`\bar{x}`, der folgendermaßen definiert ist: .. math:: :label: eqn-arithmetisches-mittel \bar{x} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} x_{\mathrm{i}} Der Mittelwert :math:`\bar{x}` wird auch als "arithmetisches Mittel" der Zahlenfolge bezeichnet. Die Abweichungen der einzelnen Ereignisse :math:`x_{\mathrm{i}}` von diesem Mittelwert betragen: .. math:: \Delta x_{\mathrm{i}} = x_{\mathrm{i}} - \bar{x} Der Mittelwert ist zwar anschaulich und einfach zu berechnen, allerdings empfindlich gegen unerwartet hohe beziehungsweise niedrige Merkmalswerte, so genannte "Ausreißer". .. _Gewichtetes arithmetisches Mittel: .. rubric:: Gewichtetes arithmetisches Mittel Das gewichtete (arithmetische) Mittel ist arithmetische Mittel einer Häufigkeitsverteilung. Man verwendet diesen Wert, wenn die Merkmalswerte mit unterschiedlichen Häufigkeiten gewichtet sind. Um das gewichtete Mittel zu berechnen, multipliziert man zunächst die unterschiedlichen Merkmalswerte :math:`x_{\mathrm{i}}` mit ihrer jeweiligen :ref:`Häufigkeit ` :math:`z_{\mathrm{i}}`; anschließend addiert man alle resultierenden Produkt-Werte und teilt das Ergebnis durch die Anzahl :math:`n` aller Messungen: .. math:: :label: eqn-gewichtetes-mittel \bar{x} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} z_{\mathrm{i}} \cdot x_{\mathrm{i}} Hat man anstelle der (absoluten) Häufigkeiten :math:`z_{\mathrm{i}}` die relativen Häufigkeiten :math:`h_{\mathrm{i}} = \frac{z_{\mathrm{i}}}{n}` gegeben, so genügt es, diese mit den jeweiligen Merkmalswerten :math:`x_{\mathrm{i}}` zu multiplizieren und die resultierenden Produkte zu addieren: .. math:: :label: eqn-gewichtetes-mittel-relative-haeufigkeiten \bar{x} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} z_{\mathrm{i}} \cdot x_{\mathrm{i}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{z_i}{n} \cdot x_i = \sum_{i=1}^{n} h_{\mathrm{i}} \cdot x_{\mathrm{i}} *Beispiel:* * Bei der Statistischen Erhebung "Mikrozensus 2015" hat sich die in der folgenden Tabelle dargestellte Häufigkeitsverteilung für die Anzahl an Kindern (unter :math:`18` Jahren) in Haushalten und Familien ergeben (Quelle: `Destatis `__). Wie viele Kinder gibt es durchschnittlich je Familie? .. list-table:: :name: tab-gewichtetes-mittel-beispiel :widths: 50 50 * - Kinder je Haushalt - Anzahl :math:`z` an Familien in :math:`1000` * - :math:`0` - :math:`3\,376` * - :math:`1` - :math:`4\,251` * - :math:`2` - :math:`2\,916` * - :math:`3` - :math:`697` * - :math:`4` - :math:`126` * - :math:`5 \text{ (oder mehr) }` - :math:`42` * - :math:`\text{Insgesamt}` - :math:`11\,408` .. Excel-Sheet Nr. 2-2-0 Da die unterschiedlichen Kinder-Anzahlen unterschiedlich gewichtet sind, muss zur Bestimmung des Durchschnittwerts mit der Formel für das gewichtete arithmetische Mittel gerechnet werden: .. math:: \bar{x} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} z_{\mathrm{i}} \cdot x_{\mathrm{i}} .. math:: \bar{x} = \frac{1}{11\,408} \cdot \left( 3\,376 \cdot 0 + 4\,251 \cdot 1 + 2\,916 \cdot 2 + 697 \cdot 3 + 126 \cdot 4 + 42 \cdot 5 \right) \approx 1,13 Je Familie gibt es in Deutschland somit durchschnittlich (nur) rund :math:`1,13` Kinder unter :math:`18` Jahren. .. Excel-Sheet Nr. 5-1-1 .. Familien gesamt 11408 .. Ohne Kinder unter 18 Jahren 3 376 .. 1 Kind unter 18 Jahren 4 251 .. 2 Kinder unter 18 Jahren 2 916 .. 3 Kinder unter 18 Jahren 697 .. 4 Kinder unter 18 Jahren 126 .. 5 Kinder und mehr u. 18 42 .. index:: Mittelwert; geometrischse Mittel .. _Geometrisches Mittel: Geometrisches Mittel '''''''''''''''''''' Sind die Merkmalswerte relative Änderungen, wie es beispielsweise bei Wachstumraten oder Leistungssteigerungen der Fall ist, so wird bevorzugt das geometrische Mittel :math:`\bar{x}_{\mathrm{G}}` als Durchschnittswert verwendet. Sie die einzelnen Merkmalswerte :math:`x_1,\,x_2,\,\ldots,\,x_{\mathrm{n}}` allesamt positiv, so kann das geometrische Mittel :math:`\bar{x}_{\mathrm{G}}` folgendermaßen berechnet werden: .. Dies gilt ebenfalls, wenn beispielsweise mittlere Arbeits- oder .. Wartezeiten berechnet werden sollen. .. math:: :label: eqn-geometrisches-mittel \bar{x}_{\mathrm{G}} = \sqrt{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_{\mathrm{n}}} .. Beispiel nach Sachs2006, S.77 *Beispiel:* * In einer bestimmten Bakterien-Kultur erhöhte sich in drei Tagen die Zahl der Bakterien pro Einheit von :math:`100` auf :math:`700`. Gefragt ist nach der durchschnittlichen prozentualen Zunahme (je Tag). Die durchschnittliche Zunahme soll mit :math:`x` bezeichnet werden. Für die Zahl der Bakterien nach dem ersten Tag ergibt sich damit: .. math:: 100 + 100 \cdot x = 100 \cdot (1 + x) Für den zweiten Tag ist der Wert :math:`100 \cdot (1+x)` der neue Ausgangswert. Stellt man die obige Gleichung für den zweiten Tag auf, so muss also lediglich :math:`100` durch :math:`100 \cdot (1+x)` ersetzt werden. Man erhält als Anzahl der Bakterien nach dem zweiten Tag: .. math:: 100 \cdot (1+x) + 100 \cdot (1+x) \cdot x = 100 \cdot (1 + x)^2 {\color{white} \qquad \qquad \qquad \quad \,.} Hierbei wurde zunächst der gemeinsame Faktor :math:`100` ausgeklammert und anschließend der resultierende Term zusammengefasst: :math:`100 \cdot [(1+x) + (1+x)\cdot x] = 100 \cdot (1 +x +x + x^2)`. Der Term in der Klammer kann als :math:`(1 + 2 \cdot x + x^2)` geschrieben werden und entspricht somit der binomischen Formel :math:`(1+x)^2`. Für den dritten Tag erhält man mit :math:`100 \cdot (1+x)^2` als neuem Ausgangswert: .. math:: 100 \cdot (1+x)^2 + 100\cdot (1+x)^2 \cdot x = 100 \cdot (1+x)^3 {\color{white} \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\;.} Hierbei wurde zunächst wiederum der gemeinsame Faktor :math:`100` ausgeklammert und anschließend der resultierende Term in der Klammer ausmultipliziert. Man erhält so :math:`100 \cdot \left[ (1 + 2 \cdot x + x^2) +(x+ 2\cdot x^2 + x^3) \right]`, was sich zu :math:`100 \cdot (1 + 3 \cdot x +3\cdot x^2 + x^3)` zusammenfassen lässt; dies entspricht wiederum der binomischen Formel :math:`(1+x)^3`. Der Wert des letzten Ausdrucks soll gemäß der Angabe gleich :math:`500` sein; es muss also gelten: .. math:: 100 \cdot (1 + x)^3 &= 700 \\ \Rightarrow (1 + x)^3 &= \frac{700}{100} \\ (1 + x) &= \sqrt[3]{\frac{700}{100}} \\ x &= \sqrt[3]{\frac{700}{100}} - 1 \approx 0,91 \\ Die durchschnittliche Wachstumsrate beträgt somit rund :math:`91\%`. Es kann gezeigt werden, dass das geometrische Mittel einer Merkmals-Reihe der Länge :math:`n` allgemein nach diesem Prinzip berechnet werden kann: .. math:: :label: eqn-geometrisches-mittel-anfangswert-endwert \bar{x}_{\mathrm{G}} = \sqrt[n]{\frac{\text{Endwert}}{\text{Anfangswert}}} Hat ein Merkmal zu Beginn der Messungen einen Wert :math:`w_1`, so erhält man allgemein bei einem gleichmäßigen Wachstum über :math:`n` Zeitschritte den neuen Wert :math:`w_2` gemäß folgender Formel: .. math:: w_2 = w_1 \cdot (1 + x)^n Hierbei bezeichnet :math:`x` wiederum die Zuwachsrate je Zeitschritt. .. Beispiel nach Sachs2006, S.77 *Beispiel:* * Der Wert einer Aktie, deren Kaufpreis :math:`\unit[50]{Eur}` betrug, stieg im ersten Jahr auf :math:`\unit[70]{Eur}`, fiel jedoch im zweiten Jahr auf :math:`\unit[40]{Eur}`. Wie groß ist die mittlere Wachstumsrate? Für die relative Wachstumsrate :math:`x_1` im ersten Jahr gilt: .. math:: x_1 = \frac{70}{50} = 1,4 Für die relative Wachstumsrate :math:`x_2` im zweiten Jahr gilt dafür: .. math:: x_2 = \frac{40}{70} \approx 0,5714 Für das geometrische Mittel :math:`\bar{x}_{\mathrm{G}}` zwischen diesen beiden Werten beträgt: .. math:: \bar{x}_{\mathrm{G}} = \sqrt{x_1 \cdot x_2} = \sqrt{1,4 \cdot 0,5714} \approx 0,8944 Der Wert des geometrischen Mittels ist in diesem Fall kleiner als :math:`1`, was eine Verringerung des ursprünglichen Werts bedeutet. Die jährliche "Wachstumsrate" beträgt also :math:`0,8944 - 1 \approx -0,1056`, also rund :math:`-10,56\%`. Wie man an den beiden Beispielen erkennen kann, wird das geometrische Mittel vor allem zur Bestimmung des Durchschnittswertes von Verhältniszahlen genutzt, wobei die Veränderungen meist in jeweils gleichen zeitlichen Abschnitten angegeben sind. .. index:: Mittelwert; harmonisches Mittel .. _Harmonisches Mittel: Harmonisches Mittel ''''''''''''''''''' Das harmonische Mittel wird dann verwendet, wenn die Merkmalswerte in Form von Quotienten vorliegen, wie dies beispielsweise bei der Berechnung von Durchschnitts-Geschwindigkeiten oder Bevölkerungsdichten der Fall ist. Die einzelnen Merkmalswerte :math:`x_1,\,x_2,\,\ldots,\,x_{\mathrm{n}}` müssen allesamt positiv oder allesamt negativ sein; das harmonische Mittel :math:`\bar{x}_{\mathrm{H}}` lässt sich dann schrittweise folgendermaßen berechnen: * Man dividiert die einzelnen Merkmalswerte :math:`x_{\mathrm{i}}` durch ihre jeweiligen (absoluten) Häufigkeiten :math:`z_{\mathrm{i}}` und bildet dabei jeweils die Kehrwerte der Ergebnisse. * Alle so erhaltenen Kehrwerte werden aufsummiert und der Kehrwert dieser Summe gebildet. * Der Kehrwert dieser Summe wird mit der Anzahl :math:`n = \sum_{}^{} z_{\mathrm{i}}` multipliziert. Die Formel zur Berechnung des harmonischen Mittels lautet also: .. math:: :label: eqn-harmonisches-mittel \bar{x}_{\mathrm{H}} = \frac{z_1 + z_2 + \ldots}{\frac{z_1}{x_1} + \frac{z_2}{x_2} + \ldots} = \frac{\sum_{}^{} z_{\mathrm{i}}}{\sum_{}^{} \frac{z_{\mathrm{i}}}{x_{\mathrm{i}}} } *Beispiele:* * Ein Fahrradfahrer fährt eine :math:`\unit[5]{km}` lange Strecke zunächst mit :math:`\unit[10]{km/h}` bergauf, anschließend mit :math:`\unit[30]{km/h}` bergab. Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit des Fahrers? Die beiden auftretenden Merkmalswerte sind :math:`x_1 = \unit[10]{km/h}` und :math:`x_2 = \unit[30]{km/h}`; sie treten mit den Häufigkeiten :math:`z_1 = z_2 = \unit[5]{km}` auf. Da es sich bei den Merkmalswerten um Quotienten handelt, muss zur Berechnung des Durchschnittswertes auf das harmonische Mittel zurückgegriffen werden: .. math:: \bar{x}_{\mathrm{H}} = \frac{z_1 + z_2}{\frac{z_1}{x_1} + \frac{z_2}{x_2}} = \frac{\unit[(5 + 5)]{km}}{\frac{\unit[5]{km}}{\unit[10]{\frac{km}{h}}} + \frac{\unit[5]{km}}{\unit[30]{\frac{km}{h}}} } = \unit[15]{km/h} Die geringe Geschwindigkeit fällt stärker ins Gewicht, da der Fahrer bergauf mehr Zeit benötigt als bergab. .. (5+5) / ( (5/30) + (5/10) ) * Die Bevölkerungszahlen der Bundesländer Bayern und Baden-Württemberg sind in der folgenden Tabelle dargestellt (Quelle: `Wikipedia `__, Stand: Dezember 2016). Wie viel Einwohner je :math:`\unit{km^2}` gibt es durchschnittlich in diesen beiden Ländern? +-------------------+-------------------------------+----------------------+----------------------------------+ | Land | Fläche in :math:`\unit{km^2}` | Einwohner | Einwohner je :math:`\unit{km^2}` | +-------------------+-------------------------------+----------------------+----------------------------------+ | Baden-Württemberg | :math:`35\,751` | :math:`10\,879\,618` | :math:`304` | +-------------------+-------------------------------+----------------------+----------------------------------+ | Bayern | :math:`70\,550` | :math:`12\,843\,514` | :math:`182` | +-------------------+-------------------------------+----------------------+----------------------------------+ Sind auch die absoluten Einwohnerzahlen bekannt, so kann man diese aufsummieren und das Resultat durch die Gesamtfläche dividieren. Kennt man hingegen nur die Einwohnerzahlen je :math:`\unit{km^2}`, so kann man zur Berechnung des Durchschnittswerts die Formel für das harmonische Mittel verwenden: .. math:: \bar{x}_{\mathrm{H}} = \frac{z_1 + z_2}{\frac{z_1}{x_1} + \frac{z_2}{x_2}} = \frac{\unit[(35\,751 + 70\,550)]{km^2}}{\frac{\unit[35\,751]{km^2}}{\unit[304]{\frac{1}{km^2}}} + \frac{\unit[70\,550]{km^2}}{\unit[182]{\frac{1}{km^2}}} } \approx \unit[210,4]{\frac{1}{km^2}} Die durchschnittliche Bevölkerungsdichte in diesen beiden Bundesländern liegt somit unterhalb des Durchschnittwerts für ganz Deutschland (laut obiger Quelle rund :math:`\unit[230]{\frac{1}{km^2}}`, Stand: Dezember 2016). Wie man an den Beispielen erkennen kann, wird das harmonische Mittel dann verwendet, wenn die Gewichtungen in der gleichen Einheit vorliegen wie der Zähler oder der Nenner des Merkmals. .. weitere Beispiele: Durchflussrate in l/h, Stückzahlen in Stck/h, usw. .. _Median: Median '''''' Wesentlich unempfindlicher gegenüber Ausreißern ist der so genannte Medianwert. Sortiert man alle Merkmalswerte in aufsteigender Reihenfolge, so entspricht der Medianwert genau dem Wert, der sich in der Mitte dieser Liste befindet. * Bei einer Liste mit einer *ungeradzahligen* Anzahl von :math:`n` Elementarereignissen entspricht der mittlere Platz der Position :math:`\frac{n+1}{2}` in der Liste; der Medianwert entspricht somit dem Wert :math:`x_{\mathrm{\left[\frac{n+1}{2}\right]}}^{\phantom{X}}` der Liste: .. math:: Me = x_{\mathrm{\left[\frac{n+1}{2}\right]}} * Bei einer Liste mit einer *geradzahligen* Anzahl von :math:`n` Elementarereignissen entspricht der Median dem Durchschnitt aus den beiden mittig gelegenen Werten: .. math:: Me = \frac{1}{2} \cdot \big( x_{\mathrm{\left[\frac{n+1}{2}\right]}} + x_{\mathrm{\left[\frac{n+1}{2}\right]}} \big) Der Median ist somit ebenfalls schnell und einfach zu bestimmen. .. _Modalwert: Modalwert ''''''''' Der Modalwert, bisweilen auch "Modus" genannt, gibt den Wert einer Messreihe an, der am häufigsten beobachtet wurde. Üblicherweise wird der Modalwert nur dann verwendet, wenn sich die damit verbundene Häufigkeit deutlich von den restlichen Häufigkeiten unterscheidet; der Modalwert sollte also ein herausragender Wert sein. Da die restlichen Merkmalswerte unberücksichtigt bleiben, wird der Modalwert von Ausreißern nicht beeinflusst. .. Der Modalwert ist für nominalskalierte Merkmale der einzig mögliche Mittelwert. .. _Streuungsmaße: Streuungsmaße ^^^^^^^^^^^^^ Zusätzlich zum Mittelwert sollte stets (mindestens) ein Streuungsmaß angegeben werden, das angibt, wie stark die tatsächlichen Merkmalswerte vom Mittelwert abweichen. Beispielsweise sind bei "genauen" Messungen die Abweichungen nur gering, während sie sich bei "ungenauen" Messungen über einen größeren Skalenbereich erstrecken. .. _Spannweite und Quartile: .. rubric:: Spannweite und Quantile Als Spannweite :math:`R`, im Englischen "range" genannt, bezeichnet man die Differenz aus dem größten und dem kleinsten beobachteten Merkmalswert: .. math:: R = x_{\mathrm{max}} - x_{\mathrm{min}} Die Spannweite ist zwar ein einfaches und anschauliches Streuungsmaß, gibt allerdings keine näheren Informationen über die konkrete Verteilung der Merkmalswerte an und ist zudem anfällig gegenüber so genannten "Ausreißern", also einzelnen ungewöhnlich niedrigen oder hohen Werten. Besser geeignet sind daher meist so genannte Quantils-Angaben: Hierbei sortiert man zunächst alle Merkmalswerte ihrer Größe nach und untergliedert diese dann in mehrere Teile: * Bei Quartilen wird die Gesamtheit aller Merkmalswerte in vier gleich große Bereiche unterteilt. * Bei Dezilen wird die Gesamtheit aller Merkmalswerte in zehn gleich große Bereiche unterteilt. Die Berechnung der einzelnen Quantile erfolgt in ähnlicher Weise wie die Berechnung des :ref:`Median `-Werts; beispielsweise gibt das erste Quartil an, dass :math:`25\%` aller Merkmalswerte kleiner und folglich :math:`75\%` aller Werte größer als der Wert des ersten Quartils sind. [#]_ Der Wert des zweiten Quartils gibt entsprechend an, dass :math:`50\%` der Merkmalswerte kleiner beziehungsweise größer als dieser Wert sind; dieser Wert ist somit mit dem Median-Wert identisch. .. _Standardabweichung: .. rubric:: Standardabweichung Als Schwankungsbreite wird gewöhnlich die Wurzel aus der mittleren quadratischen Abweichung vom Mittelwert angegeben. Diese Größe wird Standardabweichung :math:`\sigma` genannt: .. math:: \sigma = \sqrt{\frac{1}{n-1} \cdot \sum_{i=1}^{n} (x_{\mathrm{i}} - \bar{x})^2} Die Standardabweichung ist, abgesehen von statistischen Schwankungen, unabhängig von der Anzahl :math:`n` der Einzelmessungen. ... to be continued ... .. Für zufällig stattfindende Elementarereignisse gilt nach dem Gesetz der großen .. Zahl im Grenzfall :math:`n \to \infty`: .. .. math:: .. \sigma = \sqrt{\bar{x}} .. Können systematische Messfehler ausgeschlossen werden, so wird bisweilen auch .. die Standardabweichung des Mittelwerts angegeben: .. .. math:: .. \bar{s} = \sqrt{\frac{1}{n \cdot (n-1)} \cdot \sum_{i=1}^{n} .. (x_{\mathrm{i}} - \bar{x})^2} .. Die Angabe von :math:`\bar{s}` fällt bei gleichen Vorgaben wesentlich kleiner .. aus als :math:`` .. der gemessenen Elementarereignisse zu. In diesem Fall gilt: .. .. absoluter relativer Fehler (siehe Bergmann-Schäfer - Mechanik) .. .. rubric:: Mittlere absolute Abweichung .. Anfällig gegenüber Ausreisern, ansonsten einfach und anschaulich. .. raw:: html
.. only:: html .. rubric:: Anmerkungen: .. [#] Ein Merkmal kann auch als eine Abbildung :math:`X: G \to M` aufgefasst werden, welche die einzelnen Merkmalsträger :math:`g \in G` auf Ausprägungen :math:`m \in M` abbildet: .. math:: X(g) = m Eine derartige Abbildung ist nicht zwingend eindeutig: Ein Merkmalsträger kann mehrere Merkmals-Ausprägungen aufweisen; beispielsweise kann eine Person in mehreren Vereinen aktiv sein, mehrere Sprachen sprechen usw. .. [#] Zur Berechnung des ersten Quartilswert prüft man, ob man bei einer Merkmalsliste der Länge :math:`n` für den Term :math:`\frac{n+1}{4}` eine ganzzahlige Zahl erhält. Ist dies der Fall, so gilt für den ersten Quartilswert: .. math:: q_1 = x_{\mathrm{ \left[ \frac{n+1}{4} \right] }} Ist :math:`\frac{n+1}{4}` nicht ganzzahlig ist, so interpoliert man zwischen diesem und dem darauf folgenden Wert. Bezeichnet man den Nachkomma-Anteil von :math:`\frac{n+1}{4}` mit :math:`R`, so ergibt sich als Formel für den ersten Quartilswert: .. math:: q_1 = x_{\mathrm{ \left[ \frac{n+1}{4} \right] }} + R \cdot \left( x_{\mathrm{ \left[ \frac{n+1}{4} + 1 \right] }} - x_{\mathrm{ \left[ \frac{n+1}{4} \right] }} \right) .. raw:: html
.. hint:: Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Übungsaufgaben `.