Eigenschaften von Funktionen¶

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Eigenschaften von Funktionen.

Stetigkeit

Eine Funktion $f(x)$ ist genau dann an einer Stelle $x_0$ stetig, wenn dort ihr linksseitiger und ihr rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen. Bei der stufenweise definierten Funktion gilt für den linksseitigen Grenzwert an der Stelle $x_0 = 1$ :

$\lim _{\substack{x \to x_0, \\ x < x_0}} f(x) = \lim _{\substack{x_0 \to 1, \\ x < 1}} \left(1 - x^2\right) = 0$

Für den rechtsseitigen Grenzwert gilt:

$\lim _{\substack{x \to x_0, \\ x > x_0}} f(x) = \lim _{\substack{x_0 \to 1, \\ x > 1}} \left(x - 1\right) = 0$

Beide Grenzwerte stimmen überein und sind mit dem Funktionswert $f(x_0)$ an der Stelle $x_0$ identisch. Damit ist die Funktion $f(x)$ an dieser Stelle stetig.

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Die Funktion $f(x) = \frac{1}{x^2}$ ist als Hyperbelfunktion an jeder Stelle außer $x_0 = 0$ stetig. An dieser Stelle ist die Funktion nicht definiert, somit kann an dieser Stelle auch keine Aussage über ihre Stetigkeit getroffen werden.

Die Funktion $f(x)$ ist also an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs und somit global stetig.

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