Integralrechnung¶

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Integralrechnung.

Integrationsmethoden

Bei dieser Aufgabe entspricht die Variable $x$ der Zeit $t$ . Dies kommt bei physikalischen Aufgaben so häufig vor, dass eigens die Notation $\dot{f} \equiv \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}$ anstelle von $f' \equiv \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ eingeführt wurde.

Da die Zu- beziehungsweise Abflussmenge in den jeweiligen Zeitabschnitten konstant ist, kann die im Waschbecken enthaltene Wassermenge sehr einfach berechnet werden. Hierbei wird folgende Integralregel verwendet:

$f(x) = c \quad \Longleftrightarrow \quad F(x) = c \cdot x$

Wendet man diese Regel an (mit $t$ anstelle von $x$ als Variable) auf den konstanten Volumenstrom $\dot{V}_1$ an, so ergibt sich mit $t_0=0$ für die im Waschbecken enthaltene Wassermenge am Ende des ersten Zeitabschnitts:

$\int_{t_0}^{t_1} \dot{V}_1 \cdot \mathrm{d}t = \big( \dot{V}_1 \cdot t \big) \Big | _{\mathrm{t_1}} ^{t_2} = \dot{V}_1 \cdot t_1 - \dot{V}_1 \cdot t_0 = \unit[0,3]{\frac{l}{s}} \cdot \unit[30]{s} = \unit[9,0]{l}$

Der zweite Term $\dot{V}_1 \cdot t_0$ ergibt hierbei den Wert Null, da $t_0 = 0$ ist. Zum Zeitpunkt $t_1$ sind somit neun Liter Wasser im Waschbecken enthalten.

Im Zeitraum zwischen $t_1$ und $t_2$ ist der Zu- beziehungsweise Ablauf verschlossen und somit der fließende Volumenstrom gleich Null. Die im Zeitraum zwischen $t_2$ und $t_3$ abfließende Wassermenge kann wiederum nach dem obigen Prinzip berechnet werden; es muss lediglich das negative Vorzeichen des Volumenstroms berücksichtigt werden.

$\int_{t_2}^{t_3} \dot{V}_2 \cdot \mathrm{d}t = \big( \dot{V}_2 \cdot t \big) \Big | _{\mathrm{t_2}} ^{t_3} = \dot{V}_2 \cdot t_3 - \dot{V}_3 \cdot t_2 = \dot{V}_2 \cdot (t_3 - t_2) = \unit[-1,2]{\frac{l}{s}} \cdot \unit[(50-45)]{s} = \unit[-6,0]{l}$

Die resultierende Wassermenge ergibt sich aus der Addition beider Integrale:

$V_{\mathrm{ges}} = \int_{t_0}^{t_1} \dot{V}_1 \cdot \mathrm{d}t + \int_{t_2}^{t_3} \dot{V}_2 \cdot \mathrm{d}t = \unit[(9,0-6,0)]{l} = \unit[3,0]{l}$

Unter den angegebenen Bedingungen werden zum Zeitpunkt $t_3$ somit drei Liter Wasser im Waschbecken sein.

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Das Integral $\int_{0}^{1} x \cdot e^x \cdot \mathrm{d} x$ kann am Einfachsten mittels einer partiellen Integration berechnet werden, indem man sich die gegebene Funktion in der Gestalt $f(x) = f_1(x) \cdot f_2'(x)$ denkt; hierbei soll $f_1(x) = x$ und $f_2'(x) = e^x$ gesetzt werden.

Für eine partielle Integration gilt allgemein:

$\int_{a}^{b} f_1(x) \cdot f_2'(x) = \Big(f_1(x) \cdot f_2(x)\Big)\Big|_{\mathrm{a}}^b - \int_{a}^{b} f_1'(x) \cdot f_2(x) \cdot \mathrm{d}x$

Zur Berechnung des Integrals muss somit die Ableitung der Funktion $f_1(x)$ sowie die Stammfunktion der Funktion $f_2(x)$ gefunden werden:

$f_1(x) = x \quad\; &\Longleftrightarrow \quad f_1'(x) \,= 1 \\ f_2'(x) = e^x \quad &\Longleftrightarrow \quad F_2(x) = e^x \\$

Somit ergibt sich:

$\int_{0}^{1} x \cdot e^x \cdot \mathrm{d} x = \left( x \cdot e^x \right) \Big| _0^1 - \int_{0}^{1} 1 \cdot e^{x} \cdot \mathrm{d}x$

Das Integral $\int_{0}^{1} 1 \cdot e^{x} \cdot \mathrm{d}x$ kann unmittelbar als $e^x\big|_0^1$ geschrieben werden, da die Stammfunktion zu $e^x$ wiederum $e^x$ ist. Damit erhält man für die obige Gleichung:

$\int_{0}^{1} x \cdot e^x \cdot \mathrm{d} x &= \left( x \cdot e^x \right) \Big| _0^1 - e^x\Big| _0^1 \\ &= \, \Big( x \cdot e^x - e^x \Big) \; \Big| _0^1 \\ &= \, \Big( (x - 1) \cdot e^x \Big) \Big|_0^1$

Die beiden Terme dürfen in der zweiten Zeile zusammen gezogen werden, da für beide die gleichen Integrationsgrenzen gelten. Zur Auswertung müssen diese nun noch eingesetzt werden. Damit erhält man:

$\int_{0}^{1} x \cdot e^x \cdot \mathrm{d} x = \Big((1-1) \cdot e^1 \Big) - \Big((0-1) \cdot e^0 \Big) = 1$

Das Integral ergibt wegen $e^0 = 1$ somit den Wert $1$ .

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