Bruchrechnung

Für das Rechnen mit Bruchtermen gelten prinzipiell die gleichen Regeln wie für das Rechnen mit Bruchzahlen. Als Besonderheit ist allerdings stets darauf zu achten, dass der Nenner des Bruchs nicht den Wert Null annehmen darf, da eine Division durch Null nicht definiert ist. Diese Bedingung lässt sich gegebenenfalls durch eine Beschränkung des Definitionsbereichs der im Nenner auftretenden Variablen erreichen.

Erweitern und Vereinfachen

Ein Bruchterm \frac{z}{n} lässt sich jederzeit erweitern, indem sowohl der Zähler z wie auch der Nenner n mit dem gleichen Faktor c \ne 0 multipliziert werden. Es gilt somit:

\frac{z}{n} = \frac{c \cdot z}{c \cdot n}

Ein Bruchterm lässt sich ebenso in umgekehrter Weise vereinfachen („kürzen“), wenn sowohl der Zählerterm wie auch der Nennerterm einen gleichen Faktor c (oder mehrere gleiche Faktoren c_1, c_2 usw.) beinhalten.

Beispiele:

\frac{3 \cdot a^2 \cdot b }{9 \cdot b^3 } = \frac{3 \cdot b \cdot \;\; a^2 \phantom{\;\;}}{3 \cdot b \cdot 3 \cdot b^2} = \frac{a^2}{3 \cdot b^2}

\frac{a^2 -1}{(a + 1)^2 } = \frac{(a+1) \cdot (a-1)}{(a+1) \cdot (a+1)} = \frac{(a-1)}{(a+1)}

Besteht der Zähler und/oder der Nenner eines Bruchterms aus einer Summe von Termen, so ist ein Kürzen nicht unmittelbar möglich; vielmehr müssen der Zähler wie auch der Nenner jeweils vollständig in einzelne Faktoren zerlegt werden. Hierbei können insbesondere das Distributivgesetzes sowie binomische Formeln hilfreich sein:

  • Nach dem Distributivgesetz kann ein in allen Summanden des Zählers und/oder des Nenners auftretender Faktor ausgeklammert werden. Eine Summe kann damit als Produkt zweier Faktoren geschrieben werden.

  • Jede Summe a + b kann, sofern man sie in Klammern setzt, ebenfalls als einzelner Faktor 1 \cdot (a+b) angesehen werden.[1] Somit gilt beispielsweise:

    \frac{x+1}{2 \cdot x + 2} = \frac{1 \cdot (x+1)}{2 \cdot (x + 1)} = \frac{1}{2}

  • Entspricht der Zähler und/oder Nenner eines Bruches (oder zumindest einer der auftretenden Faktoren) dem Ergebnis einer binomischen Formel, so kann diese angewendet werden, um eine weitere Faktorisierung zu erreichen.

Ein Bruchterm, der zum Schluss einer Rechnung ein Endergebnis darstellt, wird üblicherweise in einer so weit wie möglich gekürzten Form angegeben.

Rechenregeln für Bruchterme

Da bei der Rechnung mit Bruchtermen üblicherweise mit reellen Zahlen oder entsprechenden Variablen gerechnet wird, gelten die drei Rechengesetze für Grundrechenarten in gleicher Form auch für Bruchterme. Als Besonderheit muss dabei stets darauf geachtet werden, dass der Nennerterm nicht den Wert Null annehmen darf.

Für n_1 ,\, n_2 ,\, n_3 \ne 0 gilt:

  • Kommutativgesetz:

    \frac{z_1}{n_1} + \frac{z_2}{n_2} &= \frac{z_2}{n_2} + \frac{z_1}{n_1} {\color{white} \qquad \! \ldots} \\[2pt] \frac{z_1}{n_1} \, \cdot \; \frac{z_2}{n_2} &= \frac{z_2}{n_2} \; \cdot \, \frac{z_1}{n_1}

  • Assoziativgesetz:

    \frac{z_1}{n_1} + \left( \frac{z_2}{n_2} + \frac{z_3}{n_3} \right) &= \left( \frac{z_1}{n_1} + \frac{z_2}{n_2}\right) + \frac{z_3}{n_3} {\color{white} \qquad \ldots} \\[2pt] \frac{z_1}{n_1} \, \cdot \; \left( \frac{z_2}{n_2} \, \cdot \; \frac{z_3}{n_3} \right) &= \left( \frac{z_ 1}{n_1} \, \cdot \; \frac{z_2}{n_2}\right) \; \cdot \, \frac{z_3}{n_3}

  • Distributivgesetz:

    \frac{z_1}{n_1} \cdot \left( \frac{z_2}{n_2} + \frac{z_3}{n_3} \right) = \frac{z_1}{n_1} \cdot \frac{z_2}{n_2} + \frac{z_1}{n_1} \cdot \frac{z_3}{n_3} = \left(\frac{z_2}{n_2} + \frac{z_3}{n_3} \right) \cdot \frac{z_1}{n_1}{\color{white} \qquad \ldots}

Auf weitere Besonderheiten, die sich bei der Verknüpfung von Bruchtermen durch die vier Grundrechenarten ergeben, wird in den folgenden Abschnitten näher eingegangen.

Addition und Subtraktion von Bruchtermen

Zwei Brüche lassen sich bei einer Addition oder Subtraktion nur dann direkt zusammenfassen, wenn sie „gleichnamig“ sind, d.h. den gleichen Nenner besitzen. Dabei werden die Zählerterme addiert, der Nennerterm bleibt unverändert:

(1)\frac{z_1}{n} + \frac{z_2}{n} = \frac{z_1 + z_2}{n} \\[2pt] \frac{z_1}{n} - \frac{z_2}{n} = \frac{z_1 - z_2}{n}

Haben Brüche unterschiedliche Nennerterme, so müssen alle Brüche zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden, bevor eine Addition beziehungsweise Subtraktion möglich ist. Hierzu empfiehlt es sich, zunächst die Nennerterme vollständig in einzelne Faktoren zu zerlegen. Von jedem Faktor, der in mindestens einem der Nenner vorkommt, wählt man anschließend die jeweils höchste Potenz aus und multipliziert diese Faktoren miteinander. Auf diese Weise erhält man das kleinste gemeinsame Vielfache der Nennerterme (\mathrm{kgV}), das auch als „Hauptnenner“ bezeichnet wird.

Beispiele:

  • Entsprechen die Nenner dreier Brüche den Zahlen 20, 30 und 45 so lautet der Hauptnenner:

    20 &= 2^2 \; \phantom{\cdot \; 3^2 \cdot \; } \, \cdot \; 5 {\color{white} \qquad \qquad \ldots}\\ 30 &= 2\phantom{^2} \; \cdot \; 3 \phantom{^2}\; \cdot \; 5 \\ 45 &= \phantom{2^2} \; \cdot \; 3^{2} \; \cdot \; 5 \\ \mathrm{kgV} &= 2^2 \; \cdot \; 3^2 \; \cdot \; 5 \; = \; 180

    Bei einem Ausmultiplizieren der einzelnen Zahlen ohne Faktorisierung und Bildung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen würde sich ein gemeinsamer Nenner von 20 \cdot 30 \cdot 45 = 27\;000 ergeben.

  • Entsprechen die Nenner den Termen (2 \cdot a - 3), (4 \cdot a^2 - 6 \cdot a) und (4 \cdot a^2 - 9) so lautet der Hauptnenner:

    {\color{white}\ldots \qquad \qquad \quad }(2 \cdot a - 3) &= \phantom{ 2 \cdot a \cdot \;\; } (2 \cdot a - 3) \\ (4 \cdot a^2 - 6 \cdot a) &= \, 2 \cdot a \cdot (2 \cdot a - 3) \\ (4 \cdot a^2 - 9 ) &= \phantom{ 2 \cdot a \cdot \;\;} (2 \cdot a - 3) \cdot (2 \cdot a + 3)\\ \mathrm{kgV} & = \, 2 \cdot a \cdot (2 \cdot a - 3) \cdot (2 \cdot a + 3) = 8 \cdot a^3 - 18 \cdot a

    Bei einem Ausmultiplizieren der einzelnen Terme ohne Faktorisierung und Bildung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen würde sich ein gemeinsamer Nenner von 32 \cdot a^5 - 96 \cdot a^4 + 216 \cdot a^2 - 162 \cdot a ergeben.

Die zu addierenden Brüche können anschließend um die fehlenden Faktoren erweitert und die Zählerterme nach obiger Gleichung addiert werden.

Multiplikation und Division von Bruchtermen

Bruchterme lassen sich miteinander multiplizieren, indem man sowohl ihre Zähler als auch ihre Nenner miteinander multipliziert:[2]

(2)\frac{z_1}{n_1} \cdot \frac{z_2}{n_2} = \frac{z_1 \cdot z_2}{n_1 \cdot n_2}

Um das Ergebnis in einer möglichst vereinfachten Form vorliegen zu haben, ist es (vor dem Ausmultiplizieren) sinnvoll, sowohl die Zähler wie auch die Nenner beider Brüche vollständig in Faktoren zu zerlegen. Kürzt man im Zähler und Nenner anschließend alle gemeinsamen Teiler, so erhält man als Endergebnis einen nicht weiter zu vereinfachenden Bruch.

Das Produkt aller gemeinsamen Teiler wird oftmals als „größter gemeinsamer Teiler“ (\mathrm{ggT}) bezeichnet. Die explizite Berechnung des \mathrm{ggT} ist meist nicht erforderlich; die Aussage, dass sich durch Kürzen des größten gemeinsamen Teilers von Zähler und Nenner ein nicht weiter zu vereinfachender Bruch ergibt, gilt jedoch allgemein.

Bruchterme lassen sich durcheinander dividieren, indem man – durch Vertauschen von Zähler und Nenner – den Kehrbruch des Divisors bildet und eine Multiplikation nach obigem Schema durchführt:

(3)\frac{z_1}{n_1} : \frac{z_2}{n_2} = \frac{z_1}{n_1} \cdot \frac{n_2}{z_2} = \frac{z_1 \cdot n_2}{n_1 \cdot z_2}

Auch hierbei ist eine Faktorisierung von Zähler und Nenner hilfreich, um das Endergebnis in einer möglichst vereinfachten Form zu erhalten. Das gleiche Verfahren kann genutzt werden, um so genannte Doppelbrüche aufzulösen:

\frac{\frac{z_1}{n_1}}{\frac{z_2}{n_2}} = \frac{z_1}{n_1} : \frac{z_2}{n_2} = \frac{z_1}{n_1} \cdot \frac{n_2}{z_2}

Bereits in der Antike fand Euklid einen Algorithmus zur Berechnung des \mathrm{ggT}; dieser ist auf der Grund-Wissen-Seite im Rahmen des Python-Tutorials näher beschrieben.

Prozentrechnung

Bruchzahlen können auch verwendet werden, um Größenvergleiche anzugeben. Eine Bruchzahl beschreibt dabei das Verhältnis zweier Größen, d.h. welchen Bruchteil die eine Zahl (der Nenner) von der anderen Zahl (dem Zähler) ausmacht.

Um Zahlenverhältnisse vergleichen zu können, ist es oftmals hilfreich die Bruchteile auf den selben Nenner zu bringen. Haben zwei Zahlen unterschiedliche Zähler a und b, aber einen gleichen Nenner n, so gilt stets:

a < b \quad \Leftrightarrow \quad \frac{a}{n} < \frac{b}{n}

Als gemeinsamer Nenner wird in der Praxis meist die Zahl 100 verwendet und statt von Hundertsteln von Prozenten gesprochen. Für 1 Prozent schreibt man wahlweise \frac{1}{100} oder 0,01 oder 1 \%.

Die Anzahl der Prozente wird üblicherweise als Prozentsatz p bezeichnet. Hierbei ist allerdings stets darauf zu achten, auf welchen Grundwert G sich die Prozentangabe bezieht.

Beispiel:

  • Werden zu einem Grundwert von G = 1 Liter Wasser ein Bruchteil von p = 10 \% hinzu gegeben, so ergibt sich eine neue Menge G + 0,1 \cdot G = 1,1 Liter.

    Werden von dieser Menge (G = 1,1 Liter) hingegen p = 10 \% abgezogen, so bleiben nicht ein Liter, sondern „nur“ G - 0,1 \cdot G = 0,99 Liter übrig.

Der tatsächliche Wert, den eine Prozentangabe wiedergibt, wird Prozentwert W genannt. Er lässt sich als Produkt aus dem Prozentsatz p und dem basierenden Grundwert G berechnen:

(4)W = p \, \% \cdot G

Im obigen Beispiel wurde die Prozentformel (4) bereits unmittelbar angewendet:

  • Bezogen auf den Grundwert 1 entspricht ein Prozentsatz von 10 \%{\color{white} .} einem Prozentwert von \frac{10}{100} \cdot 1 = 0,1.
  • Bezogen auf den Grundwert 1,1 entspricht der gleiche Prozentsatz einem Prozentwert von \frac{10}{100} \cdot 1,1 = 0,11.

Wird der sich resultierende Prozentwert zum jeweiligen Grundwert addiert beziehungsweise von diesem abgezogen, so ergeben sich folglich auch unterschiedliche Ergebnisse.

Kleinere Mengenangaben werden häufig in Tausendstel (Promille) oder Millionstel (Pars per Million) angegeben. Für 1 Promille schreibt man 1 \,\permil und für ein Millionstel \unit[1]{ppm}.

Anmerkungen:

[1]Hier wird wiederum das Distributivgesetz genutzt: Da für jede reelle Zahl a die Beziehung a = 1 \cdot a gilt, kann die 1 jederzeit als gemeinsamer Faktor einer beliebigen Summe ausgeklammert werden.
[2]
Insbesondere kann ein Bruch \frac{z}{n} mit einer ganzen Zahl a

multipliziert werden, indem der Zähler z mit dieser Zahl multiplizert wird:

a \cdot \frac{z}{n} = \frac{a}{1} \cdot \frac{z}{n} = \frac{a \cdot z}{1 \cdot n} = \frac{a \cdot z}{n}

Hierbei wird berücksichtigt, dass ein Zahlenwert unverändert bleibt, wenn man ihn durch 1 dividiert. Wendet man dann die Rechenregel für die Multiplikation zweier Brüche an, so bleibt der Nenner gleich, da auch eine Multiplikation mit 1 den Wert einer Zahl nicht ändert.

Hinweis

Zu diesem Abschnitt gibt es Übungsaufgaben.