Gleichungen¶

Lineare Gleichungen¶

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Lineare Gleichungen.

Zur Lösung der Gleichung empfiehlt es sich, beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner $2 \cdot 3 = 6$ der auftretenden Terme zu multiplizieren.

$\frac{10 \cdot x+3}{3} -5 &= 11 - \frac{3 \cdot x + 4}{2} - \frac{2 \cdot x +6}{3} \\[4pt] 6 \cdot \left( \frac{10 \cdot x+3}{3} -5 \right) &= 6 \cdot \left( 11 - \frac{3 \cdot x + 4}{2} - \frac{2 \cdot x +6}{3} \right) \\[4pt]$

Multipliziert man die Klammern aus, so können die auftretenden Brüche durch Kürzen beseitigt werden. Man erhält dadurch:

${\color{white}....}2 \cdot (10 \cdot x+3) \; - \; 30 = 66 - 3 \cdot (3 \cdot x + 4) - 2 \cdot (2 \cdot x +6) \\[4pt]$

Die Gleichung kann durch ein Ausmultiplizieren der Klammern weiter vereinfacht werden:

$20 \cdot x+6 \; - \; 30 = 66 - 9 \cdot x - 12 - 4 \cdot x - 12 \\[4pt]$

Zum Auflösen werden alle $x$ -Terme auf eine Seite der Gleichung, alle anderen Terme auf die andere Seite der Gleichung gebracht. Damit folgt:

$20 \cdot x + 13 \cdot x &= 66 -24 + 24 \\ 33 \cdot x &= 66 \\ x &= 2 \\$

Die Lösung der Gleichung lautet somit $x=2$ .

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Quadratische Gleichungen¶

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Quadratische Gleichungen.

$\text{a) }$ Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen („Mitternachtsformel“) liefert für die gegebene Gleichung $x^2 - 6 \cdot x + 8 = 0$ mit $a=1$ , $b=-6$ und $c=8$ :

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} = \frac{+6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 8}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$

Somit ergeben sich folgende Lösungen:

$x_1 = \frac{6 - 2}{2} = 2 \qquad x_2 = \frac{6+2}{2} = 4$

Die Lösungsmenge der Gleichung lautet somit $\mathbb{L} = \{ 2;\, 4 \}$ .
$\text{b) }$ Zum Lösen der Gleichung $3 \cdot x^2 + 4 \cdot x - 15 = 0$ sind in die „Mitternachtsformel“ die Werte $a=3$ , $b=4$ und $c=-15$ einzusetzen. Man erhält damit:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot (-15)}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{196}}{6}$

Die Wurzel $\sqrt{196}$ ergibt den Wert $14$ . Als Lösungen erhält man damit:

$x_1 = \frac{-4 - 14}{6} = -3 \qquad x_2 = \frac{-4+14}{6} = \frac{5}{3}$

Die Lösungsmenge der Gleichung lautet somit $\mathbb{L} = \left\{ -3;\, \frac{5}{3} \right\}$ .

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Der Satz von Vieta ist insbesondere dann nützlich, wenn eine quadratische Gleichung der Form $1 \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0$ vorliegt und $b$ sowie $c$ ganze Zahlen sind.

Man prüft dann als erstes, durch welche Produkt zweier Zahlen sich die Zahl $c$ darstellen lässt. Im Fall $c=20$ ergeben sich folgende Möglichkeiten:

$20 &= 20 \cdot 1 \\ &= 10 \cdot 2 \\ &= 5 \cdot 4 \\$

Ebenfalls möglich sind die Produkte $(-20) \cdot (-1)$ , $(-10) \cdot (-2)$ und $(-5) \cdot (-4)$ . Eine dieser drei beziehungsweise sechs Möglichkeiten gibt die beiden Lösungen der Gleichung an.

Um zu prüfen, welche der obigen Möglichkeiten die Gleichung löst, bildet man die Summen der einzelnen Wertepaare:

$20 + 1 &= 21 \\ 10 + 2 &= 12 \\ 5 + 4 &= 9 \\$

Das „richtige“ Wertepaar erkennt man daran, dass die Summe einen Wert ergibt, der mit dem Wert von $(-b)$ identisch ist. In dieser Aufgabe ist $b = -9$ , also ist $(-b) = 9$ . Die Lösung der Gleichung lautet somit:

$x_1 = 4 \quad ; \quad x_2 = 5$

Als Produktform lässt sich die Gleichung damit wie folgt schreiben:

$x^2 - 9 \cdot x + 20 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (x-4) \cdot (x-5) = 0$

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Algebraische Gleichungen¶

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Algebraische Gleichungen höheren Grades.

Existiert die Lösung $x_1=3$ , so kann der Gleichungsterm in ein Produkt aus dem Linearfaktor $(x-3)$ und einem Restterm zerlegt werden. Dieser kann mittels einer Polynom-Division ermittelt werden; es muss also folgende Rechnung durchgeführt werden:

$(x^3 - 6 \cdot x^2 - 1 \cdot x + 30) : (x - 3) = \; ?$

Als erstes prüft man, mit welchem Faktor $x$ zu multiplizieren ist, um $x^3$ zu erhalten; als Ergebnis kann man $x^2$ auf die rechte Seite schreiben. Das Produkt aus $x^2 \cdot (x-3)$ muss dann vom ursprünglichen Term abgezogen werden. Man erhält:

$\begin{array}{rlll} (x^3 &- 6 \cdot x^2 &- 1 \cdot x &+ 30) : (x - 3) = x^2 \; + \; ?\\ -(x^3 & - 3 \cdot x^2) \\ \cline{1-2} \\[-8pt] & -3 \cdot x^2 & - 1\cdot x &+ 30 \\ \end{array}$

Als nächstes ist also zu prüfen, mit welchem Faktor $x$ zu multiplizieren ist, um $-3 \cdot x^2$ zu erhalten; als Ergebnis kann man wiederum $-3 \cdot x$ auf die rechte Seite schreiben. Das Produkt aus $-3 \cdot x \cdot (x-3)$ muss vom verbleibenden Term abgezogen werden. Man erhält:

$\begin{array}{rlll} (x^3 &- 6 \cdot x^2 &- 1 \cdot x &+ 30) : (x - 3) = x^2 - 3 \cdot x \; + \; ?\\ -(x^3 & - 3 \cdot x^2) \\ \cline{1-2} \\[-8pt] & -3 \cdot x^2 & - 1 \cdot x &+ 30 \\ \qquad -(& -3 \cdot x^2 & + 9 \cdot x) \\\cline{1-3}\\[-8pt] && -10 \cdot x & + 30 \end{array}$

Um den verbleibenden Term zu erhalten, muss $(x-3)$ mit dem Faktor $(-10)$ multipliziert werden. Man erhält also:

$\begin{array}{rllll} (x^3 &- 6 \cdot x^2 &- 1 \cdot x &+ 30) & : (x - 3) = x^2 - 3 \cdot x - 10\\ -(x^3 & - 3 \cdot x^2) \\ \cline{1-2} \\[-8pt] & -3 \cdot x^2 & - 1 \cdot x &+ 30 \\ \qquad -(& -3 \cdot x^2 & + 9 \cdot x) \\\cline{1-3}\\[-8pt] &&-10 \cdot x & + 30 \\ &\qquad -(&-10 \cdot x & + 30) \\\cline{1-4}\\[-8pt] &&& 0 \end{array}$

Der bei der Polynomdivision verbleibende Rest-Term ist also $x^2 - 3 \cdot x - 10$ . Setzt man diesen Term gleich Null, so kann man die verbleibenden Lösungen der ursprünglichen Gleichung berechnen:

$x^2 - 3 \cdot x - 10 = 0$

Diese quadratische Gleichung kann wahlweise mittels der Mitternachtsformel oder (in diesem Fall wohl einfacher) mittels des Satzes von Vieta gelöst werden. Man erhält:

$x_2 = -2 \qquad x_3 = 5$

Die Lösungsmenge der ursprünglichen Gleichung lautet somit $\mathbb{L}=\{-2;\, 3;\, 5\}$ .

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$\text{a) }$ Die Gleichung $2 \cdot x^3 - 5 \cdot x^2 - 12 \cdot x = 0$ enthält auf der linken Gleichungs-Seite keinen Zahlenterm; es kann somit $x$ ausgeklammert werden:

$2 \cdot x^3 - 5 \cdot x^2 - 12 \cdot x &= 0 \\[4pt] \Rightarrow x \cdot (2 \cdot x^2 - 5 \cdot x - 12) &= 0 \\[4pt]$

Man erhält damit unmittelbar $x_1=0$ als erste Lösung der Gleichung. Die übrigen Lösungen erhält man, wenn man den Restterm gleich Null setzt (denn ein Produkt ist stets dann Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist):

$2 \cdot x^2 - 5 \cdot x - 12 = 0$

Mittels der „Mitternachtsformel“ erhält man mit $a=2$ , $b=-5$ und $c=-12$ :

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} = \frac{+5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot (-12)}}{4} = \frac{+5 \pm \sqrt{121}}{4}$

Die Wurzel $\sqrt{121}$ ergibt den Wert $11$ . Als Lösungen erhält man damit:

$x_2 = \frac{+5 - 11}{4} = -\frac{3}{2} \qquad x_3 = \frac{+5+11}{4} = 4$

Die Lösungsmenge der Gleichung lautet also $\mathbb{L} = \{ -\frac{3}{2};\, 0;\, 4 \}$ .
$\text{b) }$ Die Gleichung $x^4 - 13 \cdot x^2 + 36 = 0$ enthält auf der linken Seite nur $x$ -Terme mit geraden Exponenten; man kann daher $x^2$ durch eine neue Variable $z$ ersetzen („Substitution“). Für diese neue Variable ergibt sich folgende Gleichung:

$z^2 - 13 \cdot z + 36 = 0$

Diese quadratische Gleichung kann wahlweise mittels der Mitternachtsformel oder (in diesem Fall wohl einfacher) mittels des Satzes von Vieta gelöst werden. Man erhält:

$z_1 = 4 \qquad z_2 = 9$

Die ursprüngliche Gleichung hat höchstens vier Lösungen, da der größte auftretende Exponent gleich vier ist. Diese Lösungen ergeben sich mit den obigen Lösungen für $z$ folgendermaßen:

$x_{1,2}^2 = 4 \quad \Longleftrightarrow \quad x_{1,2} = \pm \sqrt{4} \\ x_{3,4}^2 = 9 \quad \Longleftrightarrow \quad x_{3,4} = \pm \sqrt{9} \\$

Man erhält damit als Lösungen $x_1 = -2$ , $x_2 = +2$ , $x_3 = -3$ und $x_4 = +3$ . Durch Einsetzen dieser Werte in die ursprüngliche Gleichung kann/muss geprüft werden, ob es sich tatsächlich um Lösungen der ursprünglichen Gleichung handelt, da durch das Quadrieren beziehungsweise Wurzelziehen (keine Äquivalenzumformung!) „Scheinlösungen“ entstehen können.

Da die obigen Werte tatsächlich die Gleichung erfüllen, ergibt sich als Lösungsmenge der Gleichung $\mathbb{L} = \{ -3;\, -2;\, 2;\, 3 \}$ .

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Bruch-, Produkt- und Wurzelgleichungen¶

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Bruch-, Produkt- und Wurzelgleichungen.

Bruch- und Produktgleichungen

Bei der Gleichung handelt es sich um eine Produkt-Gleichung; für den Definitionsbereich gilt $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ , es dürfen also alle reellen Zahlen für $x$ eingesetzt werden.

Um die Gleichung zu lösen, ist es hilfreich, alle die Variable $x$ beinhaltende Terme auf die linke Seite zu sortieren. Dadurch erhält man:

$3 \cdot x \cdot (x - 5) &= 6 \cdot (x - 5) \\ 3 \cdot x \cdot (x - 5) - 6 \cdot (x - 5)&= 0$

Auf der linken Seite kann nun der Term $(x-5)$ ausgeklammert werden. Daraus ergibt sich:

$(3 \cdot x - 6) \cdot (x - 5) &= 0$

Ein Produkt hat genau dann den Wert Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Die Gleichung ist somit in den folgenden beiden Fällen erfüllt:

$3 \cdot x - 6 &= 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x = 2 \\ x - 5 &= 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x = 5$

Die Lösungsmenge der Gleichung ist somit $\mathbb{L} = \{2;\,5\}$ .

Hinweis: Würde man im ersten Schritt durch $(x-5)$ dividieren, so bliebe nur noch die Lösung $x=2$ übrig. Bei einer Division einer Gleichung durch einen Term muss also stets darauf geachtet werden, dass dieser Term ungleich Null ist; gegebenenfalls muss eine Fallunterscheidung vorgenommen und dieser Fall – im obigen Beispiel $x=5$ – separat untersucht werden.

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Bei Bruchgleichungen muss ausgeschlossen sein, dass die Nenner der auftretenden Terme gleich Null werden; es muss also gelten:

$2 \cdot x + 10 \ne 0 \quad &\Longleftrightarrow \quad x \ne -5 \text{ und }\\ 4 - 2 \cdot x \ne 0 \quad &\Longleftrightarrow \quad x \ne 2$

Um die Gleichung zu lösen, ist es empfehlenswert, beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner $(2 \cdot x + 10) \cdot (4 - 2 \cdot x)$ zu multiplizieren. Nach dem Kürzen entfallen dadurch die Nenner:

$\frac{3 \cdot x + 13}{2 \cdot x + 10} &= \frac{4 - 3 \cdot x}{4 - 2\cdot x} \\[8pt] \frac{\cancel{(2 \cdot x + 10)} \cdot (4 - 2 \cdot x) \cdot (3 \cdot x + 13)}{\cancel{2 \cdot x + 10}} &= \frac{(4 - 3 \cdot x) \cdot (2 \cdot x + 10) \cdot \cancel{(4 - 2 \cdot x)}}{\cancel{4 - 2\cdot x}} \\[8pt] \Rightarrow (4 - 2 \cdot x) \cdot (3 \cdot x + 13) &= (4 - 3 \cdot x) \cdot (2 \cdot x + 10)$

Um diese Gleichung weiter zu vereinfachen, müssen die Terme auf beiden Seiten ausmultipliziert werden, denn ansonsten wäre ein Sortieren der Gleichung in Variablen-Terme und reine Zahlen-Terme nicht möglich. Man erhält:

$12 \cdot x + 52 - 6 \cdot x^2 - 26 \cdot x &= 8 \cdot x + 40 - 6 \cdot x^2 - 30 \cdot x \\ - 6 \cdot x^2 -14 \cdot x + 52 &= -6 \cdot x^2 -22 \cdot x + 40 \\$

Sortiert man nun alle $x$ -Terme auf die linke und alle übrigen Terme auf die rechte Seite, so entfällt der quadratische Term. Übrig bleibt eine lineare Gleichung mit folgender Lösung:

$8 \cdot x \; &= -12 \\ x \; &= -\frac{3}{2} \\$

Die Lösungsmenge der Gleichung ist somit $\mathbb{L} = \{ -\frac{3}{2} \}$ .

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Wurzelgleichungen

Betrachtet man (ohne jegliche algebraische Umformung) den Definitionsbereich der Gleichung, so stellt man fest, dass dieser der leeren Menge $\emptyset$ entspricht: Es gibt nämlich keinen Wert für die Variable $x$ , so dass die beiden Bedingungen $x-5 \ge 0$ und $2-x \ge 0$ gleichzeitig erfüllt sind. Da dies nicht möglich ist, kann die Gleichung folglich für keine reelle Zahl $x \in \mathbb{R}$ erfüllt werden.

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$\text{a) }$ Die Definitionsmenge ergibt sich, da reellwertige Wurzeln nicht negativ sein dürfen, aus folgenden Ungleichungen:

$\sqrt{x + 1} \ge 0 \quad &\Longleftrightarrow \quad x \ge -1 \\ x - 5 \ge 0 \quad &\Longleftrightarrow \quad x \ge 5 \\$

Da beide Bedingungen zugleich gelten müssen und die zweite Bedingung $x \ge 5$ die erste Bedingung $x \ge -1$ hinreichend mit einschließt, gilt für den Definitionsbereich der Gleichung $\mathbb{D} = [5; \infty[$ .

Um die Gleichung zu lösen, können die Terme auf beiden Seiten in einem ersten Rechenschritt quadriert werden. Man erhält hierbei:

$x + 1 = (x - 5)^2$

Diese Gleichung entspricht nun einer quadratischen Gleichung. Um sie zu lösen, werden alle Terme auf die linke Seite sortiert und anschließend Klammer der quadratische Term $(x-5)^2$ ausgewertet:

$(x-5)^2 \quad - x - 1 &= 0 \\ (x^2 - 10 \cdot x + 25) - x - 1 &= 0 \\$

Da in der resultierenden Gleichung alle Operatoren die gleiche Priorität haben und vor der Klammer kein Minuszeichen steht, können die Klammern weggelassen werden. Die $x$ -Terme sowie die Zahlenwerte können noch folgendermaßen zusammengefasst werden:

$x^2 - 11 \cdot x + 24 \quad &= 0 \\$

Diese Gleichung kann beispielsweise mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen gelöst werden. Mit $a=1$ , $b=-11$ und $c=24$ erhält man:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} = \frac{11 - \sqrt{121 - 4 \cdot 24}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - \sqrt{25}}{2} = 3\\ x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} = \frac{11 + \sqrt{121 - 4 \cdot 24}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + \sqrt{25}}{2} = 8\\$

Man könnte nun annehmen, dass die Lösungsmenge gleich $\mathbb{L} = \{ 3;\,8 \}$ ist – doch das ist falsch! Die Definitionsmenge $\mathbb{D} = [5;\,\infty[$ der ursprünglichen Gleichung schließt die Lösung $x_1 = 3$ der späteren quadratischen Gleichung aus. Der Grund für das Hinzukommen der „Scheinlösung“ liegt im ersten Rechenschritt, nämlich dem Quadrieren beider Seiten der Gleichung. Da diese Umformung keine Äquivalenz-Umformung ist, können – wie in diesem Beispiel – weitere Lösungen hinzukommen.

Neben einem Blick auf den Definitionsbereich schließt auch ein Einsetzen der erhaltenen Lösungen in die ursprüngliche Gleichung die Scheinlösung $x_1=3$ aus. Die Lösungsmenge lautet also $\mathbb{L} = \{ 8 \}$ .
$\text{b) }$ Der Definitionsbereich dieser Gleichung muss folgende beide Bedingungen erfüllen:

$3 \cdot x + 7 \ge 0 \quad &\Longleftrightarrow \quad x \ge -2\tfrac{1}{3} \\ 2 - 2 \cdot x \ge 0 \quad &\Longleftrightarrow \quad x \le 1\\$

Der Definitionsbereich $\mathbb{D}$ der Gleichung entspricht somit dem Intervall $[-2\tfrac{1}{3};\; 1]$ . Durch ein Quadrieren der Gleichung ergibt sich:

$\left( \sqrt{3 \cdot x + 7} \right)^2 = \left( 2 - 2 \cdot x \right)^2 \\[4pt] 3 \cdot x + 7 = 4 - 8 \cdot x + 4 \cdot x^2 \\[4pt]$

Durch das Quadrieren wird die Wurzelgleichung somit zu einer quadratischen Gleichung. Durch ein Sortieren der einzelnen Terme auf die linke Gleichungsseite kann diese auf Normalform gebracht werden:

$4 \cdot x^2 - 11 \cdot x - 3 = 0$

Mittels der „Mitternachtsformel“ kann diese Gleichung gelöst werden, wenn man für $a=4$ , $b=-11$ und $c=-3$ setzt:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} = \frac{+11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 4 \cdot (-3)}}{8} = \frac{11 \pm \sqrt{169}}{8}$

Die Wurzel $\sqrt{169}$ ergibt den Wert $13$ . Als Lösungen erhält man damit:

$x_1 = \frac{11 - 13}{8} = -\frac{1}{4} \qquad x_2 = \frac{11+13}{8} = 3$

Nur die Lösung $x_1$ ist im Definitionsbereich $\mathbb{D}$ der Gleichung enthalten, $x_2$ hingegen stellt eine durch das Quadrieren der Gleichung entstandene Scheinlösung dar. Die Lösungsmenge der Gleichung lautet somit $\mathbb{L} = \{ -\frac{1}{4} \}$ .

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Exponential- und Logarithmusgleichungen¶

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Exponential- und Logarithmusgleichungen.

$\text{a) }$ Die Gleichung kann gelöst werden, indem beide Seiten logarithmiert werden:

$3^{x} &= 12 \\[4pt] \Rightarrow \; \log{\left(3^{x}\right)} &= \log{(12)}$

Die Wahl des $10$ -er-Logarithmus war/ist hierbei willkürlich. Nun kann allerdings die Rechenregel $\log_{a}{\left( b^c \right)} = c \cdot \log_{a}{b}$ genutzt werden (siehe Rechenregeln für Logarithmen), so dass sich folgende Gleichung ergibt:

$x \cdot \log{(3)} &= \log{12} \\ \Rightarrow \; x &= \frac{\log{(12)}}{\log_{}{(3)}} \approx 2,262$

Die Gleichung gilt also für $x \approx 2,262$ .

$\text{b) }$ Die Gleichung kann gelöst werden, indem beide Seiten auf die gleiche Basis gebracht werden. Auf der rechten Seite der Gleichung nämlich $4 = 2^2$ gesetzt werden:

$2^{2 \cdot x + 2} &= 4^{3 \cdot x - 15} \\ 2^{2 \cdot x + 2} &= \left(2^2\right)^{3 \cdot x - 15} \\$

Diese Umformung hat den Vorteil, dass nun die Rechenregel $\left( a^b \right)^c = a^{b \cdot c}$ angewendet werden kann:

$2^{2 \cdot x + 2} &= 2^{2 \cdot (3 \cdot x - 15)} \\ 2^{2 \cdot x + 2} &= 2^{6 \cdot x - 30} \\$

Sind die Basen auf beiden Seiten der Gleichung identisch, so müssen auch die Exponenten gleich sein. Es muss also gelten:

$2 \cdot x + 2 &= 6 \cdot x - 30 \\ 4 \cdot x &= 32 \\ x &= 8 \\$

Die Gleichung hat somit die Lösung $x=8$ .

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$\text{a) }$ Die Definitionsmenge der Gleichung ist $\mathbb{D} = \{ x \,|\, x > 0,\; x \ne 1 \}$ .

Gemäß der Definition eines Logarithmus kann die Gleichung auch wie folgt geschrieben werden:

$\log_{x}{(125)} = 3 \quad \Longleftrightarrow \quad x^{3} = 125$

Zieht man bei der Gleichung auf der rechten Seite die dritte Wurzel, so erhält man:

$x = \sqrt[3]{125} = \pm 5$

Unter Berücksichtigung der Definitionsmenge lautet die Lösung somit $\mathbb{L} = \{ 5 \}$ .
$\text{b) }$ Um die Gleichung zu lösen, werden zunächst beide Seiten der Gleichung als Exponenten zur Basis $5$ geschrieben. Auf der linken Seite entfällt dabei wegen $5^{\log_{\mathrm{5}}{x}} = x$ der Logarithmus:

$\log_{5}{(3 \cdot x - 2)} &= 4 \\[4pt] \Rightarrow \; 3 \cdot x - 2 &= 5^4 \\ 3 \cdot x - 2 &= 625 \\ 3 \cdot x &= 627 \\ x &= 209$

Die Gleichung hat somit die Lösung $x=209$ .

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