Mechanik der Festkörper, Flüssigkeiten und Gase

Mechanik der Festkörper

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Mechanik der Festkörper.

  • Beton hat eine hohe Druckfestigkeit, Stahl eine hohe Zugfestigkeit. Der Stahl muss folglich in die Unterseite des Betons eingebracht werden, weil dort Zugspannungen auftreten; ohne Stahl könnte der Beton auf der Unterseite auseinander brechen.

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Mechanik der Flüssigkeiten

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Mechanik der Flüssigkeiten.

Statischer Druck

  • Der auf den Kolben ausgeübte Druck p ist gleich dem Quotienten aus der einwirkenden Kraft F und der Querschnittsfläche A des Kolbens:

    p = \frac{F}{A} = \frac{\unit[350]{N}}{\unit[0,01]{m^2}} = \unit[35 \cdot 10^3]{Pa} = \unit[0,35]{bar}

    Im Gleichgewichtsfall, also bei einem sich nicht bewegenden Kolben, herrscht im Fluid innerhalb des Zylinders ein ebenso hoher Druck.

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  • Der Schweredruck lässt sich mittels folgender Formel berechnen:

    p_{\mathrm{schwere}} = \rho_{\mathrm{Fl}} \cdot g \cdot h = \unit[1,0 \cdot 10^3]{\frac{kg}{m^3}} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}} \cdot \unit[10]{m} \approx \unit[98,1 \cdot 10^3]{Pa}

    Zur Umrechnung der angegebenen Dichte wurde die Einheits-Beziehung \unit{\frac{g}{cm^3}} = \unit{\frac{kg}{dm^3}} = \unit{\frac{t}{m^3}} verwendet und \unit[1]{t} = \unit[10^3]{kg} gesetzt.

    Die Einheit des Ergebnisses in der obigen Gleichung folgt aus der Beziehung \unit{Pa} = \frac{N}{m^2}. Da \unit[1]{bar} = \unit[100]{kPa} ist, kann man sagen, dass der Schweredruck im Wasser je \unit[10]{m} Eintauchtiefe um rund \unit[1]{bar} zunimmt.

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  • Wasser hat eine Dichte von \rho = \unit[1]{\frac{g}{cm^3}} = \unit[1 \cdot 10^3]{\frac{kg}{m^3}}. In einer Leitung kann es so weit steigen, bis der sich ergebende Schweredruck p_{\mathrm{st}} = \rho \cdot g \cdot h mit h als Steighöhe ebenso groß ist wie in der Leitung herrschende Wasserdruck p = \unit[6]{bar} = \unit[6 \cdot 10^5]{Pa} in Bodenhöhe:

    p &= \rho \cdot g \cdot h \quad \Longleftrightarrow \quad h = \frac{p}{\rho \cdot g} \\[6pt] h &= \frac{\unit[6 \cdot 10^5]{Pa}}{\unit[1 \cdot 10^3]{\frac{kg}{m^3}} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}}} \approx \unit[61,2]{m}

    Das Wasser kann somit rund \unit[61]{m} hoch steigen.

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Statischer Auftrieb

  • Bei einem Volumen von V=\unit[80\,]{l} und einer durchschnittlichen Dichte von \rho_{\mathrm{K}}= \unit[1050]{\frac{kg}{m^3}} = \unit[1,05]{\frac{kg}{dm^3}} hat der badende Mensch eine Masse von m = \rho \cdot V = \unit[1,05]{\frac{kg}{l}} \cdot \unit[80]{l} = \unit[84]{kg} und damit eine Gewichtskraft von m \cdot g = \unit[80]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}} \approx \unit[824]{N}.

    Die Auftriebskraft F_{\mathrm{A}} = \rho_{\mathrm{Fl}} \cdot g \cdot V_{\mathrm{K}} ist abhängig vom Volumen des eintauchenden Körpers, jedoch nicht von dessen Dichte. Für reines Wasser ist \rho_{\mathrm{Fl}} = \unit[1000]{\frac{kg}{m^3}} = \unit[1,00]{\frac{kg}{dm^3}}, die Auftriebskraft beträgt somit:

    F_{\mathrm{A,W}} = \rho_{\mathrm{Fl}} \cdot g \cdot V_{\mathrm{K}} = \unit[1,00]{\frac{kg}{l}} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}} \cdot \unit[80]{l} \approx \unit[785]{N}.

    In normalem Wasser hat der badende Mensch somit ein scheinbares Gewicht von F_{\mathrm{G}} - F_{\mathrm{A}} \approx \unit[39]{N}; ohne Schwimmbewegungen würde der Körper also sinken.

    In gesättigtem Salzwasser gilt mit \rho_{\mathrm{Fl}} = \rho_{\mathrm{SW}} = \unit[1120]{\frac{kg}{m^3}} = \unit[1,12]{\frac{kg}{dm^3}}:

    F_{\mathrm{A,SW}} = \rho_{\mathrm{Fl}} \cdot g \cdot V_{\mathrm{K}} = \unit[1,12]{\frac{kg}{l}} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}} \cdot \unit[80]{l} \approx \unit[879]{N}.

    Im Salzwasser ist die Auftriebskraft des badenden Menschen um \unit[55]{N} größer als seine Gewichtskraft; der Körper schwimmt also auch ohne Schwimmbewegungen.

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  • Um unterzutauchen, muss der Dichtewert eines Körpers größer sein als die Dichte der Flüssigkeit. Um abzutauchen, muss ein Fisch somit seinen Dichtewert erhöhen. Fische besitzen dazu eine Schwimmblase, die mit dem Kiemensystem verbunden ist. Um abzutauchen, entleeren sie diese Schwimmblase, um aufzutauchen, wird sie mit Gas aufgefüllt. Auf diese Weise können Fische ihr Volumen und somit ihre Dichte aktiv beeinflussen.

    Unterseeboote haben nach dem gleichen Prinzip Wassertanks, die zum Absinken geflutet und zum Auftauchen mittels Pressluft entleert werden. Auf diese Weise kann ebenfalls die durchschnittliche Dichte des Bootes gesteuert werden.

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Bernoulli-Gleichung

  • Mit der ersten Röhre wird nur der statische Druck, mit der hinteren der Gesamtdruck gemessen. Der in der hinteren Röhre zusätzlich auftretende dynamische Druck bewirkt einen stärkeren Anstieg der Flüssigkeitssäule. Im Gleichgewichtsfall entspicht der dynamische Druck p_{\mathrm{dyn}} der strömenden Flüssigkeit dem zusäzlichen statischen Druck \Delta p_{\mathrm{stat}} in der hinteren Flüssigkeitssäule:

    \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v^2 = \rho \cdot g \cdot \Delta h

    Die Dichte \rho kürzt sich heraus, die Gleichung kann dann nach v aufgelöst werden:

    v = \sqrt{2 \cdot g \cdot \Delta h} = \sqrt{2 \cdot \unit[9,81]{\frac{m}{s^2}} \cdot \unit[0,1]{m}} \approx \unit[1,4]{\frac{m}{s}}

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  • Im Extremfall wird der gesamte in der Wasserleitung herrschende statische Druck in den dynamischen Druck des ausströmenden Wassers umgewandelt. Man erhält damit als Gleichung:

    p = \frac{1}{2} \cdot \rho_{\mathrm{Fl}} \cdot v^2 \quad \Longleftrightarrow \quad v = \sqrt{\frac{2 \cdot p}{\rho_{\mathrm{Fl}} }} \approx \unit[14,14]{\frac{m}{s}}

    Diese Geschwindigkeit entspricht rund \unit[50]{\frac{km}{h}}.

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Mechanik der Gase

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Mechanik der Gase.

  • Sowohl bei Flüssigkeiten als auch bei Gasen gilt für den dynamischen Druck p_{\mathrm{dyn}}:

    p_{\mathrm{dyn}} = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v^2

    Setzt man hier p_{\mathrm{dyn}} = \unit[10]{kPa} = \unit[10 \cdot 10^3]{Pa} und für die Dichte \rho des Fluids \rho_{\mathrm{Wasser}} = \unit[1]{\frac{g}{cm^3}} = \unit[1000]{\frac{kg}{m^3}} beziehungsweise \rho_{\mathrm{Luft}} = \unit[1,29]{\frac{kg}{m^3}} ein, so folgt:

    v_{\mathrm{Wasser}} = \sqrt{\frac{2 \cdot p_{\mathrm{dyn}}}{\rho_{\mathrm{Wasser}} }} = \sqrt{ \frac{2 \cdot \unit[10 \cdot 10^3]{Pa}}{\unit[1000]{\frac{kg}{m^3}} }} \approx \unit[4,47]{\frac{m}{s}}

    Die Einheit ergibt sich, da \unit{Pa} = \unit{\frac{N}{m^2}} und \unit{N} = \unit{kg \cdot \frac{m}{s^2}} gilt; somit folgt:

    \unit{\sqrt{\frac{Pa}{\frac{kg}{m^3}} }} = \unit{\sqrt{\frac{Pa \cdot m^3}{kg}} }= \unit{\sqrt{\frac{\frac{N}{m^2} \cdot m^3}{kg}} }=\unit{\sqrt{\frac{N\cdot m}{kg}} } =\unit{\sqrt{\frac{(kg \cdot \frac{m}{s^2})\cdot m}{kg}}} = \unit{\sqrt{\frac{m^2}{s^2}} }

    Für die nötige Strömungsgeschwindigkeit von Luft gilt entsprechend:

    v_{\mathrm{Wasser}} = \sqrt{\frac{2 \cdot p_{\mathrm{dyn}}}{\rho_{\mathrm{Luft}} }} = \sqrt{ \frac{2 \cdot \unit[10 \cdot 10^3]{Pa}}{\unit[1,29]{\frac{kg}{m^3}} }} \approx \unit[4,47]{\frac{m}{s}} \approx \unit[124,5]{\frac{m}{s}}

    Die zur Erzeugung des gleichen dynamischen Drucks nötige Strömungsgeschwindigkeit ist bei Luft somit wesentlich höher als bei Wasser.

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  • Da aufgrund der Kontinuitätsbedingung der Volumenstrom an allen Stellen gleich ist, gilt für die Geschwindigkeiten v_1 und v_2 im weiten und im engen Rohrstück:

    \dot{V} = A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2

    Setzt man für den Volumenstrom \dot{V} = \unit[1,5 \cdot 10^{-2}]{\frac{m^3}{min}} = \unit[2,5 \cdot 10 ^{-4}]{\frac{m^3}{s}} ein, so folgt mit A_1 = \unit[2]{cm^2} = \unit[2 \cdot 10 ^{-4}]{m^2} und A_2 = \unit[0,5]{cm^2} = \unit[0,5 \cdot 10 ^{-4}]{m^2}:

    v_1 &= \frac{\dot{V}}{A_1} = \frac{\unit[2,5 \cdot 10 ^{-4}]{\frac{m^3}{s}}}{\unit[2 \cdot 10 ^{-4}]{m^2}}= \unit[1,25]{\frac{m}{s}} \\ v_2 &= \frac{\dot{V}}{A_2} = \frac{\unit[2,5 \cdot 10 ^{-4}]{\frac{m^3}{s}}}{\unit[0,5 \cdot 10 ^{-4}]{m^2}}= \unit[5,0]{\frac{m}{s}} \\

    Nachdem die Strömungsgeschwindigkeiten bekannt sind, können nun die zugehörigen dynamischen Drücke p_{\mathrm{dyn,1}} und p_{\mathrm{dyn,2}} im weiten und engen Rohrstück berechnet werden:

    p_{\mathrm{dyn,1}} &= \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_1^2 = \frac{1}{2} \cdot \unit[1,32]{\frac{kg}{m^3}} \cdot \left(\unit[1,25]{\frac{m}{s}}\right)^2 \approx \unit[1,03]{Pa} \\ p_{\mathrm{dyn,2}} &= \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot \unit[1,32]{\frac{kg}{m^3}} \cdot \left(\unit[5,0\phantom{5}]{\frac{m}{s}}\right)^2 \approx \unit[16,5]{Pa}

    Da nach der Bernoulli-Gleichung der Gesamtdruck in beiden Rohrteilen gleich ist, muss im ersten, weiteren Rohrteil der statische Druck um \Delta p = p_{\mathrm{dyn,2}} - p_{\mathrm{dyn,1}} höher sein als im zweiten. Der statische „Überdruck“, der am linken Ende des U-Rohrs anliegt, wird im Gleichgewichtsfall durch zusätzlichen statischen Druck ausgeglichen, der sich durch die zusätzliche Füllhöhe im rechten Teil des U-Rohrs ergibt. Es gilt also:

    \Delta p = p_{\mathrm{dyn,2}} - p_{\mathrm{dyn,1}} = \rho_{\mathrm{Fl}} \cdot g \cdot \Delta h

    Diese Gleichung kann nach der gesuchten Größe \Delta h aufgelöst werden:

    \Delta h = \frac{p_{\mathrm{dyn,2}}- p_{\mathrm{dyn,1}}}{\rho_{\mathrm{Fl}} \cdot g} = \frac{\unit[16,5]{Pa} - \unit[1,03]{Pa}}{\unit[1000]{\frac{kg}{m^3}} \cdot \unit[9,81]{\frac{m}{s^2}}} \approx \unit[1,6 \cdot 10 ^{-3}]{m}

    Der Höhenunterschied der Wasserstände im U-Rohr beträgt somit rund \unit[1,6]{mm}.

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  • Bei einer konstanten Sinkgeschwindigkeit müssen sich die wirkenden Kräfte – die nach unten gerichtete Gewichtskraft und die entgegengesetzt wirkende Luftwiderstands-Kraft – gegenseitig aufheben. Es muss also gelten:

    m \cdot g = \frac{1}{2} \cdot \rho_{\mathrm{L}} \cdot c_{\mathrm{w}} \cdot v^2 \cdot A \quad \Longleftrightarrow \quad A = \frac{2 \cdot m \cdot g}{\rho_{\mathrm{L}} \cdot c_{\mathrm{w}} \cdot v^2}

    Für die (runde) Fallschirm-Fläche gilt A = \frac{\pi}{4} \cdot d^2; für den Radius d des Fallschirms ergibt sich somit:

    d = \sqrt{\frac{2 \cdot m \cdot g \cdot 4}{c_{\mathrm{w}} \cdot \rho_{\mathrm{L}}\cdot \pi \cdot v^2 }} = \sqrt{\frac{8 \cdot \unit[100]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}}}{1,3 \cdot \unit[1,2]{\frac{kg}{m^3}} \cdot \pi \cdot \left( \unit[8,0]{\frac{m}{s}} \right)^2}} \approx \unit[5,0]{m}

    Die Einheit ergibt sich, wenn man \unit{N} = \unit{kg \cdot \frac{m}{s^2}} setzt:

    \unit{\sqrt{\frac{kg \cdot \frac{m}{s^2}}{\frac{kg}{m^3} \cdot \frac{m^2}{s^2}} }} = \unit{\sqrt{m^2} }= \unit{m}

    Der Fallschirm muss somit einen Durchmesser von rund \unit[5]{m} aufweisen.

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