Navigation

Inhalt

Vorheriges Thema

Fazit

Diese Seite

Anhang

Die Ekliptik der Erde

Die Erde bewegt sich in einer leicht elliptischen Bahn um die Sonne. Dabei ist ihre Rotationsachse um etwa 23,5° gegenüber der Senkrechten zur Erdbahn geneigt. [1]

fig-ekliptik

Ekliptik der Erde. Der schräg eingezeichnete Kreis gibt die Äquatorebene der Erde an, der horizontal verlaufende Kreis wird als Himmelsäquator bezeichnet. Quelle: [Boer2009]

Aufgrund dieser Neigung wird während des Nordsommers die Nordhalbkugel und während des Nordwinters die Südhalbkugel stärker bestrahlt. Dieser Effekt überwiegt, was die Nordhemisphäre anbelangt, bei weitem die leicht erhöhte Sonneneinstrahlung im Januar aufgrund eines geringeren Sonnenabstands: Der sonnennähste Punkt (Perihel) wird am 2. Januar, der entfernteste Punkt (Aphel) am 2. Juli durchlaufen.

fig-wendekreis

Beleuchtungsverhältnisse zum Zeitpunkt der Sommersonnenwende (oben) bzw. Wintersonnenwende (unten). Nach: [Roedel2000]

Jeweils zur Sonnenwende am 21. Juni bzw. am 21. Dezember erreicht die Sonne am nördlichen bzw. südlichen Wendekreis (23,5° N/S) ihren Höchstand (‘Scheitelpunkt’, ‘Zenit’). Zum gleichen Zeitpunkt geht jenseits der Polarkreise (90° - 23,5° = 66,5°) N/S die Sonne nicht unter (Polartag). Der Frühlings- bzw. Herbstpunkt markiert die Tag- und Nachtgleiche, an welcher beide Hemisphären gleich stark bestrahlt werden. Zu diesen Zeitpunkten steht die senkrecht über dem Erdäquator.

Mit Hilfe des als “Deklination” bezeichneten Winkels \delta zwischen Himmelsäquator und den analog zu den Breitenkreisen dazu verlaufenden Parallelkreisen kann der jahreszeitliche Verlauf des Sonnenhöchststands h_{\rm{max}} (‘Kulmination’) in Abhängigkeit von der geographischen Breite \varphi berechnet werden:

(1)h _{\rm{max.}} = \delta + 90° - \varphi

Augsburg (48,5° N, 11° S) erreicht beispielsweise während der Sommersonnenwende eine Mittagshöhe von h_{\rm{max.,Augsburg}} \approx 65°.

Mathematische Herleitungen

Scheinkräfte auf der Erde

Die Erdrotation \vec{\Omega} kann in der Meteorologie in guter Näherung als als konstant angenommen werden. Dadurch gilt für die Änderung der Geschwindigkeit v_{\rm{i}} im Erdsystem aus Sicht eines Inertialsystems ([Etling2008]):

(2)\left( \frac{\mathrm{d} \vec{v}_{\rm{i}}}{\mathrm{d} t} \right)_{\rm{i}} &= \left( \frac{\mathrm{d} \vec{v}_{\rm{e}}}{\mathrm{d} t} \right)_{\rm{i}} \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \vec{\Omega} \times \vec{r} \right) _{\rm{i}}\\ &= \left( \frac{ \mathrm{d} \vec{v}_{\rm{e}}}{\mathrm{d} t} \right)_{\rm{i}} + \vec{\Omega} \times \left(\frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right)_{\rm{i}} \\ &= \left( \frac{\mathrm{d} \vec{v}_{\rm{e}}}{\mathrm{d} t} \right)_{\rm{e}} + \vec{\Omega } \times \vec{v}_{\rm{e}} + \vec{\Omega} \times \left( \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right)_{\rm{e}} + \vec{\Omega} \times \vec{\Omega } \times \vec{r}\\ &= \left( \frac{\mathrm{d} \vec{v}_{\rm{e}}}{\mathrm{d} t} \right)_{\rm{e}} +2 \cdot \vec{\Omega} \times \vec{v}_{\rm{e}} + \vec{\Omega} \times \vec{\Omega} \times \vec{r}

Die Eulersche Zerlegung

Für eine beliebige skalare oder vektorielle Funktion des Ortes und der Zeit e=e(x _{\rm{1}}, x _{\rm{2}}, x _{\rm{3}}, t) gilt für das totale Differential:

(3)\mathrm{d} e &= \frac{\partial e}{\partial t} \cdot \mathrm{d} t \; + \; \frac{\partial e}{\partial x _{\rm{1}} }\cdot \mathrm{d} x _{\rm{1}} \; + \; \frac{\partial e}{\partial x _{\rm{2}} } \cdot \mathrm{d} x _{\rm{2}} \; + \; \frac{\partial e}{\partial x _{\rm{3}} } \cdot \mathrm{d} x _{\rm{3}} \\

bzw. für dessen zeitliche Änderung in umgeschriebener Form

(4)\frac{ \mathrm{d} e}{\mathrm{d} t} &= \frac{\partial e}{\partial t} + v _{\rm{1}} \cdot \frac{\partial e}{\partial x _{\rm{1}} } + v _{\rm{2}} \cdot \frac{\partial e}{\partial x _{\rm{2}}} + v _{\rm{3}} \cdot \frac{\partial e}{\partial x_{\rm{3}}}

Mit Hilfe der Definition der Divergenz \vec{\nabla} \cdot \vec{A} = \frac{\partial \vec{A}}{\partial x _{\rm{1}}} +\frac{\partial \vec{A}}{\partial x _{\rm{2}} } + \frac{\partial \vec{A} }{\partial x_{\rm{3}}} erhält man mit e \equiv v das gewünschte Resultat:

(5)\frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + ( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} ) \cdot \vec{v}

Herleitung der Vorticity-Gleichung

Zur Herleitung der Vorticity-Gleichung sind einige Rechenregeln für Differentialoperatoren nötig. In Gleichung (6) sind die relevanten Formeln zusammengestellt, wobei \vec{A} und \vec{B} jeweils beliebige vektorielle Größen sind, und \Psi ein Skalar ([Bronstein2001], [Etling2008]).

(6)\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \Psi &= 0 \\ \vec{\nabla} \times (\Psi \cdot \vec{A}) &= \Psi \cdot \vec{\nabla} \times \vec{A} - \vec{A} \times (\vec{\nabla} \Psi ) \\ \vec{\nabla} \times (\vec{A} \times \vec{B}) &= \vec{A} \cdot (\vec{\nabla} \cdot \vec{B}) + (\vec{B} \cdot \vec{\nabla} )\cdot \vec{A} - \vec{B}\cdot (\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) - (\vec{A} \cdot \vec{\nabla} ) \cdot \vec{B} \\ \vec{A} \times (\vec{\nabla} \times \vec{B}) &= (\vec{A}\times \vec{\nabla} ) \times \vec{B} = (\vec{\nabla} \cdot \vec{B}) \cdot \vec{A} - (\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) \cdot \vec{B} \\ \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{A}) &=\vec{\nabla} (\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) - \vec{\nabla} ^{2} \vec{A} \\ \vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{A}) &= 0 \\ \vec{\nabla} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) &= \vec{B} \cdot \vec{\nabla} \times \vec{A} - \vec{A}\cdot \vec{\nabla} \times \vec{B} \\ \vec{\nabla} (\vec{A} \cdot \vec{B}) &= (\vec{A} \cdot \vec{\nabla})\cdot \vec{B} + (\vec{B} \cdot \vec{\nabla})\cdot \vec{A} + \vec{A}\times (\vec{\nabla} \times \vec{B}) + \vec{B}\times (\vec{\nabla} \times \vec{A})

Ausgangspunkt für Herleitung der Vorticity-Gleichung ist die Navier-Stokes-Gleichung (?), die hier zur Übersichtlichkeit noch einmal wiedergegeben wird:

(7)\rho \cdot \frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{d} t} &= -\vec{\nabla} p + \rho \cdot \vec{g}_{\rm{s}} - 2 \cdot \rho \cdot \vec{\Omega} \times \vec{v} + \eta \cdot \vec{\nabla} ^{2} \vec{v}

Mittels einer anderen Variante der Eulerschen Zerlegung (5) folgt für die Zeitableitung \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} t} auf der linken Seite: [2]:

(8)\left( \frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{d} t} \right) = \frac{\partial \vec{v} }{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{\nabla} ) \cdot \vec{v} = \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \frac{1}{2} \cdot \vec{\nabla} \vec{v}^{2} - \vec{v} \times (\vec{\nabla} \times \vec{v})

Dieser Ausdruck wird in Gleichung (7) eingesetzt. Hierauf kann nun der Rotationsoperator (\vec{\nabla} \times) angewandt werden. Mit der Definition der Vorticity \zeta \equiv \left( \vec{\nabla} \times \vec{v}\right)_{\rm{z}} ergibt sich für die linke Seite der Vorticity-Gleichung:

\vec{\nabla} &\times \rho \cdot \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} - \vec{v} \times \zeta + \frac{1}{2} \cdot \vec{\nabla} \vec{v}^{2} \right) \stackrel{(6), Z.3 }= \\ &= \rho \cdot \left( \frac{\partial \zeta }{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{\nabla} )\cdot \zeta \; + \;\zeta \cdot (\vec{\nabla} \cdot \vec{v}) - (\zeta \cdot \vec{\nabla}) \cdot \vec{v} - \underbrace{ \vec{v} \cdot (\vec{\nabla} \cdot \zeta)}_{\stackrel{Gl.(6), Z.6 }=0} + \underbrace{\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \frac{\vec{v}^{2}}{2}} _{\stackrel{Gl.(6), Z.1}= 0}\right)

Nach Anwendung des Rotationsoperators ergibt sich für die rechte Seite der Vorticity-Gleichung bei konstanter Luftdichte \rho:

\vec{\nabla} &\times \left( \vec{\nabla} p + \rho \cdot g - 2 \cdot \rho \cdot \vec{v} \times \vec{\Omega } + \eta \cdot \vec{\nabla} ^{2} \vec{v} \right) = \\ &= - \underbrace{\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} p}_{\stackrel{Gl.6, Z.1}=0} \; - \underbrace{\vec{\nabla} \times (\cdot \rho \cdot g)}_{=0} \;+\; 2\cdot \rho \big(-\vec{ \Omega }\cdot (\vec{\nabla} \cdot \vec{v}) - (\vec{v}\cdot \vec{\nabla} ) \cdot \vec{\Omega} \big) + \eta \cdot \vec{\nabla} ^{2} \zeta

Hier wurde die Konstanz der Erdrotation \vec{\Omega } vorausgesetzt und bei der Berechnung des Reibungsterms ausgenutzt, dass der Laplace-Operator invariant gegen Drehungen ist ([Bronstein2001]).

Somit lassen sich beide Seiten zur Vorticity-Gleichung zusammenfassen:

(9)\rho \left( \frac{\partial \zeta }{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{\nabla} )\cdot (\zeta + 2 \cdot \vec{ \Omega}) + (\zeta + 2 \cdot \vec{\Omega } ) \cdot (\vec{\nabla} \cdot \vec{v}) \right) - \eta \cdot \vec{\nabla} ^{2} \zeta = 0

Übersicht über genutzte Symbole

Formelzeichen

Symbol Definition/ Einheit Erläuterung
A \unit[]{m^2} Fläche
\alpha   Anströmwinkel
c_{\mathrm{a}}   Auftriebsbeiwert
c_{\rm{p}} \unit[]{J / (kg \cdot K)} spez. Wärme eines Gases für p= \text{ konst. }
c_{\rm{v}} \unit[]{J / (kg \cdot K)} spez. Wärme eines Gases für V= \text{ konst. }
c_{\rm{w}}   Widerstandsbeiwert
D   Deformationstensor
\vartheta   Polarwinkel der Erder
E \unit[]{J} Energie
\varepsilon   Emissionskoeffizient
\vec{F} \unit[]{N} Kraft
f_{\rm{C}} 2 \cdot \left| \vec{\Omega} \right| \cdot \sin{\phi} Coriolis-Parameter
\phi   Breitenwinkel der Erde
\varphi   Azimuthwinkel der Erde
G_{\rm{E,L}}   Generationsrate von Elektron-Loch-Paaren
\vec{g}_{\rm{s}} \approx (0,0,-g) effektive Schwerkraft
\eta   Dynamische Viskosität (Kapitel Die Physik der Atmosphäre)
\eta   Wirkungsgrad
I \unit[]{A} Stromstärke
m \unit[]{kg} Masse
n_{\rm{i}}   Eigenleitungsdichte
\vec{\nabla}   Nabla-Operator (\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y}, \frac{\partial }{\partial z})
\nu \unit[]{Hz}=\unit[]{1/s} (Licht-)Frequenz
\vec{P}_{\rm{R}}   Reibungstensor
P \unit[]{P} Leistung
\vec{p} \unit[]{N \cdot s} Impuls
p \unit[]{Pa}=\unit[]{N/m^2} Luftdruck
Q \unit[]{J} Wärmemenge
R \rm{\Omega } Widerstand
\vec{r}   Ortsvektor bzw. Radius
\rho \unit[]{kg / m^3} Dichte
s   Standardabweichung
\hat{\sigma } \unit[]{m} Großkreis-Entfernung
T \unit[]{K} Temperatur
t \unit[]{s} Zeit
U \unit[]{V} Spannung
\vec{u} \unit[]{m/s} Umlaufgeschwindigkeit
\vec{v} \unit[]{m/s} Geschwindigkeit
\vec{v}^{*}   Schubspannungsgeschwindigkeit
W \unit[]{g/m^3} Wasserdampfgehalt (absol. Feuchte)
\vec{\Omega} \frac{2 \cdot \pi }{t} Rotationsvektor
\vec{\omega} \unit[]{1/s} Kreisfrequenz
z_{0} \unit[]{m} Rauhigkeitshöhe
\zeta   Relative Vorticity
\zeta _{\rm{a}}   Absolute Vorticity

Naturkonstanten

Symbol Wert Bezeichnung
c \unit[3,0 \cdot 10^{8}]{m/s} (Vakuum-)Lichtgeschwindigkeit
e 2,71828\ldots Eulersche Zahl
e_{\rm{0}} 1,6022\cdot 10^{-19} Elementarladung
g \unit[9,81]{m / s^{2}} Schwerebeschleunigung in Erdnähe
h \unit[6,626 \cdot 10^{-34}]{J/K} Plancksches Wirkungsquantum
\kappa 0,4 von-Karman-Konstante
k_{\rm{B}} \unit[1,381 \cdot 10^{23}]{J/K} Boltzmann-Konstante
\mu _{\rm{0}} \unit[4 \cdot \pi \cdot 10^{-7}]{N / A^2} Magnetische Feldkonstante
\pi 3,14159 Kreiszahl
R \unit[8,3144]{J/(mol \cdot K)} Allgemeine Gaskonstante
R_{\rm{E}} \unit[ 6370 ]{km} Erdradius
\sigma \unit[5,67 \cdot 10^{-8}]{W / (m^2 \cdot K^4)} Stefan-Boltzmann-Konstante

Danksagung und Erklärung

Zu guter Letzt möchte ich mich bei allen bedanken, die auf vielseitige Weise zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben. Als Höhepunkt und Ende meines Studiums an der Universität Augsburg wurde sie am Lehrstuhl für Experimentelle Plasmaphysik bzw. in den vom Wissenschaftszentrum Umwelt (WZU) zur Verfügung gestellten Räumlichkeiten angefertigt. Das offengeistige und interdisziplinäre Klima in diesem Umfeld wird mir noch lange positiv in Erinnerung bleiben.

Insbesondere möchte ich mich ganz herzlich bei folgenden Personen bedanken:

  • Prof. Dr.-Ing. Kurt Behringer hat die Themenstellung angenommen und sich zur Übername des Erstgutachtens bereiterklärt.
  • Prof. Dr. Jucundus Jacobeit hat nicht nur die Anfertigung das Zweitgutachtens übernommen, sondern wertvolle Fach- und Literaturhinweise geliefert.
  • Dr. Thomas Hamacher schuf mit einer angenehmen Menschlichkeit und großem Ideenreichtum eine wunderbare Atmosphäre. Darüber hinaus konnten seine guten Tips und programmiertechnischen Finessen in mancher Phase entscheidend weiterhelfen.
  • Das WZU-Team um Dr. Jens Soentgen war immer für Fragen offen und hatte meist auch die passenden Antworten. Speziell mit Stephanie Seubert ergaben sich hilfreiche Diskussionen über Meteorologie und Statistik. Ohne Dr. Simon Meissner und Dr. Ulrike Beyer wäre interessante Fachliteratur sowie manche Information im Internet unentdeckt geblieben.
  • Fachlich wie menschlich kann man sich einen besseren Bürokollegen als Joachim Herrmann wohl nicht wünschen. In vielen Diskussionen ist er auch über die Uni hinaus zu einem guten Freund geworden.
  • Frank Zirkelbach und Rolf Anders haben mit Korrekturlesen, Linux-Tips und zahlreichen Diskussionen zum Gelingen der Arbeit beigetragen. Auch der Fachschaft Physik, speziell Thomas Haberl, Cyril Stephanos und Lothar Schmid möchte ich für eine unterhaltsame und lehrreiche Zeit während der ersten Studienjahre danken.
  • Prof. Dr. Hans Sturm hat mir mit seinen philosophischen Vorlesungen und Stammtischen die Türe zu ganzheitlicher Weltbetrachtung ein Stück weiter geöffnet.
  • Für eine wunderschöne wunderbare und informative Zeit neben dem Studium haben die Augsburger Greenpeace-Gruppe, der Hamlar-Freundeskreis, die Attacis, Bäckerei-Veganer und übrigen Philosophen gesorgt.
  • Insbesondere Jana Linzenkirchner hat als unentbehrliche Weggefährtin die letzten Jahre entscheidend geprägt. Ihr und meinen Eltern, die das Studium überhaupt erst ermöglicht und mich bis zuletzt voll unterstützt haben, gilt der größte Dank.

Anmerkungen:

[1]Die Richtung, in welche die Rotationsachse geneigt ist, dreht sich aufgrund der Präzession einmal in etwa 25700 Jahren um die Bahnsenkrechte.
[2]Diese sogenannte Weber-Transformation wird in [Roedel2000] trickreich hergeleitet, folgt mit \vec{\nabla} \vec{v}^{2} = \vec{\nabla} (\vec{v} \cdot \vec{v}) allerdings auch direkt aus (6), Z.8.

Literaturhinweise:

[Boer2009]K.S. de Boer: Bewegungen von Erde und Mond. 2009, http://www.astro.uni-bonn.de/~deboer/eida/erdemond.html

Navigation

Zuletzt aktualisiert am 04. Jan 2013. Kontakt/Impressum