.. _Lösungen Reihen- und Parallelschaltungen: Reihen- und Parallelschaltungen =============================== Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Reihen- und Parallelschaltungen `. .. rubric:: Reihen- und Parallelschaltungen von Stromquellen ---- .. _srps01l: * Bei einer Reihenschaltung von :math:`n` Stromquellen addieren sich die Werte der Spannungen :math:`U_1,\, U_2 ,\, \ldots ,\, U_{\mathrm{n}}` zu einer Gesamtspannung :math:`U_{\mathrm{ges}}`. Wenn drei Batterien mit einer Spannung von je :math:`\unit[1,5]{V}` in Reihe geschaltet werden, ergibt sich somit folgende Gesamt-Spannung: .. math:: U_{\mathrm{ges}} &= U_1 + U_2 + U_3 = \unit[1,5]{V} + \unit[1,5]{V} + \unit[1,5]{V} = \unit[4,5]{V} Bei einer Parallelschaltung von (gleichartigen) Stromquellen ist die Gesamtspannung gleich der Spannung einer einzelnen Stromquelle. [#]_ Eine Parallelschaltung zweier :math:`\unit[1,5]{V}`-Batterien liefert somit eine Gesamt-Spannung von ebenfalls :math:`\unit[1,5]{V}`. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _Lösungen Reihen- und Parallelschaltungen von Widerständen: .. rubric:: Reihen- und Parallelschaltungen von Widerständen ---- .. _srpw01l: * Bei einer Reihenschaltung von Widerständen treten keine Verzweigungen auf; in jeden Netzwerk-Knoten fließt somit gleich viel Strom hinein, wie aus ihm auch wieder hinausfließt. Es gilt somit :math:`I=\text{konst}` an allen Stellen in der Schaltung. Eine Reihenschaltung bildet zudem gemeinsam mit der Spannungsquelle eine Masche. Innerhalb dieser Masche ergeben alle Spannungen in Summe Null. Nach dem Ohmschen Gesetz gilt: .. math:: U_1 &= R_1 \cdot I \\ U_2 &= R_2 \cdot I \\ U_{\mathrm{ges}} &= R_{\mathrm{ges}} \cdot I \\ .. image:: ../pics/schaltungen/reihen-und-parallelschaltung-maschenregel-loesung.png :align: center :width: 50% .. only:: html .. centered:: :download:`SVG: Netzwerk-Knoten (Loesung) <../pics/schaltungen/reihen-und-parallelschaltung-maschenregel-loesung.svg>` Aus der :ref:`Maschenregel ` ergibt sich: .. math:: U_{\mathrm{ges}} = U_1 + U_2 Setzt man die aus dem Ohmschen Gesetz resultierenden Ausdrücke in diese Gleichung ein, so erhält man: .. math:: R_{\mathrm{ges}} \cdot I &= R_1 \cdot I + R_2 \cdot I \\ \Rightarrow R_{\mathrm{ges}} &= R_1 + R_2 \quad \checkmark Die Formel :math:`R_{\mathrm{ges}} = R_1 + R_2` für die Reihenschaltung zweier Widerstände folgt somit unmittelbar aus dem Ohmschen Gesetz sowie der Kirchhoffschen Maschenregel. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _srpw02l: * In einer Parallelschaltung ist die Gesamt-Stromstärke :math:`I_{\mathrm{ges}}` gleich der Summe der (Teil-)Stromstärken :math:`I_1,\, I_2,\, \ldots ,\, I_{\mathrm{n}}`. Betragen die Stromstärken :math:`I_1` und :math:`I_2` in zwei Stromzweigen :math:`\unit[1,8]{A}` bzw. :math:`\unit[2,2]{A}`, so ergibt sich damit folgende Gesamt-Stromstärke: .. math:: I_{\mathrm{ges}} = I_1 + I_2 = \unit[1,8]{A} + \unit[2,2]{A} = \unit[4,0]{A} Die Gesamt-Stromstärke beträgt somit :math:`I_{\mathrm{ges}} = \unit[4,0]{A}`. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _srpw03l: * Bei einer Reihenschaltung ist der Gesamtwiderstand :math:`R_{\mathrm{ges}}` gleich der Summe der einzelnen Widerstandswerte; für eine Reihenschaltung zweier Widerstände :math:`R_1 = \unit[100]{\Omega }` und :math:`R_2 = \unit[50]{\Omega }` gilt somit: .. math:: R_{\mathrm{ges}} = R_1 + R_2 = \unit[100]{\Omega } + \unit[50]{\Omega } = \unit[150]{\Omega } Durch Einsetzen des Werts der anliegenden Spannung :math:`U_{\mathrm{ges}} = \unit[9]{V}` und des Gesamtwiderstandes :math:`R_{\mathrm{Ges}} = \unit[150]{\Omega}` in das Ohmsche Gesetz :math:`U_{\mathrm{ges}} = R_{\mathrm{ges}} \cdot I` folgt damit für die fließende Stromstärke :math:`I`: .. math:: U_{\mathrm{ges}} = R_{\mathrm{ges}} \cdot I \quad \Leftrightarrow \quad I = \frac{U_{\mathrm{ges}}}{R_{\mathrm{ges}}} .. math:: I = \frac{U_{\mathrm{ges}}}{R_{\mathrm{ges}}} = \frac{\unit[9]{V}}{\unit[150]{\Omega}} = \unit[0,06]{A} = \unit[60]{mA} Die Stromstärke beträgt somit :math:`I = \unit[60]{mA}` (an allen Stellen der Reihenschaltung). Wiederum mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes können damit die beiden Teilspannungen :math:`U_1 = R_1 \cdot I` und :math:`U_2 = R_2 \cdot I` an den beiden Widerständen berechnet werden: .. math:: U_1 &= R_1 \cdot I = \unit[100]{\Omega} \cdot \unit[0,06]{A} = \unit[6]{V} \\[6pt] U_2 &= R_1 \cdot I = \unit[50]{\Omega} \cdot \unit[0,06]{A} = \unit[3]{V} Die beiden Teilspannungen :math:`U_1` und :math:`U_2` betragen somit :math:`\unit[6]{V}` bzw. :math:`\unit[3]{V}`. In der Summe ergeben sie die Gesamtspannung :math:`U_{\mathrm{ges}} = \unit[9]{V}`, zueinander stehen sie im gleichen Verhältnis wie die Werte :math:`R_1` und :math:`R_2` der Widerstände :math:`(\frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{1})`. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _srpw04l: * Bei einer Parallelschaltung ist der Kehrwert des Gesamtwiderstands :math:`\frac{1}{R_{\mathrm{ges}}}` gleich der Summe der Kehrwerte der einzelnen Widerstandswerte; für eine Reihenschaltung zweier Widerstände :math:`R_1 = \unit[100]{\Omega }` und :math:`R_2 = \unit[50]{\Omega }` gilt somit: .. math:: \frac{1}{R_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{\unit[100]{\Omega }} + \frac{1}{\unit[50]{\Omega }} = \unit[\frac{3}{100} ]{\frac{1}{\Omega }} .. math:: \Rightarrow R_{\mathrm{ges}} = \unit[\frac{100}{3}]{\Omega } \approx \unit[33,3]{\Omega } Durch Einsetzen des Werts der anliegenden Spannung :math:`U = \unit[9]{V}` und des Gesamtwiderstandes :math:`R_{\mathrm{Ges}} = \unit[33,3]{\Omega }` in das Ohmsche Gesetz :math:`U = R \cdot I` folgt damit für die im unverzweigten Teil fließende Stromstärke :math:`I_{\mathrm{ges}}`: .. math:: U = R_{\mathrm{ges}} \cdot I_{\mathrm{ges}} \quad \Leftrightarrow \quad I = \frac{U}{R_{\mathrm{ges}}} .. math:: I_{\mathrm{ges}} = \frac{U}{R_{\mathrm{ges}}} = \frac{\unit[9]{V}}{\unit[33,3]{\Omega }} = \unit[0,27]{A} = \unit[270]{mA} Die Stromstärke beträgt im unverzweigten Teil der Schaltung somit :math:`I = \unit[270]{mA}`. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _srpw05l: * Bei einer Parallelschaltung lässt sich der Kehrwert des Gesamtwiderstands :math:`\frac{1}{R_{\mathrm{ges}}}` als Summe der Kehrwerte der einzelnen Widerstandswerte berechnen: .. math:: \frac{1}{R_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{\unit[100]{\Omega }} + \frac{1}{\unit[470]{\Omega }} + \frac{1}{\unit[1\,000]{\Omega }} \approx \unit[0,013]{\frac{1}{\Omega } } .. math:: \Rightarrow R_{\mathrm{ges}} \approx \unit[76,2]{\Omega } Die Spannung :math:`U= \unit[9]{V}` bleibt an allen Stellen der Parallelschaltung unverändert. Die Gesamt-Stromstärke :math:`I_{\mathrm{ges}}` sowie die Stromstärken :math:`I_1,\, I_2,\, I_3` durch die Widerstände :math:`R_1,\, R_2,\, R_3` lassen sich mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes berechnen: .. math:: I_{\mathrm{ges}} = \frac{U}{R_{\mathrm{ges}}} &= \frac{\unit[9]{V}}{\unit[76,2]{\Omega}} =~ \unit[0,12]{A} \\[6pt] I_1 = \frac{U}{R_1} &= \frac{\unit[9]{V}}{\unit[100]{\Omega}} =~ \unit[0,09]{A} \\[4pt] I_2 = \frac{U}{R_2} &= \frac{\unit[9]{V}}{\unit[470]{\Omega}} =~ \unit[0,02]{A} \\[4pt] I_3 = \frac{U}{R_3} &= \frac{\unit[9]{V}}{\unit[1\,000]{\Omega}} =~ \unit[0,01]{A} Bei einer Reihenschaltung lässt sich der Gesamtwiderstand :math:`R_{\mathrm{ges}}` als Summe der einzelnen Widerstandswerte berechnen: .. math:: R_{\mathrm{ges}} = R_1 + R_2 + R_3 = \unit[100]{\Omega } + \unit[470]{\Omega} + \unit[1\,000]{\Omega} = \unit[1\,570]{\Omega} Durch Einsetzen der anliegenden Spannung :math:`U_{\mathrm{ges}} = \unit[9]{V}` und des Gesamtwiderstands :math:`R_{\mathrm{ges}} = \unit[1\,570]{\Omega}` in das Ohmsche Gesetz folgt: .. math:: U_{\mathrm{ges}} = R_{\mathrm{ges}} \cdot I \quad \Leftrightarrow \quad I = \frac{U_{\mathrm{ges}}}{R_{\mathrm{ges}} } .. math:: I_{\mathrm{ges}} = \frac{U}{R_{\mathrm{ges}}} = \frac{\unit[9]{V}}{\unit[1570]{\Omega}} \approx \unit[0,0057]{A} = \unit[5,7]{mA} Auch die an den einzelnen Widerständen anliegenden Spannungen lassen sich mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes berechnen, wenn für die Stromstärke :math:`I = I_{\mathrm{ges}} \approx \unit[0,0057]{A}` eingesetzt wird: .. math:: U_1 &= R_1 \cdot I \approx \unit[100]{\Omega} \cdot \unit[0,0057]{A} \approx \unit[0,6]{V} \\[4pt] U_2 &= R_2 \cdot I \approx \unit[470]{\Omega} \cdot \unit[0,0057]{A} = \unit[2,7]{V} \\[4pt] U_3 &= R_3 \cdot I \approx \unit[1\,000]{\Omega} \cdot \unit[0,0057]{A} = \unit[5,7]{V} Die Summe der drei Teilspannungen entspricht (von Rundungsfehlern abgesehen) wieder der Gesamtspannung :math:`(U_{\mathrm{ges}} = U_1 + U_2 + U_3 = \unit[9]{V})`. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _srpw06l: * Die Parallelschaltung der beiden Widerstände :math:`R_1 = \unit[470]{\Omega}` und :math:`R_2 = \unit[220]{\Omega}` wirkt nach außen wie ein einzelner "Ersatzwiderstand" :math:`R_{\mathrm{Ers}}` mit folgendem Wert: .. math:: \frac{1}{R_{\mathrm{Ers}}} = \frac{1}{R_1 } + \frac{1}{R2} = \unit[1]{\unit[470]{\Omega }} + \unit[1]{\unit[220]{\Omega}} \approx \unit[0,0067]{\frac{1}{\Omega}} .. math:: \Rightarrow R_{\mathrm{Ers}} \approx \unit[150]{\Omega } Der gesamte Stromkreis kann damit als eine Reihenschaltung des Ersatzwiderstands :math:`R_{\mathrm{Ers}} \approx \unit[150]{\Omega}` und des Widerstands :math:`R_3 = \unit[560]{\Omega}` aufgefasst werden. Für den Gesamtwiderstand :math:`R_{\mathrm{ges}}` folgt: .. math:: R_{\mathrm{ges}} = R_{\mathrm{Ers}} + R_3 \approx \unit[150]{\Omega } + \unit[560]{\Omega} = \unit[710]{\Omega} Mit dem Ohmschen Gesetz lässt sich in Folge die Stromstärke :math:`I _{\mathrm{ges}}` im unverzweigten Teil des Stromkreises :math:`(U_{\mathrm{ges}} = \unit[9]{V},\, R_{\mathrm{ges}} \approx \unit[710]{\Omega})` bestimmen: .. math:: U = R_{\mathrm{ges}} \cdot I_{\mathrm{ges}} \quad \Leftrightarrow \quad I = \frac{U}{R_{\mathrm{ges}}} .. math:: I_{\mathrm{ges}} = \frac{U_{\mathrm{ges}}}{R_{\mathrm{ges}}} \approx \frac{\unit[9]{V}}{\unit[710]{\Omega}} \approx \unit[0,013]{A} = \unit[13]{mA} Mit :math:`I = I_{\mathrm{ges}} \approx \unit[0,013]{A}` lassen sich die an den Widerständen :math:`R_{\mathrm{Ers}}` und :math:`R_3` anliegenden Spannungen :math:`U_{\mathrm{Ers}}` bzw. :math:`U_3` bestimmen: .. math:: U_{\mathrm{Ers}} &= R_{\mathrm{Ers}} \cdot I \approx \unit[150]{\Omega} \cdot \unit[0,013]{A} \approx \unit[1,9]{V} \\[6pt] U_3 &= R_3 \cdot I \approx \unit[560]{\Omega} \cdot \unit[0,013]{A} \approx \unit[7,1]{V} Die Spannung :math:`U_{\mathrm{Ers}} \approx \unit[1,9]{V}` liegt an beiden parallelen Widerständen :math:`R_1` und :math:`R_2` an. Für die Stromstärken :math:`I_1` und :math:`I_2` in diesen beiden Stromzweigen ergibt sich somit: .. math:: I_1 = \frac{U_{\mathrm{Ers}}}{R_1} \approx \frac{\unit[1,9]{V}}{\unit[470]{\Omega}} \approx \unit[0,004]{A} \\[6pt] I_1 = \frac{U_{\mathrm{Ers}}}{R_2} \approx \frac{\unit[1,9]{V}}{\unit[220]{\Omega}} \approx \unit[0,009]{A} Die Summe der beiden Stromstärken ist wiederum gleich der Stromstärke :math:`I_{\mathrm{ges}}` im unverzweigten Stromkreis. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. foo .. only:: html .. rubric:: Anmerkungen: .. [#] Durch eine Parallelschaltung mehrerer Batterien oder Akkus kann allerdings deren gespeicherte Energiemenge und damit die "Haltbarkeit" der Stromquelle vergrößert werden. .. raw:: html
.. only:: html :ref:`Zurück zum Skript `