.. _Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen: Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen ====================================================== .. index:: Ableitung; von Exponentialfunktionen .. _Ableitungen von Exponentialfunktionen: Ableitungen von Exponentialfunktionen ------------------------------------- Eine Ableitungsregel für :ref:`Exponentialfunktionen ` kann mit Hilfe des :ref:`Differentialquotienten ` hergeleitet werden. Für eine Exponentialfunktion :math:`f(x) = a^x` gilt: .. math:: f'(x) = \frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x} \right) = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{a^{(x + \Delta x)} - a^x}{\Delta x}\right) Mit Hilfe der :ref:`Rechenregeln für Potenzen ` kann dieser Term weiter umgeformt werden. Es folgt: .. math:: f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{a^{(x + \Delta x)} - a^x}{\Delta x}\right) = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{a^x \cdot a^{\Delta x} - a^x}{\Delta x}\right) = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}\right) \cdot a^{x} Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist somit wieder eine Exponentialfunktion, die mit einem konstanten, jedoch von der Basis :math:`a` abhängigen Faktor multipliziert wird. Es lässt sich ein bestimmter Wert :math:`a_0` finden, für den der genannte Faktor gleich :math:`1` ist. Hierfür muss gelten: .. math:: \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{a_0^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \right) = 1 \quad \Longleftrightarrow \quad a_0 = \lim_{\Delta x \to 0} \left( 1 + \Delta x \right)^{\frac{1}{\Delta x}} .. index:: Eulersche Zahl Dieser Grenzwert entspricht formal dem Grenzwert einer Folge :math:`\lim_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}}` reeller Zahlen. Dieser Grenzwert konnte erstmals von `Leonhard Euler `_ bestimmt werden und wird zu dessen Ehren "Eulersche Zahl" :math:`e` genannt: .. math:: e = \lim_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}} = 2,718281\ldots Diese Zahl ist irrational und für die Mathematik von ähnlicher Bedeutung wie die Kreiszahl :math:`\pi`: Ist nämlich die Eulersche Zahl :math:`e` Basis einer Exponentialfunktion, ist also :math:`f(x) = e^x`, so ist die Ableitungsfunktion mit der ursprünglichen Funktion identisch, es gilt in diesem Fall also: .. math:: :label: eqn-ableitungsregel-natuerliche-exponentialfunktion f(x) = e^x \quad \rightarrow \quad f'(x) = e^x Die Funktion :math:`f(x) = e^x` wird mitunter auch als "natürliche" Exponentialfunktion bezeichnet. Für beliebige Exponentialfunktionen lässt sich eine Ableitungsregel herleiten, indem man ausnutzt, dass Exponential- und Logarithmusfunktionen bei gleicher Basis :math:`a` zueinander Umkehrfunktionen sind, also beispielsweise :math:`e ^{\ln{(a)}} = a` gilt. Für eine allgemeine Exponentialfunktion kann folglich geschrieben werden: .. math:: f(x) = a^{x} = (e^{\ln{(a)}})^x = e^{x \cdot \ln{(a)}} Um diese Funktion ableiten zu können, muss -- wie schon im Abschnitt :ref:`Ableitungen von Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten ` die so genannte "Kettenregel" genutzt werden: * Die Ableitung einer verketteten Funktion :math:`f(x) = f_1\big(f_2(x)\big)` ist gleich der Ableitung der äußeren Funktion multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion: .. math:: \Big(f_1\big(f_2(x)\big)\Big)' = \Big(f_1'\big(f_2(x)\big)\Big) \cdot f_2'(x) Beim Ableiten der äußeren Funktion wird die innere Funktion dabei unverändert gelassen. Für die obige Gleichung :math:`f(x) = e^{x \cdot \ln{(a)}}` entspricht :math:`f_1(x) = e^{x}` der äußeren und :math:`f_2=\ln{(a)} \cdot x` der inneren Funktion. Da :math:`\ln{(a)} = \text{konstant}` ist, gilt: [#]_ .. math:: f'(x) = \underbrace{e^{x \cdot \ln{(a)}}}_{\text{Ableitung der äußeren Funktion}} \cdot \underbrace{\ln{(a)}}_{\text{Ableitung der inneren Funktion}} Die natürliche Exponentialfunktion als äußere Funktion bleibt hierbei unverändert, die Ableitung der inneren Funktion :math:`f_2 = \ln{(a)} \cdot x = c \cdot x` ergibt den Wert :math:`f_2'(x) = \ln{(a)}`. Für Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis :math:`a` gilt also: .. math:: :label: eqn-ableitungsregel-exponentialfunktion f(x) = a^{x} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \ln{(a)} \cdot a^x In dieser Formel ist wegen :math:`\ln{(e)} = 1` der Sonderfall für die natürliche Exponentialfunktion enthalten. .. index:: Ableitung; von Logarithmusfunktionen .. _Ableitungen von Logarithmusfunktionen: Ableitungen von Logarithmusfunktionen ------------------------------------- Um eine Ableitungsregel für Logarithmusfunktionen herzuleiten, wird eine weitere, als "Umkehrregel" bezeichnete Ableitungsregel verwendet: * Die Ableitung :math:`\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}` einer Funktion :math:`y=f(x)` ist gleich dem Kehrwert der Ableitung ihrer Umkehrfunktion :math:`f_{\mathrm{u}}(y)`: .. math:: \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}} \quad \text{beziehungsweise} f'(x) = \frac{1}{f_{\mathrm{u}}'(y)} Im Fall einer Logarithmusfunktion ist :math:`y = f(x) = \log_{a}{(x)}` und, wenn man beide Seiten als Potenz zur Basis :math:`a` schreibt, :math:`x = f_{\mathrm{u}}(y) = a^{y}` . Somit gilt nach der Ableitungsregel :eq:`eqn-ableitungsregel-exponentialfunktion` für Exponentialfunktionen: .. math:: f_{\mathrm{u}}'(y) = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y} = \ln{(a)} \cdot a^{y} = \ln{(a)} \cdot x Für die Ableitung der Logarithmusfunktion gilt schließlich: .. math:: :label: eqn-ableitungsregel-logarithmusfunktion f(x) = \log_{a}{(x)} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{\ln{(a)} \cdot x} Im Sonderfall der natürlichen Logarithmusfunktion :math:`\ln{(x)} = \log_{e}{(x)}` ist :math:`\ln{(e)}=1` und somit: .. math:: :label: eqn-ableitungsregel-natuerliche-logarithmusfunktion f(x) = \ln{(x)} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{x} Alle weiteren Ableitungen der Logarithmusfunktion lassen sich dann gemäß den :ref:`Ableitungsregeln für gebrochenrationalen Funktionen ` bestimmen. .. raw:: html
.. only:: html .. rubric:: Anmerkungen: .. [#] Um sich die Wirkung der Kettenregel im Detail vorstellen zu können, kann man an dieser Stelle auch :math:`z = x \cdot \ln(a)` schreiben. Die äußere Funktion ist dann :math:`f_1(z) = e^{z}`, deren Ableitung :math:`f_1'(z) = e^{z} = e^{x \cdot \ln{(a)}}` ist.