.. index:: Extremwertaufgabe .. _Extremwertaufgaben: Extremwertaufgaben ================== Ein häufiger Anwendungsfall der Differentialrechnung sind so genannte Extremwertaufgaben. Bei diesem Aufgabentyp wird zunächst eine Funktionsgleichung aufgestellt, welche die gesuchte Größe als Variable enthält. Wird die erste Ableitung dieser Funktionsgleichung gebildet und diese gleich Null gesetzt, so erhält man eine oder mehrere Stellen, für welche die gesuchte Größe minimal oder maximal ist. *Beispiel:* * Mit :math:`l = \unit[100]{m}` Zaunlänge soll ein rechteckiges Flächenstück mit möglichst großem Flächeninhalt :math:`A` eingezäunt werden. Welche Länge :math:`l` beziehungsweise Breite :math:`b` muss das eingezäunte Stück haben? Die Fläche des eingezäunten Rechtecks kann als :math:`A = l \cdot b` geschrieben werden. Der Umfang kann als :math:`2 \cdot b + 2 \cdot l` ausgedrückt werden und soll gleich :math:`\unit[100]{m}` sein. Es gelten also folgende zwei Bedingungen: .. math:: A = l \cdot b = \text{max} \\ .. math:: 2 \cdot l + 2 \cdot b = \unit[100]{m} \quad \Longleftrightarrow \quad b = \unit[50]{m} - l Setzt man die nach :math:`b` aufgelöste zweite Gleichung in die erste Gleichung ein, so erhält man eine Funktionsgleichung, die als Variable die gesuchte Länge :math:`l` enthält: .. math:: A = l \cdot b = l \cdot (50 - l) = -l^2 + \unit[50]{m} \cdot l Um die ideale Länge :math:`l_0` zu bestimmen, wird die Flächenfunktion :math:`A(l)` einmal nach der Variablen :math:`l` abgeleitet. Diese Ableitung kann dann gleich Null gesetzt werden: .. math:: A' = -2 \cdot l + \unit[50]{m} &\stackrel{!}= 0 \\[4pt] \Rightarrow l &= \unit[25]{m} Damit ist auch :math:`b = \unit[50]{m} - l = \unit[25]{m}`. Der Flächeninhalt :math:`A` beträgt bei dieser Aufteilung :math:`(\unit[25]{m})^2 = \unit[625]{m^2}`. Die Herausforderung bei Extremwertaufgaben liegt in der mathematischen Formulierung der Bedingungen, aus deren Kombination sich eine mathematische Funktion mit der gesuchten Variablen aufstellen lässt. Die Bestimmung der Extremwerte erfolgt dann stets nach dem gleichen Prinzip.