.. _Lösungen Differentialrechnung: Differentialrechnung ==================== Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Differentialrechnung `. ---- .. _dif01l: * Differenzierbarkeit setzt Stetigkeit voraus, jede an einer Stelle :math:`x_0` differenzierbare Funktion ist somit an dieser Stelle auch stetig. Die Umkehrung gilt jedoch nicht: Beispielsweise ist die Funktion :math:`y=|x|` an der Stelle :math:`x_0=0` zwar stetig (weil der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert sowie der Funktionswert an dieser Stelle übereinstimmen), aber nicht differenzierbar (weil die Steigungen unmittelbar links und rechts von :math:`x_0` nicht übereinstimmen). :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _dif02l: * Die Ableitung der Funktion :math:`f(x) = \frac{c \cdot x}{x^2 - c^2}` mit :math:`c \in \mathbb{R} ^{+}` kann mittels der Quotientenregel bestimmt werden. Mit :math:`f_1(x) = c \cdot x` und :math:`f_2(x) = x^2 - c^2` gilt: .. math:: \left(\frac{f_1(x)}{f_2(x)} \right)' &= \frac{f_1'(x) \cdot f_2(x) - f_1(x) \cdot f_2'(x)}{\big(f_2(x)\big)^2} \\[4pt] &= \frac{(c \cdot 1) \cdot (x^2 - c^2) - c \cdot x \cdot (2 \cdot x - 0)}{(x^2 - c^2)^2} \\[4pt] &= \frac{c \cdot x^2 - c^3 - 2 \cdot c \cdot x^2 }{(x^2 - c^2)^2} = \frac{-c \cdot x^2 - c^3}{(x^2 - c^2)^2} = \frac{-c \cdot (x^2 + c^2)}{(x^2 - c^2)^2} :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. foo .. only:: html :ref:`Zurück zum Skript `