.. _Zusammenfassung wichtiger Ableitungsregeln: Zusammenfassung wichtiger Ableitungsregeln ========================================== Im Folgenden sind die wichtigsten Ableitungsregeln der vorherigen Abschnitte nochmals kurz zusammengefasst. .. index:: Ableitungsregeln .. _Allgemeine Ableitungsregeln: Allgemeine Ableitungsregeln --------------------------- Die folgenden Ableitungsregeln sind allgemein für beliebige Funktionen gültig: * Lässt sich eine Funktion :math:`f(x)` als Summe einer anderen Funktion :math:`f_1(x)` mit einem konstanten Summanden :math:`c` darstellen, so ist ihre Ableitungsfunktion :math:`f'(x)` mit der Ableitung :math:`f_1'(x)` der anderen Funktion identisch: .. math:: :label: eqn-ableitungsregel-konstanter-wert f_1(x) = f_2(x) + c \quad \Rightarrow \quad f_1'(x) = f_2'(x) {\color{white} +c} Insbesondere ist die Ableitung beziehungsweise Steigung einer konstanten Funktion :math:`f(x) = c` gleich Null. * Lässt sich eine Funktion :math:`f_1(x)` als Produkt einer anderen Funktion :math:`f_2(x)` mit einem konstanten Faktor :math:`c` darstellen, so entspricht ihre Ableitungsfunktion :math:`f_1'(x)` derjenigen der anderen Funktion :math:`f_2(x)`, wenn diese mit dem gleichen Faktor :math:`c` multipliziert wird. .. math:: :label: eqn-ableitungsregel-konstanter-faktor f_1(x) = c \, \cdot \; f _2(x) \quad \Rightarrow \quad f_{1}'(x) = c \cdot f_{2}'(x) Für jede beliebige Funktion :math:`f(x)`, die man sich aus zwei Teilfunktionen :math:`f_1(x)` und :math:`f_2(x)` zusammengesetzt denken kann, sind folgende Ableitungsregeln nützlich: .. _Additionsregel: .. index:: Ableitungsregeln; Additionsregel * Additionsregel: Besteht eine Funktion :math:`f(x)` aus einer Summe zweier Teilfunktionen :math:`f_1(x)` und :math:`f_2(x)`, so gilt für ihre Ableitung :math:`f'(x)`: .. math:: :label: eqn-additionsregel \left[ f_1(x) + f_2(x) \right]' = f_1'(x) + f_2'(x) {\color{white} \quad \;\; \ldots} .. index:: Ableitungsregeln; Produktregel .. _Produktregel: * Produktregel: Besteht eine Funktion :math:`f(x)` aus einem Produkt zweier Teilfunktionen :math:`f_1(x)` und :math:`f_2(x)`, so gilt für ihre Ableitung :math:`f(x)`: .. math:: :label: eqn-produktregel {\color{white} \ldots \quad \qquad} \left[ f_1(x) \, \cdot \; f_2(x) \right]' = f_1'(x) \, \cdot \; f_2(x) \, + \, f_2'(x) \, \cdot \; f_1(x) .. index:: Ableitungsregeln; Quotientenregel .. _Quotientenregel: * Quotientenregel: Besteht eine Funktion :math:`f(x)` aus einem Quotienten zweier Teilfunktionen :math:`f_1(x)` und :math:`f_2(x)`, so gilt für ihre Ableitung :math:`f(x)`: .. math:: :label: eqn-quotientenregel {\color{white} \ldots \qquad \qquad \quad \;\;\, } \left[ \frac{f_1(x)}{f_2(x)} \right]' = \frac{f_1'(x) \, \cdot \; f_2(x) \, - \, f_2'(x) \, \cdot \; f_1(x)}{ \left( f_2(x) \right)^2} .. index:: Ableitungsregeln; Kettenregel .. _Kettenregel: * Kettenregel Besteht eine Funktion :math:`f(x)` aus einer :ref:`Verkettung ` zweier Teilfunktionen :math:`f_1(x)` und :math:`f_2(x)`, so gilt für ihre Ableitung :math:`f(x)`: .. math:: :label: eqn-kettenregel \left[ f_1\big(f_2(x)\big) \right]' = f_1'\big(f_2(x)\big) \, \cdot \; f_2'(x) Hierbei wird zunächst die Ableitung :math:`f_1'` der äußeren Funktion gebildet, wobei die innere Funktion unverändert gelassen wird. Der resultierende Term wird anschließend mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert. .. index:: Satz von Rolle .. _Satz von Rolle und Mittelwertsatz: Satz von Rolle und Mittelwertsatz --------------------------------- Ist eine Funktion :math:`f(x)` in einem Intervall :math:`]a;b[` stetig differenzierbar und gilt zudem :math:`f(a) = f(b)`, so existiert mindestens eine Stelle :math:`x_0` innerhalb des Intervalls, für die :math:`f'(x_0) = 0` gilt. Dieser Zusammenhang wird "Satz von `Rolle `_" genannt. .. todo pic Anschaulich bedeutet der Satz von Rolle, dass es entlang eines stetig verlaufenden Graphen zwischen zwei Kurvenpunkten mit übereinstimmenden :math:`y`-Werten mindestens einen Punkt gibt, an dem der Graph eine waagrechte Tangente (Steigung Null) besitzt; insbesondere muss sich damit zwischen zwei Nullstellen einer stetigen Funktion stets eine Extremstelle befinden. .. index:: Mittelwertsatz Der Satz von Rolle kann auch allgemeiner formuliert werden: Ist eine Funktion :math:`f(x)` in einem Intervall :math:`]a ;\, b[` stetig differenzierbar, so existiert mindestens eine Stelle :math:`x_0` innerhalb des Intervalls, für die gilt: .. math:: f'(x_0) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} Dieser so genannte Mittelwertsatz besagt anschaulich, dass es entlang eines stetig verlaufenden Graphen zwischen zwei Kurvenpunkten stets (mindestens) einen Punkt :math:`x_0` gibt, dessen Tangentensteigung gleich der Steigung der durch :math:`f(a)` und :math:`f(b)` verlaufenden Sekante ist. Der Mittelwertsatz kann somit als Erweiterung des Satzes von Rolle aufgefasst werden, da er diesen für :math:`f(a) = f(b)` als Sonderfall enthält. .. _Ableitungsregeln wichtiger Funktionen: Ableitungsregeln wichtiger Funktionen ------------------------------------- .. list-table:: :name: tab-ableitungsregeln :widths: 60 20 40 50 * - Bezeichnung - :math:`f(x)` - :math:`f'(x)` - Bedingung(en) * - Potenzfunktion - :math:`x^n` - :math:`n \cdot x ^{n-1}` - :math:`n \in \mathbb{R}` * - Exponentialfunktion - :math:`a^{x}` - :math:`a^{x} \cdot \ln{(a)}` - :math:`a > 0`, :math:`a \ne 1` * - Natürliche Exponentialfunktion - :math:`e^{x}` - :math:`e^{x}` - * - Logarithmusfunktion - :math:`\log{(x)}` - :math:`\frac{1}{x \cdot \ln{(a)}}` - :math:`x > 0,\, a > 0,\, a \ne 1` * - Natürliche Logarithmusfunktion - :math:`\ln{(x)}` - :math:`\frac{1}{x}` - :math:`x > 0` * - Sinusfunktion - :math:`\sin{(x)}` - :math:`\cos{(x)}` - * - Cosinusfunktion - :math:`\cos{(x)}` - :math:`-\sin{(x)}` - * - Tangensfunktion - :math:`\tan{(x)}` - :math:`\frac{1}{\cos^2{(x)}} = 1 + \tan^2{(x)}` - :math:`x \ne (2\!\cdot\!n + 1) \cdot \frac{\pi}{2}` mit :math:`n \in \mathbb{N}` * - Cotangensfunktion - :math:`\cot{(x)}` - :math:`-\frac{1}{\sin ^2{(x)}} = -\left(1 + \cot^2{(x)}\right)` - :math:`x \ne n \cdot \pi` mit :math:`n \in \mathbb{N}` .. * - Arcussinus - :math:`\text{asin}(x)` - :math:`\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}` - * - Arcuscosinus - :math:`\text{acos}(x)` - :math:`\frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}` - * - Arcustangens - :math:`\text{atan}(x)` - :math:`\frac{1}{1 + x^2}` - * - Arcuscotangens - :math:`\text{acot}(x)` - :math:`\frac{-1}{1 + x^2}` - * - Sinus hyperbolicus - :math:`\text{sinh}(x)` - :math:`\text{cosh}(x)` - * - Cosinus hyperbolicus - :math:`\text{cosh}(x)` - :math:`\text{sinh}(x)` - * - Tangens hyperbolicus - :math:`\text{tanh}(x)` - :math:`\frac{1}{\text{cosh}^2(x)}` - * - Cotangens hyperbolicus - :math:`\text{coth}(x)` - :math:`\frac{-1}{\text{sinh}^2(x)}` - * - Arcussinus hyperbolicus - :math:`\text{asinh}(x)` - :math:`\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}` - * - Arcuscosinus hyperbolicus - :math:`\text{acosh}(x)` - :math:`\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}` - :math:`x > 1` * - Arcustangens hyperbolicus - :math:`\text{atanh}(x)` - :math:`\frac{1}{1-x^2}` - :math:`|x| < 1` * - Arcuscotangens hyperbolicus - :math:`\text{acoth}(x)` - :math:`\frac{1}{1-x^2}` - :math:`|x| > 1`