.. _Lösungen Rationale Funktionen:

Rationale Funktionen
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Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben <Aufgaben
Rationale Funktionen>` zum Abschnitt :ref:`Rationale Funktionen <Rationale
Funktionen>`.

.. _Lösungen Lineare Funktionen:

.. rubric:: Lineare Funktionen
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.. _linf01l:

* Als Wertetabelle für die Funktion :math:`y = f(x) = 2 \cdot x + 3` erhält man:

      +----------------------+--------------+
      | :math:`x`            | :math:`f(x)` |
      +----------------------+--------------+
      | :math:`-2`           | :math:`-1`   |
      +----------------------+--------------+
      | :math:`-1`           | :math:`+1`   |
      +----------------------+--------------+
      | :math:`\phantom{-}0` | :math:`+3`   |
      +----------------------+--------------+
      | :math:`+1`           | :math:`+5`   |
      +----------------------+--------------+
      | :math:`+2`           | :math:`+7`   |
      +----------------------+--------------+

  Zeichnet man diese Werte in ein kartesisches Koordinatensystem ein, so ergibt
  sich folgender Funktionsgraph:


  Ist der Definitions- beziehungsweise Wertebereich der Funktion :math:`f(x)`
  gleich der Menge :math:`\mathbb{Z}` der ganzen Zahlen, so erhält man nur die
  einzelnen Punkte als Funktionsgraph; sind der Definitions- beziehungsweise
  Wertebereich hingegen gleich der Menge :math:`\mathbb{R}` der reellen Zahlen,
  so erhält man als Funktionsgraph eine Gerade.

  :ref:`Zurück zur Aufgabe <linf01>` 

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.. _linf02l:

* Der Steigungsfaktor :math:`a` einer linearen Funktion gibt an, um wie viele
  Längeneinheiten :math:`(\unit{LE})` sich der Funktionswert :math:`f(x)` ändert,
  wenn der :math:`x`-Wert um :math:`\unit[1]{LE}` erhöht wird.

  Im konkreten Fall verbindet die Gerade die Punkte :math:`\mathrm{P}_1 = (-2;\,
  -1)` und :math:`\mathrm{P}_2 = (1;\, 5)`. Der Funktionswert von :math:`x_1=-2`
  beträgt also :math:`f(x_1)=-1`, der Funktionswert von :math:`x_2=1` hingegen
  :math:`f(x_2)=+5`:

  +----------------+----------------+
  | :math:`x`      | :math:`f(x)`   |
  +----------------+----------------+
  | :math:`-2`     | :math:`-1`     |
  +----------------+----------------+
  | :math:`\vdots` | :math:`\vdots` |
  +----------------+----------------+
  | :math:`+1`     | :math:`+5`     |
  +----------------+----------------+

  Zwischen :math:`x_1=-2` und :math:`x_2=+1` liegen insgesamt
  :math:`\unit[3]{LE}`; zwischen :math:`f_1(x)=-1` und :math:`f_2(x)=5` hingegen
  :math:`\unit[6]{LE}`. Für den Steigungsfaktor :math:`a` ergibt sich damit:

  .. math::

      a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2-x_1} =
      \frac{5-(-1)}{1-(-2)} = \frac{6}{3} = 2

  Die zur Geraden gehörende lineare Funktion hat somit den Steigungsfaktor
  :math:`a=2`.

  :ref:`Zurück zur Aufgabe <linf02>` 

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