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Lineare Gleichungen
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Bei einer linearen Gleichung tritt die Variable :math:`x` nur in der ersten
Potenz :math:`x^1` auf; sie darf dabei nicht im Nenner stehen. Jede lineare
Gleichung kann durch äquivalente Umformungen in die allgemeine Form gebracht
werden:

.. math::
    :label: eqn-lineare-gleichung

    a \cdot x + b = 0

Hierbei sind :math:`a \ne 0` und :math:`b` beliebige Konstanten.

Um eine beliebige lineare Gleichung zu lösen, werden zunächst durch geeignetes
Addieren beziehungsweise Subtrahieren alle die Variable :math:`x` enthaltenden
Terme auf die eine Seite, alle anderen Terme auf die andere Seite der Gleichung
gebracht. Auf der Seite der Gleichung, welche die Variable  :math:`x` enthält,
kann daraufhin :math:`x` ausgeklammert und die gesamte Gleichung durch den
Restterm geteilt werden. Befindet sich die Gleichung bereits in der allgemeinen
Form :eq:`eqn-lineare-gleichung`, so kann direkt bestimmt werden:

.. math::

    a \cdot x &= -b \\
    \Rightarrow \quad  x &= - \frac{b}{a} \\[4pt]

Für die Lösungsmenge einer linearen Gleichung gilt somit :math:`\mathbb{L} =
\lbrace - \frac{b}{a} \rbrace`.

*Beispiel:*

* Wie lautet die Lösungsmenge folgender Gleichung?

  .. math::

      \frac{1}{3} \cdot x - 4 = 0 \quad \text{mit } x \in \mathbb{R}

  Um die Gleichung zu lösen, sortiert man alle Variablen (im konkreten Fall alle
  :math:`x`-Terme) auf eine Seite der Gleichung, alle Zahlen ohne Variable auf
  die andere Seite. Dividiert man dann durch den Koeffizienten der Variablen
  :math:`x`, so erhält man die Lösung der Gleichung:

  .. math::

      \frac{1}{3} \cdot x &= 4 \\
      x &= 12 \\

  Die Lösungsmenge der Gleichung ist somit :math:`\mathbb{L} = \{ 12 \}`

..  1.: Klammern auflösen. Als ersten Schritt empfiehlt es sich sämtliche Klammern
..  aufzulösen, um einfacher zusammenfassen zu können. Steht als letztes
..  Strich-Rechenzeichen vor einer Klammer ein Pluszeichen, so darf man die Klammer
..  einfach weglassen, steht allerdings als letztes Strich-Rechenzeichen vor der
..  Klammer ein Minuszeichen, so müssen alle Plus bzw. Minus innerhalb der Klammer
..  umgekehrt werden.

..  2.: Zusammenfassen und Isolieren. Als Nächstes bringt man alle gleichen
..  Variablen auf eine Seite und alle Zahlen ohne Variable auf die andere Seite
..  und fasst zusammen.

..  3.: Berechnen. Zu guter Letzt teilt man dann noch durch den Koeffizienten
..  der Lösungsvariablen und erhält das Ergebnis.

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    <hr />

.. hint::

    Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Übungsaufgaben <Aufgaben Lineare
    Gleichungen>`.