.. _Lösungen Lineare Gleichungssysteme: Lineare Gleichungssysteme ------------------------- .. {{{ Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Lineare Gleichungssysteme `. ---- .. _lgs01l: * Multipliziert man die zweite Gleichung :math:`(\mathrm{II})` mit dem Faktor :math:`2`, so nehmen die Koeffizienten in der :math:`x_1`-Spalte die gleichen Werte an: .. math:: (\mathrm{I}): \quad 4 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 &= \;\,-6 \\ (\mathrm{II}): \quad 2 \cdot x_1 - 3 \cdot x_2 &= \;\,-7 \\[12pt] \Rightarrow (\mathrm{I}): \quad 4 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 &= \;\,-6 \\ (2 \cdot \mathrm{II}): \quad 4 \cdot x_1 - 6 \cdot x_2 &= -14 Subtrahiert man nun beide Gleichungen voneinander, so bleibt die erste Zeile unverändert, während die zweite Zeile durch die Differenz aus der ersten und zweiten Gleichung ersetzt wird. .. math:: \Rightarrow (\mathrm{I}): \quad 4 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 &= -6 \\ (\mathrm{I} - \mathrm{II}): \qquad \;\,\, 0 + 8 \cdot x_2 &= +8 Die zweite Zeile stellt nun eine Gleichung mit nur *einer* Unbekannten dar; beim Auflösen dieser Gleichung erhält man das Ergebnis :math:`x_2 = 1`. Setzt man diesen Wert für :math:`x_2` in die Gleichung :math:`\mathrm{I}` ein, so erhält man für die andere Unbekannte: .. math:: 4 \cdot x_1 + 2 \cdot 2 = -6 \quad \Longleftrightarrow \quad 4 \cdot x_1 = -8 \quad \Longleftrightarrow \quad x_1 = -2 Das Gleichungssystem hat somit die Lösung :math:`\mathbb{L} = \{ (-2 ;\; 1) \}`. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` .. sy.solve( [ sy.Eq( 4*x + 2*y, -6 ), sy.Eq( 2*x - 3 *y, -7) ] ) .. {y: 1, x: -2} ---- .. _lgs02l: * Bezeichnet man die Anzahl an Sätzen, die der erste Spieler gewonnen hat, mit :math:`x_1` und entsprechend die Anzahl der vom anderen Spieler gewonnenen Sätze mit :math:`x_2`, so entspricht das Rätsel folgendem linearen Gleichungssystem: .. math:: x_1 + 1 &= 2 \cdot (x_2 - 1) \\ x_1 - 1 &= x_2 + 1 \\ Dieses Gleichungssystem kann beispielsweise dadurch gelöst werden, indem man die zweite Gleichung nach :math:`x_1` auflöst; man erhält dadurch :math:`x_1 = x_2 + 2`. Setzt man diesen Ausdruck für :math:`x_2` in die erste Gleichung ein, so erhält man: .. math:: (x_2+2) + 1 &= 2 \cdot (x_2 - 1) \\ x_2 + 3 &= 2 \cdot x_2 - 2) \\ x_2 &= 5 \\ Der zweite Spieler hat somit insgesamt :math:`5` Sätze gewonnen, der erste wegen der Beziehung :math:`x_1 = x_2 + 2` insgesamt :math:`7` Sätze. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _lgs03l: * :math:`\text{a) }` Ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten hat genau dann eine Lösung, wenn es bei Betrachtung von nur zwei der drei Gleichungen eine Lösung hat und diese auch für die dritte Gleichung gilt. .. math:: (\mathrm{I}): \qquad \phantom{+}2 \cdot x_1 + 8 \cdot x_2 &= \phantom{+2}4 \\[4pt] (\mathrm{II}): \qquad -5 \cdot x_1 + 4 \cdot x_2 &= \phantom{+}20 \\[4pt] (\mathrm{III}): \qquad \phantom{+}7 \cdot x_1 + 4 \cdot x_2 &= -16 Es genügt also, zunächst beispielsweise folgendes Gleichungsystem zu betrachten: .. math:: (\mathrm{I}): \qquad \phantom{+}2 \cdot x_1 + 8 \cdot x_2 &= \phantom{2}4 {\color{white}...}\\[4pt] (\mathrm{II}): \qquad -5 \cdot x_1 + 4 \cdot x_2 &= 20 Multipliziert man die zweite Gleichung mit dem Faktor :math:`2`, so kann man diese von der ersten Gleichung subtrahieren, um das Gleichungssystem auf eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten zu reduzieren: .. math:: (\mathrm{I}): \qquad \phantom{+1}2 \cdot x_1 + 8 \cdot x_2 &= \phantom{2}4 {\color{white}\qquad \quad ...}\\[4pt] (2 \cdot \mathrm{II}): \qquad -10 \cdot x_1 + 8 \cdot x_2 &= 40 \\[12pt] (\mathrm{I} - 2 \cdot \mathrm{II}): \qquad \;\phantom{+}12 \cdot x_1 \phantom{+8 \cdot x_2} &= -36 Diese Gleichung liefert :math:`x_1=-3` als Ergebnis. Setzt man diesen Wert für :math:`x_1` in die erste Gleichung ein, so erhält man für :math:`x_2`: .. math:: 2 \cdot (-3) + 8 \cdot x_2 &= \phantom{1}4 \\ 8 \cdot x_2 &= 10 \\ x_2 &= \phantom{1}1,25 \\ Nun ist zu prüfen, ob auch die dritte Gleichung durch die Variablen-Werte :math:`x_1 = -3` und :math:`x_2=1,25` erfüllt wird: .. math:: \phantom{+}7 \cdot (-3 ) + 4 \cdot (1,25) &= -16\\[4pt] -21 + 5 &= -16 \quad \checkmark Die gefundene Lösung erfüllt auch die dritte Gleichung. Das Gleichungssystem hat somit eine eindeutige Lösung, und zwar :math:`\mathbb{L} = \{(-3;\, 1,25)\}`. .. sy.solve( [ sy.Eq(2*x + 8*y, 4), sy.Eq(-5*x + 4*y, 20), sy.Eq(7*x+4*y,-16) ]) .. [{x: -3, y: 5/4}] * :math:`\text{b) }` Wiederum betrachtet man zunächst nur zwei der drei Gleichungen. Multipliziert man beispielsweise die dritte Gleichung mit :math:`4` und addiert sie zur zweiten, so erhält man eine neue Gleichung, die nur die Variable :math:`x_1` als Unbekannte hat: .. math:: (\mathrm{II}): \quad \phantom{+}5 \cdot x_1 - 4 \cdot x_2 &= \;\,-2 \\[4pt] (\mathrm{4 \cdot III}): \quad -8 \cdot x_1 + 4 \cdot x_2 &= -16\\[20pt] (\mathrm{II} + 4 \cdot \mathrm{III}): \quad -3 \cdot x_1 \phantom{+ 4 \cdot x_2} &= -18 Aus dieser Gleichung folgt :math:`x_1 = 6`. Setzt man diesen Wert für :math:`x_1` in Gleichung :math:`\mathrm{(II)}` ein, so erhält man für :math:`x_2`: .. math:: 5 \cdot 6 - 4 \cdot x_2 &= \;\;-2 \\ - 4 \cdot x_2 &= -32 \\ \Rightarrow \; x_2 &= \phantom{-3}8 \\ Nun ist zu prüfen, ob auch Gleichung :math:`\mathrm{(I)}` durch die Variablen-Werte :math:`x_1 = 6` und :math:`x_2=8` erfüllt wird: .. math:: -3 \cdot 6 + 7 \cdot 8 & = 15 \\ -18 + 56 & = 15 \\ 38 & = 15 \quad \text{\Lightning} Die gefundene Lösung erfüllt zwar die zweite und dritte, nicht jedoch die erste Gleichung. Das Gleichungssytem ist somit nicht lösbar, die Lösungsmenge ist also die leer: :math:`\mathbb{L} = \{ \}`. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _lgs04l: * Bei einem Gleichungssystem mit drei Unbekannten und nur zwei Gleichungen stellt die dritte Variable einen frei wählbaren Parameter dar; das Gleichungssystem kann folglich nur in Abhängigkeit dieser Variablen gelöst werden. Im konkreten Fall soll das Gleichungssystem in Abhängigkeit von der Variablen :math:`x_3` gelöst werden. Hierzu sortiert man diese als erstes auf die rechte Seite des Gleichungssystems (so, als ob es sich dabei um einen gewöhnlichen Zahlenwert handeln würde). Man erhält: .. math:: (\mathrm{I}): \quad \phantom{+}1 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 &= -6 -2 \cdot x_3 \\[4pt] (\mathrm{II}): \quad -1 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 &= \phantom{-}4 +1 \cdot x_3 Dieses Gleichungssystem kann man beispielsweise lösen, indem man die zweite Gleichung von der ersten subtrahiert. Man erhält dann als Gleichung für :math:`x_1`: .. math:: (\mathrm{I - II}): \quad \phantom{+}2 \cdot x_1 \phantom{+ 0 \cdot x_2 } &= -10 - 3 \cdot x_3 \\[4pt] \Rightarrow \qquad \phantom{2 \cdot }x_1 \phantom{+ 0 \cdot x_2 } &= -\phantom{1}5 - 1,5 \cdot x_3 Somit ist :math:`x_1` in Abhängigkeit von :math:`x_3` bestimmt. Setzt man diesen Ausdruck für :math:`x_1` in die zweite Gleichung ein, so erhält man für :math:`x_2`: .. math:: -1 \cdot (-5 - 1,5 \cdot x_3) + 2 \cdot x_2 & = \phantom{-}4 + 1 \cdot x_3 \\[4pt] +5 + 1,5 \cdot x_3 + 2 \cdot x_2 & = \phantom{-}4 + 1 \cdot x_3 \\[4pt] 2 \cdot x_2 & = -1 - 0,5 \cdot x_3 \\[4pt] x_2 & = -0,5 - 0,25 \cdot x_3 Die Lösungsmenge des Gleichungssystems in Abhängigkeit von :math:`x_3` lautet somit :math:`\mathbb{L}=\{-5 - 1,5 \cdot x_3;\, -0,5 - 0,25 \cdot x_3\}`. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` .. sy.solve( [sy.Eq(1*x + 2*y + 2*z, -6), sy.Eq(-x +2*y - 1*z, 4) ] ) .. {x: -3*z/2 - 5, y: -z/4 - 1/2} ---- .. }}} .. only:: html :ref:`Zurück zum Skript `