.. _Lösungen Ungleichungen: .. _Lösungen zu Ungleichungen: Ungleichungen ============= .. _Lösungen Quadratische Ungleichungen: Quadratische Ungleichungen -------------------------- .. {{{ Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Quadratische Ungleichungen `. ---- .. _qun01l: * Mittels des Satzes von Vieta kann man schnell ermitteln, dass die Gleichung :math:`x^2 + 9 \cdot x + 14 = 0` die Nullstellen :math:`x_1=2` und :math:`x_2=7` besitzt; man kann die Ungleichung also auch folgendermaßen darstellen: .. math:: x^2 + 9 \cdot x + 14 &< 0 \\[4pt] \Longleftrightarrow (x-2) \cdot (x-7) &< 0 \\[4pt] Die Ungleichung ist dann erfüllt, wenn einer der beiden Faktoren auf der linken Seite größer Null und der andere kleiner Null ist. Mit dieser Fallunterscheidung ergibt sich: - Für :math:`(x-2) > 0` und :math:`(x-7) < 0`: .. math:: x - 2 > 0 \quad \text{ und } \quad x - 7 < 0 \\[4pt] x > 2 \quad \text{ und } \quad x < 7 \\[4pt] Die Lösungsmenge für diesen Fall ist somit :math:`\mathbb{L}_1 = \; ]2;\; 7[`. - Für :math:`(x-2) < 0` und :math:`(x-7) > 0`: .. math:: x - 2 < 0 \quad \text{ und } \quad x - 7 > 0 \\[4pt] x < 2 \quad \text{ und } \quad x > 7 \\[4pt] Die Lösungsmenge für diesen Fall ist die leere Menge, also :math:`\mathbb{L}_2 = \emptyset`. Die Gesamt-Lösungsmenge ist gleich der Vereinigungsmenge beider Fälle; es ist somit :math:`\mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_2 = \; ]2;\; 7[`. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _Lösungen Betragsungleichungen: .. }}} Betragsungleichungen -------------------- .. {{{ Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Betragsungleichungen `. ---- .. _bun01l: * Der Term :math:`|x-1|` ist, sofern :math:`x \ge 1` ist, identisch mit :math:`x-1`, andernfalls identisch mit :math:`-(x-1)`. Mit dieser Fallunterscheidung ergibt sich: - Für :math:`x \ge 1`: .. math:: x-1 < 4 \quad \Longleftrightarrow \quad x < 5 Die Lösungsmenge für diesen Fall ist somit :math:`\mathbb{L}_1 = \;[1;\; 5[`. - Für :math:`x < 1`: .. math:: -(x-1) < 4 \quad \Longleftrightarrow \quad -x < 3 \quad \Longleftrightarrow \quad x > -3 Die Lösungsmenge für diesen Fall ist somit :math:`\mathbb{L}_2 = \; ]\!-3;\; 1[`. Die Gesamt-Lösungsmenge ist gleich der Vereinigungsmenge beider Fälle; es ist somit :math:`\mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_2 = \; ]\!-3;\; 5[`. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. }}}