.. _Lösungen Mengenlehre:
.. _Lösungen zur Mengenlehre:

Lösungen zur Mengenlehre
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Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben <Aufgaben zur
Mengenlehre>` zum Abschnitt :ref:`Mengenlehre <Mengenlehre>`.

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.. _mo01l:

* Eine Vereinigungsmenge enthält alle Elemente, die zu (mindestens) einer der
  beiden Teilmengen gehören. Für :math:`\mathbb{M}_1 \cup \mathbb{M}_2` ergibt
  sich im gegebenen Fall somit:

  .. math::

      \mathbb{M}_1 \cup \mathbb{M}_2 =  \{ a,\, b,\, c,\, d \} \cup \{ b,\, c,\, d,\, e,\, f \} = \{ a,\, b,\, c,\, d,\, e,\, f \}


  :ref:`Zurück zur Aufgabe <mo01>`

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.. _mo02l:

* Eine Schnittmenge enthält alle Elemente, die gleichzeitig zu beiden Teilmengen
  gehören. Für :math:`\mathbb{M}_1 \cap \mathbb{M}_2` ergibt sich in den
  einzelnen Fäll somit:
  

  .. math::

      \begin{array}{>{\arraybackslash$}p{8cm}<{$} >{\arraybackslash$}p{8cm}<{$}}
          \text{a) }  \{ 1,\,2,\,3,\,4 \} \cap \{ 2,\,4,\,6,\,8,\,10 \} = \{ 2,\, 4 \}&
          \text{b) }  \{ a,\,b,\,c,\,d \} \cap \{ m,\,n,\,o,\,p,\,q \} = \emptyset \\[12pt]
          \text{c) }  \{ \frac{9}{3},\, 4,\, 5^2 \} \cap \{ 3^3,\, \sqrt{9},\, 7\} = \{ 3 \} &
          \text{d) }  \{ x \, | \; x < 5 \} \cap \{ x \, | \; x \ge 3 \} \\[4pt]
          & \phantom{\text{d) }} = \{ x\,|\; 3 \le x < 5 \}\\[12pt]
      \end{array}

  :ref:`Zurück zur Aufgabe <mo02>`

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.. _mo03l:

* Als Differenzmenge :math:`\mathbb{M}_1 \setminus \mathbb{M}_2` ergibt sich für
  diese beiden Mengen:

  .. math::

      \mathbb{M}_1 \setminus \mathbb{M}_2 &= \{ 1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6\}  \setminus
      \{ 4,\, 5,\, 6,\, 7,\, 8,\, 9,\, 10\} =  \{ 1,\, 2,\, 3 \} \\[8pt]
      \mathbb{M}_2 \setminus \mathbb{M}_1 &= \{ 4,\, 5,\, 6,\, 7,\, 8,\, 9,\, 10\} \setminus
       \{ 1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6\} =  \{ 7,\, 8,\, 9,\, 10 \}

  Es ist somit offensichtlich :math:`(\mathbb{M}_1 \setminus \mathbb{M}_2) \ne
  (\mathbb{M}_2 \setminus \mathbb{M}_1)`.

  :ref:`Zurück zur Aufgabe <mo03>`

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.. _Lösungen Abbildungen und Funktionen:

Abbildungen und Funktionen
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Die folgenden Lösungen beziehen sich auf auf die :ref:`Übungsaufgaben <Aufgaben
Abbildungen, Funktionen, Relationen und Operationen>` zum Abschnitt
:ref:`Abbildungen, Funktionen, Relationen und Operationen <Abbildungen,
Funktionen, Relationen und Operationen>`.

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.. _ma01l:

* Die Abbildung kann als Teil der Produktmenge :math:`\mathbb{M}_1 \times
  \mathbb{M}_2` aufgefasst werden; bezeichnet man diese Teilmenge als :math:`F`,
  so gilt:

  .. math::
  
      F = \{ (1;\,6),\,  (1;\,8),\,  (3;\,7),\, (5;\,9)  \}
  
  Die Abbildung ist keine Funktion, da das Element :math:`1` aus der Menge
  :math:`\mathbb{M}_1` *nicht eindeutig* auf ein Element der Menge
  :math:`\mathbb{M}_2` abgebildet wird.

  :ref:`Zurück zur Aufgabe <ma01>`

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    :ref:`Zurück zum Skript <Mengenlehre>`