.. _Bedingte Wahrscheinlichkeit: Bedingte Wahrscheinlichkeit =========================== *Definition:* Bei einem Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge :math:`\Omega` werden zwei Ereignisse :math:`M_1` und :math:`M_2` mit :math:`P(M_1) > 0` betrachtet. Dann bezeichnet man folgenden Ausdruck als bedingte Wahrscheinlichkeit von :math:`M_2` unter der Bedingung :math:`M_1`: .. math:: P _{M_1}(M_2) = \frac{P(M_1 \cap M_2)}{P(M_1)} Handelt es sich bei :math:`P(M_1)` und :math:`P(M_2)` um Laplace-Wahrscheinlichkeiten, so gilt: .. math:: P _{M_1}(M_2) = \frac{P(M_1 \cap M_2)}{P(M_1)} = \frac{|M_1 \cap M_2|}{|M_1|} Die obige Definition lässt sich auch, insbesondere bei der Nutzung von Baumdiagrammen, als Produktsatz formulieren. Es gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl :math:`M_1` als auch :math:`M_2` eintreten: .. math:: P(M_1 \cap M_2) = P(M_1) \cdot P _{M_1}(M_2) Für bedingte Wahrscheinlichkeiten gelten zudem folgende Regeln: * Multiplikationsregel: In einem Ergebnisbaum stellt jeder Knoten ein Elementarereignis dar. Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses entspricht dabei dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse längs des zugehörigen Weges. * Additionsregel: Besteht ein Ereignis in einem Ereignisbaum aus mehreren Wegen, so ist die zugehörige Wahrscheinlichkeit gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Wege. .. _Stochatisch unabhängige Ereignisse: .. rubric:: Stochatisch unabhängige Ereignisse Ein Ereignis :math:`M_2` ist von einem Ereignis :math:`M_1` unabhängig, wenn :math:`M_1` auf die Wahrscheinlichkeit von :math:`M_2` keinen Einfluss hat. *Definition:* Ist :math:`\Omega` die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments und :math:`M_1` und :math:`M_2` zwei Ereignisse mit :math:`P(M_1) > 0`, so nennt man :math:`M_2` stochastisch unabhängig von :math:`M_1`, wenn gilt: .. math:: P _{M_1}(M_2) = P(M_2) Andernfalls heißt :math:`M_2` stochastisch abhängig von :math:`M_1`. Ist ein Ereignis :math:`M_2` stochastisch unabhängig vom Ereignis :math:`M_1`, so ist umgekehrt auch :math:`M_1` stochastisch unabhängig von :math:`M_2`, denn in diesem Fall gilt: .. math:: P _{M_2}(M_1) = \frac{P(M_1 \cap M_2)}{P(M_2)} = \frac{P(M_1)(M_2) \cdot P(M_1)}{P(M_2)} = \frac{P(M_2) \cdot P(M_1)}{P(M_2)} = P(M_1) Als Sonderfall von stochastischer Unabhängigkeit gilt :math:`P(M_1 \cap M_2) = P(M_1) \cdot P(M_2)` stets auch dann, wenn die Wahrscheinlichkeit von mindestens einem der beiden Ereignisse gleich Null ist. Allgemein gilt für alle stochastisch unabhängigen Ereignisse: .. math:: M_1 \text{ und } M_2 \text{ sind stochastisch unabhängig} \quad \Leftrightarrow \quad P(M_1 \cap M_2) = P(M_1) \cdot P(M_2) Sind zwei Ereignisse :math:`M_1` und :math:`M_2` stochastisch unabhängig, so gilt dies auch für die Gegenereignisse. In diesem Fall sind somit auch die Ereignisse :math:`M_1 \cap \overline{M}_2`, :math:`\overline{M}_1 \cap M_2` sowie :math:`\overline{M}_1 \cap \overline{M}_2` stochastisch unabhängig. .. Olmscheid S. 49: Nachweis, dass :math:`P _{M_1}(M_2)` ein W-Maß ist. .. -> Übungsaufgabe?