Eigenschaften von Gleichungen¶
Eine Gleichung entspricht einer Aussageform, bei der zwei Terme und durch die Gleichheits-Relation miteinander verbunden sind:
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Als Aussageform ist eine Variablengleichung weder wahr noch falsch. Belegt man allerdings die Variablen mit zulässigen Werten, so nehmen die einzelnen Terme bestimmte Werte an – die Gleichung wird hierbei zu einer wahren oder falschen Aussage.[1] Ergibt sich eine wahre Aussage, so wird die Gleichung durch die eingesetzten Zahlen erfüllt. Diese Zahlen werden als Lösungen der Gleichung bezeichnet, die Gesamtheit aller Lösungen wird Lösungsmenge genannt.
Im einfachsten Fall entsprechen die beiden Terme und zwei einzelnen Elementen und einer Menge . Diese können entweder gleich oder ungleich sein. Im ersten Fall stehen die Variablen und für das selbe Objekt.
Lösbarkeit von Gleichungen¶
Ob eine Gleichung lösbar ist, hängt von der Gleichung selbst sowie von dem vorgegebenen Variablenbereich („Definitionsmenge“ ) ab.
- Ist die Lösungsmenge leer , so ist die Gleichung bezüglich unerfüllbar.
- Ist die Lösungsmenge gleich der Definitionsmenge , so ist die Gleichung bzgl. stets erfüllt („allgemeingültig“).
- Grundsätzlich ist die Lösungsmenge eine Teilmenge der Definitionsmenge .
Allgemeingültige Gleichungen (auch „Identitäten“ genannt) werden oftmals als Rechenregeln verwendet, da sie unabhängig vom Wert der Variablen stets wahr sind und somit zur Vereinfachung einzelner Terme genutzt werden können. Gilt nämlich , so kann in jeder Aussage nach Belieben durch ersetzt werden (Ersetzbarkeits-Theorem von Leibniz).
Ebenfalls können nach diesem Prinzip auch zwei Terme, die jeweils mit einem dritten übereinstimmen, gleichgesetzt werden. Gilt nämlich und , so folgt aus der Äquivalenz der Gleichheitsrelation automatisch auch :
(2)¶
Bei algebraischen Aufgaben muss die Lösungsmenge einer Gleichung meist erst bestimmt werden. Als Unterscheidung zu den stets wahren Identitäten werden derartige Gleichungen, deren Lösungsmenge erst gefunden werden muss, auch „Bestimmungsgleichungen“ genannt.
Beispiele:
Folgende Gleichung ist für jede reelle Zahl unerfüllbar:
Für die Lösungsmenge gilt somit .
Folgende Gleichung ist für jede reelle Zahl allgemeingültig:
Für die Lösungsmenge gilt somit .
Folgende Gleichung liefert nicht für jedes eine wahre Aussage:
Die Lösungsmenge ist somit eine Teilmenge des Definitionsbereichs. Konkret gilt .
Ist die Lösungsmenge einer Gleichung nicht unmittelbar erkennbar, so kann diese durch entsprechende Umformungen in eine einfacher zu lösende Form gebracht werden.
Äquivalentes Umformen von Gleichungen¶
Manchmal lässt sich die Lösungsmenge einer Gleichung durch Einsetzen von konkreten Werten in die Variablen („Probieren“) ermitteln. Im Allgemeinen jedoch muss man eine Gleichung durch schrittweises Umformen lösen. Wesentlich hierfür ist in diesem Zusammenhang die Äquivalenz von Gleichungen.
Eine Gleichung heißt äquivalent (gleichwertig) zu einer anderen Gleichung, wenn beide die gleiche Lösungsmenge bei gleicher Definitionsmenge besitzen. Eine Umformung, durch die eine Gleichung in eine zu ihr äquivalente Gleichung übergeht, heißt äquivalente Umformung. Beispielsweise dürfen aufgrund der Symmetrie der Gleichheits-Relation stets die linke und die rechte Seite einer Gleichung vertauscht werden:
(3)¶
Termumformungen, die sich nur auf eine Seite einer Gleichung auswirken, beispielsweise Zusammenfassen und Ausmultiplizieren beziehungsweise Ausklammern von Summentermen sowie Kürzen und Erweitern von Bruchtermen, dürfen ebenso jederzeit vorgenommen werden.
Addiert oder subtrahiert man auf beiden Seiten einen beliebigen Term , so ist die neue Gleichung äquivalent zur ursprünglichen. Der Wahrheitswert einer Gleichung bleibt auch unverändert, wenn beiden Seiten mit einem Term multipliziert oder durch einen solchen dividiert werden. Somit gilt:[2]
(4)¶
Während eine Addition oder Subtraktion eines beliebigen Terms auf beiden Seiten der Gleichung jederzeit problemlos möglich ist, ist bei der Multiplikation einer Gleichung mit einem Term beziehungsweise der Division durch einen Term stets Vorsicht geboten. Wird hierbei die Bedingung nicht beachtet, so können in der neuen Gleichung zusätzliche Lösungen hinzukommen beziehungsweise ursprünglich gültige Lösung verschwinden.
Beispiele:
Die Gleichung hat, wie man durch Einsetzen überprüfen kann, die Lösungsmenge . Multipliziert man beide Seiten mit , so erhält man folgende Gleichung:
Die neue Gleichung hat neben der ursprünglichen Lösung auch die Lösung ; die Lösungsmenge der neuen Gleichung ist also . Somit ist die neue Gleichung nicht äquivalent zur ursprünglichen Gleichung.
Die Gleichung hat, wie man durch Einsetzen überprüfen kann, die Lösungsmenge . Teilt man beide Seiten der Gleichung durch den Term , so erhält man folgende Gleichung:
Die neue Gleichung hat die Lösungsmenge ; bei der Division ist die zweite ursprüngliche Lösung entfallen. Somit ist die neue Gleichung nicht äquivalent zur ursprünglichen Gleichung.
Die äquivalenten Umformungs-Verfahren von Gleichungen beziehen sich auf die Anwendung der vier grundlegenden Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division). Werden weitere Rechenoperationen (beispielsweise Potenzieren, Wurzelziehen oder Logarithmieren) angewendet, sind oft zusätzliche Überlegungen nötig.
Eine Kontrolle der Lösungsmenge kann durch Einsetzen der Elemente in die Ausgangsgleichung („Probe“) erfolgen. Bei einer Probe ist jede Gleichungsseite getrennt auszurechnen, es dürfen also keine Gleichungsumformungen vorgenommen werden.
Anmerkungen:
[1] | Tritt eine Variable in einem Term beziehungsweise in einer Gleichung mehrfach auf, so muss sie beim Ersetzen durch einen konkreten Wert an jeder Stelle durch ein und den selben Wert ersetzt werden. In Termen oder Gleichungen mit mehreren Variablen können unterschiedliche Variablen mit beliebigen (gleichen oder verschiedenen) Werten belegt werden. |
[2] | ist eine Zahl oder ein Term, der für alle Elemente des Definitionsbereichs der Ausgangsgleichung definiert sein muss. |