Regelmäßige Vielecke¶
Ein -Eck, bei dem alle Seiten gleich lang und alle Innen- beziehungsweise Außenwinkel gleich groß sind, wird regelmäßige Vieleck genannt.
Regelmäßige Vielecke haben folgende Eigenschaften:
- Jedes regelmäßige -Eck hat jeweils Ecken, Seiten, Innen- beziehungsweise Außenwinkel sowie Diagonalen.
- Jedes regelmäßige -Eck ist -fach punktsymmetrisch.
- Um jedes regelmäßige -Eck lässt sich ein Kreis zeichnen, der durch alle Ecken verläuft; diesen bezeichnet man als Umkreis.
- In jedes regelmäßige -Eck lässt sich ein Kreis zeichnen, der alle Seitenmitten berührt; diesen bezeichnet man als Inkreis.
- Das gemeinsame Zentrum von Um- und Inkreis ist der Mittelpunkt des Vielecks.
- Verbindet man den Mittelpunkt mit den Ecken, so erhält man kongruente, gleichschenklige Dreiecke; diese werden auch „Bestimmungsdreiecke“ genannt.
- Jeder Innenwinkel eines regelmäßigen -Ecks beträgt .
- Jeder Außenwinkel eines regelmäßigen -Ecks beträgt .
Bezeichnet die Seitenlänge mit , den Radius des Inkreises mit und den Radius des Umkreises mit , so gilt für den Umfang und die Fläche eines regelmäßigen -Ecks:
Beliebige (auch nicht regelmäßige) Vielecke haben zudem allgemein folgende Eigenschaften:
- Die Summe der Innenwinkel eines -Ecks beträgt .
- Die Summe der Außenwinkel eines -Ecks beträgt stets .
- Ein Innenwinkel und sein zugehöriger Außenwinkel betragen in Summe stets (da es sich um Nebenwinkel handelt).
- Die Winkelhalbierenden eines Innenwinkels und die des zugehörigen Außenwinkels sind zueinander stets senkrecht.
Per Festlegung haben -Ecke zudem keine nach innen zeigenden Ecken sowie keine einander schneidenden Seiten.