.. _Lösungen Kinematik:
Kinematik
=========
.. _Lösungen Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit:
Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit
-----------------------------------------
Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben <Aufgaben
Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit>` zum Abschnitt :ref:`Bewegungen mit
konstanter Geschwindigkeit <Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit>`.
.. _Lösungen Eindimensionale Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit:
.. rubric:: Eindimensionale Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit
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.. _king01l:
* Alle Teil-Aufgaben können mittels der Formel :math:`v = \frac{\Delta s}{\Delta
t}` beziehungsweise :math:`\bar{v} = \frac{\Delta s_{\mathrm{ges}}}{\Delta
t_{\mathrm{ges}}}` berechnet werden:
- Der Läufer legt eine Wegstrecke von :math:`\Delta s_{\mathrm{ges}} =
\unit[8,0]{km}` in einer Zeitspanne von :math:`\Delta t_{\mathrm{ges}} =
\unit[0,5]{h}` zurück. Somit beträgt seine Durchschnittsgeschwindigkeit:
.. math::
\bar{v} = \frac{\Delta s_{\mathrm{ges}}}{\Delta t_{\mathrm{ges}}} =
\frac{\unit[8,0]{km}}{\unit[0,5]{h}} = \unit[16]{\frac{km}{h}}
- Der Radfahrer legt kontinuierlich :math:`\Delta s = \unit[36]{m}` in
:math:`\Delta t = \unit[6]{s}` zurück. Seine Geschwindigkeit beträgt damit:
.. math::
v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{\unit[36]{m}}{\unit[6]{s}} =
\unit[6]{\frac{m}{s}} = \unit[21,6]{\frac{km}{h}}
Bei der letzten Umrechnung wurde verwendet, dass
:math:`\unit[1]{\frac{m}{s}} = \unit[3,6]{\frac{km}{h}}` ist.
- Der Weltrekord-Läufer legt :math:`\Delta s_{\mathrm{ges}}=\unit[100]{m}` in
:math:`\Delta t_{\mathrm{ges}} = \unit[9,58]{s}` zurück. Für seine
Durchschnittsgeschwindigkeit gilt damit:
.. math::
\bar{v = \frac{\Delta s_{\mathrm{ges}}}{\Delta t_{\mathrm{ges}}}} =
\frac{\unit[100]{m}}{\unit[9,58]{s}} \approx \unit[10,44]{\frac{m}{s}}
\approx \unit[37,58]{\frac{km}{h}}
- Der Zug legt :math:`\Delta s_{\mathrm{ges}} = \unit[245]{km}` in einer Zeit von
Zeit :math:`\Delta t_{\mathrm{ges}} = \unit[3,5]{h}` zurück. Somit ergibt sich:
.. math::
\bar{v} = \frac{\Delta s_{\mathrm{ges}}}{\Delta t_{\mathrm{ges}}} =
\frac{\unit[245]{km}}{\unit[3,5]{h}} = \unit[70]{\frac{km}{h}}
- Um die Wegstrecke zu berechnen, die das Auto in einer Sekunde zurücklegt,
muss man die in :math:`\unitfrac{km}{h}` angegebene Geschwindigkeit in
:math:`\unitfrac{m}{s}` umrechnen:
.. math::
\unit[1]{\frac{km}{h} } = \unit[\frac{1}{3,6} ]{\frac{m}{s}} \quad
\Rightarrow \quad v = \unit[108]{\frac{km}{h}} =
\unit[\frac{108}{3,6}]{\frac{m}{s}} = \unit[30]{\frac{m}{s}}
In einer Sekunde legt das Auto somit :math:`\unit[30]{m}` zurück. Die Strecke,
die das Fahrzeugt in einer Minute :math:`(\unit[60]{s})` zurück legt, ist das
:math:`60`-fache dieser Strecke, also :math:`\unit[1\,800]{m} =
\unit[1,80]{km}` .
- Um die Zeit zu berechnen, die man bei einer Geschwindigkeit von
:math:`v=\unitfrac[5,0]{km}{h}` für eine Strecke von :math:`s=
\unit[800]{m}` benötigt, muss die Geschwindigkeit wiederum in
:math:`\unitfrac{m}{s}` umgerechnet werden:
.. math::
v = \unit[5,0]{\frac{km}{h}} = \unit[\frac{5,0}{3,6}]{\frac{m}{s}} =
\unit[1,39]{\frac{m}{s}}
Löst man nun die Formel :math:`v = \frac{\Delta s}{\Delta t}` nach
:math:`\Delta t` auf und setzt die obigen Werte ein, erhält man:
.. math::
v &= \frac{\Delta s}{\Delta t} \quad \Leftrightarrow \quad \Delta t =
\frac{\Delta s}{v} \\[6pt]
\Delta t &= \frac{\unit[800]{m}}{\unit[1,39]{\frac{m}{s} }} \approx
\unit[576]{s}
Man benötigt somit etwa :math:`576` Sekunden (das entspricht rund
:math:`\unit[9,6]{min}`).
- Um die benötigte Zeit zu berechnen, die das Licht von der Sonne bis zur Erde
benötigt, muss die Geschwindigkeitsformel :math:`v = \frac{\Delta s}{\Delta
t}` wieder nach der Zeitdauer :math:`\Delta t` aufgelöst werden:
.. math::
v = \frac{\Delta s}{\Delta t} \qquad \Leftrightarrow \qquad \Delta t =
\frac{\Delta s}{v}
Die Strecke, die das Licht von der Sonne bis zur Erde zurücklegt, beträgt
:math:`\Delta s = \unit[150\,000\,000]{km}`. Die Geschwindigkeit des Lichts
liegt bei :math:`\unitfrac[300 000]{km}{s}`. Eingesetzt ergibt sich:
.. math::
\Delta t = \frac{\Delta s}{v} =
\frac{\unit[150\,000\,000]{km}}{\unit[300\,000]{\frac{km}{s} }} =
\unit[500]{s}= \unit[8]{min} \, \unit[20]{s}
Das Licht benötigt für seinen Weg zur Erde somit etwas mehr als :math:`8`
Minuten.
:ref:`Zurück zur Aufgabe <king01>`
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.. _king02l:
* Um den vom Schall zurückgelegten Weg zu berechnen, muss die
Geschwindigkeitsformel :math:`v = \frac{\Delta s}{\Delta t}` nach der
Wegstrecke :math:`\Delta s` aufgelöst werden:
.. math::
v = \frac{\Delta s}{\Delta t} \qquad \Leftrightarrow \qquad \Delta s = v
\cdot \Delta t
Die Zeit, welche der Schall auf seinem Weg zur Felswand und zurück benötigt,
ist gleich :math:`\Delta t = \unit[5]{s}`. Die Schallgeschwindigkeit in Luft
beträgt :math:`v = \unitfrac[330]{m}{s}`. Eingesetzt ergibt sich:
.. math::
\Delta s = v \cdot \Delta t = \unit[330]{\frac{m}{s} } \cdot \unit[5]{s} =
\unit[1650]{m}
Die Gesamtstrecke, welche der Schall auf dem Hin- und Rückweg durchläuft,
beträgt :math:`\unit[1650]{m}`. Die Entfernung der Felswand vom Wanderer ist
gleich der Hälfte dieser Strecke, also rund :math:`\unit[0,8]{km}`.
:ref:`Zurück zur Aufgabe <king02>`
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.. _king03l:
* Je nach Betrachtungsweise sind zwei Aussagen möglich:
1. Der Fahrgast ändert, genauso wie der Zug, seine Lage gegenüber dem
Bahnhofsgebäude (als feststehend angenommen). Der Fahrgast ist in
Bewegung.
2. Der Fahrgast ändert nicht seine Lage gegenüber dem Abteil, in dem er
sitzt. Der Fahrgast ist in Ruhe gegenüber dem Abteil.
Ãœbrigens soll Albert Einstein einmal einen Schaffner gefragt haben:
*"Wann hält denn Ulm an diesem Zug?"*
Die Wahl eines Bezugpunktes, gegenüber dem die weiteren Bewegungen
beschrieben werden, ist frei und ändert nichts an den physikalischen
Gesetzmäßigkeiten. Wir nehmen beispielsweise gerne auf der Erde 'ruhende'
Objekte als feste Bezugspunkte an, obwohl sich die Erde selbst mit ca.
:math:`\unitfrac[30]{km}{s}` um die Sonne bewegt!
:ref:`Zurück zur Aufgabe <king03>`
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.. _king04l:
* Wenn das Fahrzeug einen Läufer einholt, so ist die gleichbedeutend damit, dass
zu diesem Zeitpunkt beide die gleiche Wegstrecken zurückgelegt haben, also
:math:`\Delta s_{\mathrm{F}} = \Delta s_{\mathrm{L}}` ist.
Bis das Fahrzeug nach :math:`\Delta t = \unit[30]{min} = \unit[0,5]{h}`
startet, hat sich der Läufer mit :math:`v_{\mathrm{L}} =
\unitfrac[15]{km}{h}` einen "Vorsprung" von :math:`\unitfrac[15]{km}{h}
\cdot \unit[0,5]{h} = \unit[7,5]{km}` erkämpft. Für den Treffpunkt muss damit
gelten:
.. math::
\Delta s_{\mathrm{F}} &= \Delta s_{\mathrm{L}} \\
v_{\mathrm{F}} \cdot \Delta t &= v_{\mathrm{L}} \cdot \Delta t +
\unit[7,5]{km} \\
Hierbei bezeichnet :math:`\Delta t` die Zeit, die ab dem Start des Fahrzeugs
vergeht. Die Gleichung enthält nur :math:`\Delta t` als unbekannte Größe und
kann somit unmittelbar aufgelöst werden:
.. math::
v_{\mathrm{F}} \cdot \Delta t - v_{\mathrm{L}} \cdot \Delta t &=
\unit[7,5]{km} \\ (v_{\mathrm{F}} - v_{\mathrm{L}}) \cdot \Delta t &=
\unit[7,5]{km} \\
.. math::
\Delta t &= \frac{\unit[7,5]{km}}{v_{\mathrm{F}} - v_{\mathrm{L}}} =
\frac{\unit[7,5]{km}}{\unit[(35-15)]{\frac{km}{h}}} = \unit[0,375]{h}\\
Das Fahrzeug ist bis zum Treffpunkt :math:`\Delta t = \unit[0,375]{h}`
unterwegs, bis es den Läufer einholt. In dieser Zeit legt es folgende Wegstrecke
zurück:
.. math::
\Delta s = v_{\mathrm{F}} \cdot \Delta t = \unit[35]{\frac{km}{h}} \cdot
\unit[0,375]{h} = \unit[13,125]{km}
In dieser Entfernung vom Startpunkt treffen sich der Läufer und das Fahrzeug
also; der Läufer war insgesamt :math:`\unit[(0,5 + 0,375)]{h} =
\unit[0,875]{h}` unterwegs.
Alternativ kann die Aufgabe auch mittels einer anders formulierten Bedingung
für den Treffpunkt gelöst werden. Da das Fahrzeug immer eine konstante
Geschwindigkeit hat und erst nach einer halben Stunde startet, könnte es
ebenso zeitgleich starten, aber von einer Stelle aus, die sich
:math:`\unitfrac[35]{km}{h} \cdot \unit[0,5]{h} = \unit[17,5]{km}` *vor* dem
Startpunkt befindet. Die Gleichung für den Treffpunkt kann also gleichwertig
folgendermaßen formuliert werden:
.. math::
s_{\mathrm{F}} &= s_{\mathrm{L}} \\
v_{\mathrm{F}} \cdot t - \unit[17,5]{km} &= v_{\mathrm{L}} \cdot t \\
Hierbei bezeichnet :math:`t` die insgesamt verstrichene Zeit, da beide
Fahrzeuge zum gleichen Zeitpunkt starten. Die Gleichung kann wiederum nach
:math:`t` aufgelöst werden, man erhält dabei :math:`t=\unit[0,875]{h}`.
Eine dritte Lösungsmöglichkeit liegt darin, bei der Formulierung der
Gleichung für den Treffpunkt die unterschiedlichen Startzeiten zu
berücksichtigen. Eine so aufgestellte Gleichung lautet;
.. math::
v_{\mathrm{F}} \cdot (t - \unit[0,5]{h}) &= v_{\mathrm{L}} \cdot t
Bei dieser Formulierung wird berücksichtigt, dass das Fahrzeug insgesamt um
:math:`\Delta t = \unit[30]{min} = \unit[0,5]{h}` weniger lang unterwegs ist.
Löst man die Gleichung nach :math:`t` auf, erhält man wiederum :math:`t=
\unit[0,875]{h}` als Ergebnis.
:ref:`Zurück zur Aufgabe <king04>`
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.. _king05l:
* Der Treffpunkt :math:`s_{\mathrm{T}}` beider Fahrzeuge lässt sich bestimmen,
indem man die jeweiligen Ortsfunktionen aufstellt gleichsetzt. Wählt man ein
Koordinatensystem so, dass der Ort :math:`\mathrm{A}` mit dem
Koordinatenursprung zusammenfällt und bezeichnet man die Richtung von
:math:`\mathrm{A}` nach :math:`\mathrm{B}` als "positiv", so lauten die
Ortsfunktionen der beiden Fahrzeuge:
.. math::
s_1 &= v_1 \cdot t \\
s_2 &= - v_2 \cdot t + s_0
Die Geschwindigkeit des zweiten Fahrzeugs wird dabei negativ gewertet, da sie
in die entgegengesetzte Richtung verläuft. Treffen sich beide Fahrzeuge, so
ist :math:`s_1 = s_2`, und damit:
.. math::
v_1 \cdot t &= -v_2 \cdot t + s_0 \\
\Rightarrow v_1 \cdot t + v_2 \cdot t &= s_0
In dieser Gleichung kann auf der linken Seite :math:`t` ausgeklammert werden.
Man erhält damit für die Zeit des Treffpunkts:
.. math::
t \cdot (v_1 + v_2) = s_0 \quad \Leftrightarrow \quad t = \frac{s_0}{v_1 +
v_2}
Setzt man die gegebenen Werte :math:`v_1 = \unitfrac[30,0]{km}{h}`, :math:`v_2 =
\unitfrac[50,0]{km}{h}` und :math:`s_0 = \unit[100]{km}` in die obige Gleichung ein,
so erhält man:
.. math::
t = \frac{s_0}{v_1 + v_2} = \frac{\unit[100]{km}}{\unit[30,0]{\frac{km}{h}}
+ \unit[50,0]{\frac{km}{h}}} = \unit[1,25]{h}
Beide Fahrzeuge treffen sich also nach :math:`t=\unit[1,25]{Stunden}`. Um die
Entfernung :math:`s` zu bestimmen, die beide Fahrzeuge zu diesem
Zeitpunkt vom Korrdinatenursprung (dem Ort :math:`\mathrm{A}`) haben, kann man
diese Zeit in die Gleichung :math:`s_1 = v_1 \cdot t` einsetzen und erhält:
.. math::
s = v_1 \cdot \unit[1,25]{h} = \unit[30,0]{\frac{km}{h}} \cdot
\unit[1,25]{h} = \unit[37,5]{km}
Beide Fahrzeuge treffen sich somit :math:`s=\unit[37,5]{km}` vom Ort
:math:`\mathrm{A}` entfernt.
:ref:`Zurück zur Aufgabe <king05>`
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.. _Lösungen Mehrdimensionale Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit:
Mehrdimensionale Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit
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Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben
<Mehrdimensionale Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit>` zum Abschnitt
:ref:`Mehrdimensionale Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit
<Mehrdimensionale Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit>`.
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.. _kinz01l:
* Um den :math:`s_y = \unit[100]{m}` breiten Fluss mit einer Geschwindigkeit von
:math:`v_y = \unitfrac[0,5]{m}{s}` zu überqueren, ist folgende Zeit nötig:
.. math::
v_y = \frac{s_y}{t} \quad \Longleftrightarrow \quad t = \frac{s_y}{v_y} =
\frac{\unit[100]{m}}{\unit[0,5]{\frac{m}{s}}} = \unit[200]{s}
In dieser Zeit wird der Schwimmer durch die Strömung um
:math:`s_x=\unit[35]{m}` abgetrieben. Die Strömungsgeschwindigkeit des
Flusses beträgt somit:
.. math::
v_x = \frac{s_x}{t} = \frac{\unit[35]{m}}{\unit[200]{s}} =
\unit[0,175]{\frac{m}{s}}
Dies entspricht einer (mittleren) Strömungsgeschwindigkeit von etwa
:math:`\unitfrac[0,63]{km}{h}`.
:ref:`Zurück zur Aufgabe <kinz01>`
----
.. _kinz02l:
* Im folgenden wird angenommen, dass sich das erste Objekt entlang der
:math:`x`-Achse bewegt. Dann gilt für :math:`\vec{v}_1` und :math:`\vec{v}_2`:
.. math::
\vec{v}_1 = \begin{pmatrix}
5 \\ 0
\end{pmatrix} \quad ; \quad
\vec{v}_2 = \begin{pmatrix}
0 \\ 3
\end{pmatrix}
Der Betrag dieses Vektors ist :math:`|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 3^2} \approx
\unit[5,83]{\frac{m}{s}}`. Nach :math:`\Delta t = \unit[15]{s}` gilt für die
Ortskoordinaten :math:`\vec{\mathrm{s}}_1` und :math:`\vec{s}_2`:
.. math::
\vec{s}_1 = v_1 \cdot t = \begin{pmatrix}
5 \cdot 15 \\ 0
\end{pmatrix} \quad ; \quad
\vec{s}_2 = v_2 \cdot t = \begin{pmatrix}
0 \\ 3 \cdot 15
\end{pmatrix}
Die Entfernung beider Objekte voneinander ergibt sich aus der Differenz der
beiden Ortsvektoren. Aus Sicht des ersten Gegenstands gilt:
.. math::
\Delta \vec{s}_{\mathrm{rel}} = \vec{s}_1 - \vec{s}_2 = \begin{pmatrix}
75 \\ -45
\end{pmatrix}
Der Betrag dieses Vektors ist:
.. math::
|\Delta \vec{s}_{\mathrm{rel}} | = \sqrt{75^2 + (-45)^2} \approx
\unit[87,5]{m}
..
sq(75**2 + 45**2)
Die Objekte sind nach :math:`\unit[15]{s}` somit rund :math:`\unit[87,5]{m}`
voneinander entfernt.
:ref:`Zurück zur Aufgabe <kinz02>`
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.. _Lösungen Bewegungen mit konstanter Beschleunigung:
Bewegungen mit konstanter Beschleunigung
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Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben <Bewegungen
mit konstanter Beschleunigung>` zum Abschnitt :ref:`Bewegungen mit konstanter
Beschleunigung <Bewegungen mit konstanter Beschleunigung>`.
.. _Lösungen Eindimensionale Bewegungen mit konstanter Beschleunigung:
.. rubric:: Eindimensionale Bewegungen mit konstanter Beschleunigung
----
.. _kinb01l:
* Die Beschleunigung des Radfahrers ist gleich dem Verhältnis aus der
Veränderung seiner Geschwindigkeit :math:`\Delta v = \unitfrac[30]{km}{h}
\approx \unitfrac[8,33]{m}{s}` und der dafür benötigten Zeit :math:`\Delta t =
\unit[8,0]{s}`
.. math::
a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\unit[8,33]{\frac{m}{s}}
}{\unit[8,0]{s}} \approx \unit[1,04]{\frac{m}{s^2} }
Die Beschleunigung des Radfahrers entspricht somit rund
:math:`\unitfrac[1,0]{m}{s^2}`.
:ref:`Zurück zur Aufgabe <kinb01>`
----
.. _kinb02l:
* Die Geschwindigkeitsänderung :math:`\Delta v` Fahrzeugs beträgt
:math:`\unitfrac[100]{km}{h} \approx \unitfrac[27,28]{m}{s}`, die dafür
benötigte Zeit :math:`\Delta t=\unit[10]{s}`. Für die Beschleunigung des
Fahrzeugs folgt somit:
.. math::
a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\unit[27,78]{\frac{m}{s}}
}{\unit[10]{s}} \approx \unit[2,78]{\frac{m}{s^2} }
Die Beschleunigung des Fahrzeugs beträgt also rund :math:`\unit[2,8]{m/s^2}`.
Die Beschleunigung beim Abbrems-Vorgang hat den gleichen Betrag, denn sowohl
die Geschwindigkeitsänderung :math:`\Delta v` als auch die dafür benötigt Zeit
:math:`\Delta t` sind identisch. Der Beschleunigungswert trägt allerdings beim
Bremsvorgang ein negatives Vorzeichen, denn ein Abbremsen entspricht einer
Beschleunigung in die entgegengesetzte Richtung.
:ref:`Zurück zur Aufgabe <kinb02>`
----
.. _kinb03l:
* Die Geschwindigkeitsänderung des Fahrzeugs ergibt sich aus der Differenz
zwischen der Endgeschwindigkeit :math:`v_2 = \unitfrac[36,5]{m}{s}`
(entspricht :math:`\unitfrac[131,4]{km}{h}`) und der Anfangsgeschwindigkeit
:math:`v_1 = \unit[20,0]{m/s}` (entspricht :math:`\unitfrac[72,0]{km}{h}`):
.. math::
\Delta v = v_2 - v_1 = \unit[36,5]{\frac{m}{s} } -
\unit[20,0]{\frac{m}{s} } = \unit[16,5]{\frac{m}{s} }
Teilt man diesen Wert durch die für die Geschwindigkeitsänderung
benötigte Zeit :math:`t = \unit[5,0]{s}`, so ergibt sich für die
Beschleunigung:
.. math::
a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\unit[16,5]{\frac{m}{s}
}}{\unit[5,0]{s}} = \unit[3,3]{\frac{m}{s^2} }
Die Beschleunigung des Fahrzeugs beträgt somit :math:`a =
\unitfrac[3,3]{m}{s^2}`. Vergleicht man diesen Wert mit dem Wert der
Erdbeschleunigung :math:`g = \unitfrac[9,81]{m}{s^2}`, so erkennt man, dass
ein Körper im freien Fall -- sofern die Reibung vernachlässigbar ist -- eine
rund dreifach höhere Beschleunigung erfährt als im beschleunigenden Fahrzeug.
Die Wegstrecke :math:`\Delta s`, die das Fahrzeug für den Beschleunigungsvorgang
benötigt, beträgt:
.. math::
\Delta s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \Delta t^2 + v_1 \cdot \Delta t &=
\frac{1}{2} \cdot \unit[3,3]{\frac{m}{s^2} } \cdot (\unit[5,0]{s})^2 +
\unit[20]{\frac{m}{s}} \cdot \unit[5,0]{s} \\[4pt] &= \frac{1}{2} \cdot
\unit[3,3]{\frac{m}{s^2} } \cdot \;\; \unit[25]{s^2} \;\; + \unit[100]{m} \approx
\unit[141,25]{m}
(Alternativ kann die für den Beschleunigungsvorgang benötigte Strecke auch
mittels der "Bremsformel" :math:`v_2^2 - v_1^2 = 2 \cdot a \cdot \Delta s`
berechnet werden.)
Das Fahrzeug benötigt somit für den Beschleunigungsvorgang rund
:math:`\unit[141]{m}`.
:ref:`Zurück zur Aufgabe <kinb03>`
----
.. _kinb04l:
* Während der Reaktionszeit von :math:`\Delta t = \unit[1,0]{s}` bewegt sich der
PKW mit seiner Anfangsgeschwindigkeit :math:`v_0=\unitfrac[40]{km}{h} \approx
\unitfrac[11,1]{m}{s}` weiter; für den Reaktionsweg gilt also:
.. math::
s_{\mathrm{Reaktion}} = v_0 \cdot \Delta t = \unit[11,1]{\frac{m}{s}}
\cdot \unit[1,0]{s} = \unit[11,1]{m}
Der anschließende Bremsweg kann mittels der :ref:`Bremsformel <Bremsformel>`
:math:`v^2 - v_0^2 = 2 \cdot a \cdot s` berechnet werden; da die
Endgeschwindigkeit :math:`v` gleich Null ist, folgt:
.. math::
- v_0^2 = 2 \cdot a \cdot s_{\mathrm{Brems}} \quad \Longleftrightarrow
\quad s_{\mathrm{Brems}} = \frac{-v_0^2}{2 \cdot a} \\[5pt]
s_{\mathrm{Brems}} = \frac{-(\unit[11,1]{\frac{m}{s}})^2}{2 \cdot
(\unit[-4,5]{\frac{m}{s^2}})} \approx \unit[13,69]{m}
Der PKW kommt somit nach einem Anhalteweg von rund
:math:`s_{\mathrm{Reaktion}} + s_{\mathrm{Brems}} = \unit[(11,1 + 13,69)]{m}
= \unit[24,8]{m}` gerade noch rechtzeitig vor dem Hindernis zum Stehen.
:ref:`Zurück zur Aufgabe <kinb04>`
----
.. _kinb05l:
* Während des Sprungs wird der Badegast durch die Erdanziehung :math:`a = g =
\unitfrac[9,81]{m}{s^2}` konstant beschleunigt. Um die Flugzeit zu bestimmen,
kann die Formel für die zurückgelegte Wegstrecke :math:`s = \unit[5,0]{m}`
nach der Zeit :math:`t` aufgelöst werden:
.. math::
s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \quad \Longleftrightarrow \quad t =
\sqrt{\frac{2 \cdot s}{a} }
.. math::
t = \sqrt{\frac{2 \cdot s}{a} } = \sqrt{\frac{2 \cdot \unit[5,0]{m}
}{\unit[9,81]{\frac{m}{s^2}} } } \approx \unit[1,01]{s}
Die Flugzeit beträgt somit rund :math:`\unit[1,0]{s}`. Die Geschwindigkeit
beim Eintauchen kann durch Einsetzen der (Erd-)Beschleunigung :math:`a = g`
und der Flugzeit :math:`t` in die Gleichung :math:`v = a \cdot t` berechnet
werden:
.. math::
v = a \cdot t = \unit[9,81]{\frac{m}{s^2}} \cdot \unit[1,01]{s} \approx
\unit[9,9]{\frac{m}{s} }
Die Geschwindigkeit des Badegastes beim Eintauchen beträgt somit rund
:math:`\unitfrac[9,9]{m}{s}` (entspricht :math:`\unitfrac[35,7]{km}{h}`).
:ref:`Zurück zur Aufgabe <kinb05>`
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.. _kinb06l:
* Der Stein wird, wenn der Luftwiderstand vernachlässigt werden kann, mit
der konstanten Beschleunigung :math:`a = g = \unitfrac[9,81]{m}{s^2}`
beschleunigt. Die Endgeschwindigkeit :math:`v` ist gleich dem Produkt aus
der Beschleunigung und der Zeit :math:`t = \unit[1,7]{s}`, während der die
Beschleunigung wirkt:
.. math::
v = a \cdot t = \unit[9,81]{\frac{m}{s^2} } \cdot \unit[1,7]{s} \approx
\unit[16,67]{\frac{m}{s} }
Die Geschwindigkeit des Steins beträgt beim Aufprall somit rund
:math:`\unitfrac[17]{m}{s} \approx~\unitfrac[60]{km}{h}`. Bis zu diesem
Zeitpunkt legt der Stein folgende Wegstrecke :math:`s` zurück:
.. math::
s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 = \frac{1}{2} \cdot
\unit[9,81]{\frac{m}{s^2} } \cdot (\unit[1,7]{s})^2 = \frac{1}{2} \cdot
\unit[9,81]{\frac{m}{s^2} } \cdot \unit[2,89]{s^2} \approx \unit[14,2]{m}
Der Brunnen ist somit (mindestens) :math:`\unit[14]{m}` tief.
:ref:`Zurück zur Aufgabe <kinb06>`
----
.. _kinb07l:
* Um die beim Aufprall wirkende Beschleunigung :math:`a` anhand des Bremsweges
(der "Knautschzone") :math:`\Delta s = \unit[0,5]{m}` zu ermitteln, kann die
Bremsformel :math:`v^2 - v_0^2 = 2 \cdot a \cdot s` genutzt werden; die
Endgeschwindigkeit :math:`v` des Fahrzeugs ist dabei gleich Null, die
Beschleunigung erfolgt entgegen der Bewegungsrichtung und hat damit ein
negatives Vorzeichen.
Eine Geschwindigkeit von :math:`\unitfrac[30]{km}{h}` entspricht rund
:math:`\unitfrac[8,3]{m}{s}`. Eingesetzt in die Bremsformel ergibt sich
folgende Beschleunigung:
.. math::
| a | = \frac{v_0^2}{2 \cdot s} =
\frac{\left(\unit[8,3]{\frac{m}{s}}\right)^2}{2 \cdot \unit[0,5]{m}}
\approx \unit[69,4]{\frac{m}{s^2}}
Eine Beschleunigung von :math:`\unitfrac[69,4]{m}{s^2}` entspricht etwa
:math:`\unit[7,1]{g}`, also einer gut siebenfachen Erdbeschleunigung. Dies
kann ein Mensch noch überleben, wenn auch mit erheblichen Verletzungen und
sogar Bewusstlosigkeit gerechnet werden muss.
Trifft der Wagen nicht auf eine Mauer, sondern ein identsches und mit gleicher
Geschwindigkeit entgegenkommendes Fahrzeug, so tritt die gleiche
Beschleunigung auf. Beide Fahrzeuge kommen genau in der Mitte zwischen beiden
zum Stillstand und haben somit den gleichen Bremsweg, als würden sie gegen
eine an dieser Stelle angebrachte Wand fahren. Sind die Fahrzeuge
unterschiedlich schwer oder unterschiedlich schnell, so haben beide
unterschiedliche Beschleunigungen, die mit Hilfe des
:ref:`Impulserhaltungssatzes <Impulserhaltungssatz>` berechnet werden können.
Erfolgt der Aufprall mit :math:`v_1 = \unitfrac[50]{km}{h} \approx
\unitfrac[13,9]{m}{s}` oder :math:`v_2 = \unitfrac[100]{km}{h} \approx
\unitfrac[27,8]{m}{s}`, so ergeben sich folgende Beschleunigungen:
.. math::
| a_1 | = \frac{v_1^2}{2 \cdot s} =
\frac{\left(\unit[13,9]{\frac{m}{s}}\right)}{2 \cdot \unit[0,5]{m}}
\approx \unit[193]{\frac{m}{s^2}} \\[8pt]
| a_2 | = \frac{v_2^2}{2 \cdot s} =
\frac{\left(\unit[27,8]{\frac{m}{s}}\right)}{2 \cdot \unit[0,5]{m}}
\approx \unit[772]{\frac{m}{s^2}}
Diese Beschleunigungen entsprechen rund :math:`\unit[20]{g}` beziehungsweise
:math:`\unit[79]{g}` und sind somit lebensgefährlich bzw. tödlich.
:ref:`Zurück zur Aufgabe <kinb07>`
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.. _Lösungen Kreisförmige Bewegungen:
Kreisförmige Bewegungen
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Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben <Aufgaben
Kreisförmige Bewegungen>` zum Abschnitt :ref:`Kreisförmige Bewegungen
<Kreisförmige Bewegungen>`.
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.. _kink01l:
* Wenn die Schnur reißt, fliegt der Stein geradlinig in Richtung seiner
Momentangeschwindigkeit :math:`\vec{v}` weiter, also senkrecht zu der
Richtung, welche die Schnur zum Zeitpunkt des Reißens hatte.
.. todo:: pic!
Bei der kreisförmigen Bewegung handelt es sich somit um eine beschleunigte
Bewegung: Auch wenn sich der Wert seiner Geschwindigkeit nicht ändert, so
ändert sich auf einer Kreisbahn doch kontinuierlich die Richtung. Die dazu
nötige (Radial-)Kraft wird mittels der Schnur auf den Stein übertragen.
:ref:`Zurück zur Aufgabe <kink01>`
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.. _kink02l:
* Die Umlaufzeit des Kieselsteins kann anhand seiner Kreisfrequenz :math:`f =
\unit[1,8]{s}` berechnet werden:
.. math::
f = \frac{1}{T} \quad \Longleftrightarrow \quad T = \frac{1}{f}
.. math::
T = \frac{1}{f} = \unit[1]{\unit[1,8]{\frac{1}{s}} } \approx \unit[0,56]{s}
Für die Winkelgeschwindigkeit :math:`\omega` des Kieselsteins gilt:
.. math::
\omega = \frac{2 \cdot \pi }{T} = 2 \cdot \pi \cdot f = 2 \cdot \pi
\cdot \unit[1,8]{\frac{1}{s} } \approx 11,3 \frac{1}{s}
Für die Bahngeschwindigkeit :math:`v` des Kieselsteins auf seiner Kreisbahn
:math:`(r = \frac{d}{2} = \unit[36]{cm} = \unit[0,36]{m})` gilt:
.. math::
v = \omega \cdot r = \unit[11,3]{\frac{1}{s} } \cdot \unit[0,36]{m} =
\unit[4,07]{\frac{m}{s}}
Der Kieselstein hat somit eine Bahngeschwindigkeit von etwa
:math:`\unitfrac[4,1]{m}{s} \approx \unitfrac[15]{km}{h}`.
:ref:`Zurück zur Aufgabe <kink02>`
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.. _kink03l:
* Der PKW bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von :math:`v =
\unitfrac[90]{km}{h} = \unitfrac[25]{m}{s}`; mit dem Radius :math:`r =
\frac{d}{2} = \unit[22,5]{cm} = \unit[0,225]{m}` folgt für die
Winkelgeschwindigkeit :math:`\omega` der Räder:
.. math::
\omega = \frac{v}{r} = \frac{\unit[25]{\frac{m}{s}}}{\unit[0,225]{m}}
\approx \unit[111,1]{\frac{1}{s}}
Die Winkelgeschwindigkeit beträgt somit rund :math:`\unitfrac[111,1]{rad}{s}`.
Da eine voll Umdrehung einem Drehwinkel von :math:`2 \cdot \pi` entspricht,
folgt für die Drehzahl :math:`n`:
.. math::
n = \frac{\omega}{2 \cdot \pi} = \frac{\unit[111,1]{\frac{1}{s}}}{2 \cdot
\pi} \approx \unit[17,7]{\frac{U}{s}}
Das Rad führt in je Sekunde somit rund :math:`17,7` Umdrehungen aus.
:ref:`Zurück zur Aufgabe <kink03>`
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.. _kink04l:
* Die Bahngeschwindigkeit :math:`v = \omega \cdot r` der Zentrifuge lässt sich
mit :math:`n = \unitfrac[3000]{U}{min}` und :math:`r = \unit[0,0100]{m}`
folgendermaßen berechnen:
.. math::
v = \omega \cdot r = (n \cdot 2 \cdot \pi) \cdot r = \frac{3000 \cdot 2
\cdot \pi \cdot \unit[0,0100]{m}}{\unit[60]{s}} \approx
\unit[3,14]{\frac{m}{s}}
Damit folgt für die Radialbeschleunigung :math:`a_{\mathrm{\varphi}}`:
.. math::
a_{\mathrm{\varphi}} = \frac{v^2}{r} =
\frac{\left(\unit[3,14]{\frac{m}{s}}\right)^2}{\unit[0,01]{m}} \approx
\unit[986]{\frac{m}{s^2}}
Die Radialbeschleunigung in der Zentrifuge beträgt bei der angegebenen
Drehzahl rund :math:`\unitfrac[986]{m}{s^2}`; dies entspricht etwa dem
:math:`100`-fachen der Erdbeschleungigung :math:`g`.
:ref:`Zurück zur Aufgabe <kink04>`
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.. _kink05l:
* Um die Radialbeschleunigung zu bestimmen, welche die Erde auf einen Körper
am Äquator ausübt, sollte zunächst die Bahngeschwindigkeit :math:`v = \omega
\cdot r` eines auf der Erdoberfläche mitrotierenden Körpers berechnet werden.
Auf Höhe des Äquators gilt mit :math:`r_{\mathrm{E}} = \unit[6370]{km}`:
.. math::
v = \omega \cdot r = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T} = \frac{2 \cdot \pi
\cdot \unit[6370]{km}}{\unit[1]{d}} = \frac{2 \cdot \pi \cdot
\unit[6370 \cdot 10^3]{m}}{\unit[24 \cdot 60 \cdot 60]{s}} \approx
\unit[463]{\frac{m}{s}}
Damit gilt für die Radialkraftbeschleunigung :math:`a_{\mathrm{\varphi}}`:
.. math::
a_{\mathrm{\varphi}} = \frac{v^2}{r} =
\frac{\left(\unit[463]{\frac{m}{s}}\right)^2}{\unit[6370 \cdot 10^3]{m}}
\approx \unit[0,033]{\frac{m}{s^2}}
Die Radialbeschleunigung beträgt am Äquator somit rund
:math:`\unitfrac[0,033]{m}{s^2}`.
Auf einem nördlich bzw. südlich vom Äquator gelegenen Punkt auf der Erde
bewegt sich ein mit der Erde mitrotierender Körper auf einer Kreisbahn mit
einem Radius :math:`r`, der kleiner als der Erdradius :math:`r_{\mathrm{E}}`
ist. Für :math:`r` gilt in Abhängigkeit vom Breitengrad :math:`\varPhi`:
.. math::
\cos{\varPhi} = \frac{r}{r_{\mathrm{E}}} \quad \Leftrightarrow \quad r =
r_{\mathrm{E}} \cdot \cos{\varPhi}
Für den 45. Breitengrad :math:`(\varPhi = 45\degree)` ergibt sich damit für
Rotationsradius :math:`r`:
.. math::
r = r_{\mathrm{E}} \cdot \cos{45\degree} \approx \unit[4\,505]{km}
Für die Bahngeschwindigkeit :math:`v=\omega \cdot r` des rotierenden Körpers
und die Radialkraftbeschleunigung :math:`a_{\mathrm{\varphi}}` gilt somit:
.. math::
v = \omega \cdot r = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T} = \frac{2 \cdot \pi
\cdot \unit[4505]{km}}{\unit[1]{d}} = \frac{2 \cdot \pi \cdot
\unit[4505 \cdot 10^3]{m}}{\unit[24 \cdot 60 \cdot 60]{s}} \approx
\unit[328]{\frac{m}{s}} \\
.. math::
a_{\mathrm{\varphi}} = \frac{v^2}{r} =
\frac{\left(\unit[328]{\frac{m}{s}}\right)^2}{\unit[4505 \cdot 10^3]{m}}
\approx \unit[0,024]{\frac{m}{s^2}}
Die Radialbeschleunigung durch die Erdrotation beträgt am 45. Breitengrad
somit rund nur noch :math:`\unitfrac[0,024]{m}{s^2}`. Am Nordpol
verschwindet sie völlig, da in diesem Fall :math:`\cos{\varPhi} = \cos{90
\degree} = 0` und somit :math:`r = r_{\mathrm{E}} \cdot \cos{\varPhi} = 0` gilt.
Die Werte der Radialbeschleunigungen an den verschiedenen Stellen der Erde
bewirken eine Verringerung der Erdbeschleunigung :math:`g`. An den Polen ist
daher :math:`g \approx \unitfrac[9,83]{m}{s^2}`, in mittleren Breitengraden
ist :math:`g \approx \unitfrac[9,81]{m}{s^2}`, und am Äquator ist :math:`g
\approx \unitfrac[9,78]{m}{s^2}`. Obwohl die Unterschiede nur gering sind, so
hatten sie doch im Laufe der Erdgeschichte eine leichte Abplattung der Erde zu
den Polen hin zur Folge: Am Äquator beträgt der Erdradius
:math:`r_{\mathrm{E}} \approx \unit[6378]{km}`, am Nord- bzw. Südpol hingegen
"nur" :math:`\unit[6370]{km}`.
:ref:`Zurück zur Aufgabe <kink05>`
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.. only:: html
:ref:`Zurück zum Skript <Kinematik>`