.. _Lösungen Körpereigenschaften:
Körpereigenschaften
===================
.. _Lösungen Volumen:
Volumen
-------
Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben <Aufgaben
Volumen>` zum Abschnitt :ref:`Volumen <Volumen>`.
----
.. _kvo01l:
* Wird die Farbe gleichmäßig aufgetragen, so gilt für das zum Anstreichen
einer Fläche :math:`A` mit einer Schichtdicke :math:`h` benötigte
Farbvolumen:
.. math::
V = A \cdot h
Umgekehrt kann aus dieser Formel die Dicke :math:`h` der Farbschicht
berechnet werden, wenn das Volumen :math:`V` und die Fläche :math:`A`
bekannt sind. Dazu muss nur berücksichtigt werden, dass ein Liter einem
Kubik-Dezimeter entspricht:
.. math::
\unit[1]{l} \equiv \unit[1]{dm^3} = \unit[\frac{1}{1000} ]{m^3}
Somit gilt:
.. math::
h = \frac{V}{A} = \frac{\unit[\frac{1}{1000} ]{m^3}}{\unit[6]{m^2}}
\approx \unit[0,00017]{m} = \unit[0,17]{mm}
Bei der Etikettenangabe wird somit davon ausgegangen, dass die Farbe mit
einer Schichtdicke von knapp :math:`\unit[0,2]{mm}` aufgetragen wird.
:ref:`Zurück zur Aufgabe <kvo01l>`
----
.. _kvo02l:
* Die Fläche :math:`A` der (rechteckigen) Blechtafel ist gleich dem Produkt
aus ihrer Länge :math:`l` und Breite :math:`b`:
.. math::
A = l \cdot b = \unit[1,50]{m} \cdot \unit[1,20]{m} = \unit[1,80]{m^2}
Das Volumen :math:`V` der nötigen Lackschicht kann damit als Produkt der
Fläche :math:`A` und der (gleichmäßigen) Schichtdicke :math:`h =
\unit[0,1]{mm} = \unit[0,000\,1]{m}` berechnet werden:
.. math::
V = A \cdot h = \unit[1,8]{m^2} \cdot \unit[0,000\,1]{m} =
\unit[0,000\,18]{m^3} = \unit[0,18]{dm^3}
Zum Streichen der Fläche mit der angegebenen Schichtdicke sind somit je Fläche
rund :math:`\unit[0,2]{dm^3} = \unit[0,2]{l}` nötig; für beide Seiten sind
entsprechend :math:`\unit[0,4]{l}` Lack notwendig.
:ref:`Zurück zur Aufgabe <kvo02>`
----
.. _Lösungen Dichte:
Dichte
------
Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben <Aufgaben
Dichte>` zum Abschnitt :ref:`Dichte <Dichte>`.
----
.. _kdi01l:
* In Kork und Styropor ist verhältnismäßig viel Luft eingelagert. Körper aus
Kork oder Styropor nehmen daher bei einer bestimmten Masse :math:`m` ein großes
Volumen :math:`V` ein. Die Dichte :math:`\rho = \frac{m}{V}` ist somit gering.
:ref:`Zurück zur Aufgabe <kdi01>`
----
.. _kdi02l:
* Die Formel für die Dichte :math:`\rho` eines Körpers lautet :math:`\rho
=\frac{m}{V}`. Die Masse :math:`m` und das Volumen :math:`V` des Würfels
sind bekannt. Eingesetzt ergibt sich:
.. math::
\rho = \frac{m}{V} = \frac{\unit[178]{g} }{\unit[20]{cm^3} } = 8,9
\unit[]{\frac{g}{cm^3} }
Die Dichte des Würfels beträgt :math:`\unit[8,9]{g/cm^3}`. Da Kupfer die gleiche
Dichte besitzt, handelt es sich wahrscheinlich um einen Würfel aus Kupfer.
:ref:`Zurück zur Aufgabe <kdi02>`
----
.. _kdi03l:
* Eine mögliche Lösung besteht darin zu überlegen, dass Kubick-Dezimeter
gerade einem Liter entspricht:
.. math::
\unit[1]{dm^3} = \unit[1]{l}
Quecksilber hat eine Dichte von :math:`\unit[13,6]{kg/dm^3}`, d.h. es passen
:math:`m = \unit[13,6]{kg}` in ein Volumen :math:`V = \unit[1]{l}`. Nun steht
in der :math:`0,5`-Liter-Flasche nur die Hälfte dieses Volumens zur Verfügung,
so dass auch nur die Hälfte dieser Masse hinein passt -- das sind
:math:`\unit[6,8]{kg}`. Quecksilber der Masse :math:`m = \unit[6]{kg}` füllt
die Flasche somit nicht aus.
Ein anderer Lösungsweg ergibt sich, indem man berechnet, welches Volumen
die sechs Kilogramm Quecksilber einnehmen:
Aus der gegebenen Dichte :math:`\rho = \frac{m}{V} = \unit[13,6]{kg/dm^3}`
des Quecksilbers und seiner Masse :math:`m = \unit[6]{kg}` lässt sich das
Volumen des Quecksilbers bestimmen:
.. math::
\rho = \frac{m}{V} \qquad \Leftrightarrow \qquad V = \frac{m }{\rho }
.. math::
V = \frac{m}{\rho } = \frac{\unit[6]{kg}}{ \unit[13,6]{{\frac{kg}{dm^3}}
}} = \unit[0,441]{dm^3} = \unit[0,441]{l}
Dieses Volumen ist kleiner als :math:`0,5` Liter, also kann man es in die
Flasche füllen.
:ref:`Zurück zur Aufgabe <kdi03>`
----
.. _kdi04l:
* Würde Glaswolle ausschließlich aus dem Glasgemisch bestehen, so würde sich
aus der Dichte :math:`\rho = \unit[2,5]{g/cm^3} = \unit[2500]{kg/m^3}` bei
einem Volumen von :math:`V = \unit[1]{m^3}` eine Masse von :math:`m =
\unit[2500]{kg}` ergeben:
.. math::
\rho = \frac{m}{V} \quad \Leftrightarrow \quad m = \rho \cdot V \\
m = \unit[2500]{\frac{kg}{m^3} } \cdot \unit[1]{m^3} = \unit[2500]{kg}
Tatsächlich wiegt ein Kubickmeter Glaswolle jedoch nur
:math:`\unit[100]{kg}`. Das Glasgemisch kann somit -- das Gewicht der Luft
wird an dieser Stelle vernachlässigt -- den entsprechenden Bruchteil des
Volumens ausmachen:
.. math::
\frac{V_{\mathrm{Glasgemisch}}}{V_{\mathrm{gesamt}}} = \frac{100}{2500} = 0,04 = 4\%
Der Anteil des Glasgemisches am Gesamtvolumen begrägt somit :math:`4\%`.
:ref:`Zurück zur Aufgabe <kdi04>`
----
.. _kdi05l:
* Das Volumen :math:`V = \unit[75,0]{cm^3}` an Wasser, das aus dem Überlaufgefäß
heraus fließt, entspricht dem Volumen des Holz-Blei-Klotzes.
Das Bleistück mit der Masse :math:`m_{\mathrm{Pb}} = \unit[400]{g}` und der
Dichte :math:`\rho_{\mathrm{Pb}} = \unit[11,3]{g/cm^3}` hat alleine folgendes
Volumen:
.. math::
V_{\mathrm{Pb}} = \frac{m_{\mathrm{Pb}}}{V_{\mathrm{Pb}}} =
\frac{\unit[400]{g}}{\unit[11,3]{\frac{g}{cm^3} }} = \unit[35,4]{cm^3}
Das restliche Volumen :math:`V - V_{\mathrm{Pb}} = \unit[75,0]{cm^3} -
\unit[35,4]{cm^3} = \unit[39,6]{cm^3}` entspricht somit dem Volumen :math:`V
_{\mathrm{Holz}}` des Holzstücks. Da die Masse :math:`m_{\mathrm{Holz}} =
\unit[27,5]{g}` des Holzstücks ebenfalls bekannt ist, kann seine Dichte durch
Einsetzen der Werte in die Dichte-Formel berechnet werden:
.. math::
\rho_{\mathrm{Holz}} = \frac{m_{\mathrm{Holz}}}{V_{\mathrm{Holz}}} =
\frac{\unit[27,5]{g}}{\unit[39,6]{cm^3}} \approx \unit[0,69]{\frac{g}{cm^3} }
Bei der Holzprobe könnte es sich nach Tabelle :ref:`Dichte einiger
Festkörper <tab-dichte-beispiele-festkoerper>` somit um Buche handeln.
:ref:`Zurück zur Aufgabe <kdi05>`
----
.. _kdi06l:
* Das Volumen des Drahts (:math:`r = \unit[1,00]{mm} = \unit[0,10]{cm}`;
:math:`l = \unit[100]{m} = \unit[10\,000]{cm}`) kann mit Hilfe der
Volumen-Formel für zylindrische Körper berechnet werden:
.. math::
V_{\mathrm{Draht}} = \pi \cdot r^2 \cdot l = \pi \cdot \unit[0,01]{cm^2} \cdot
\unit[10\,000]{cm} \approx \unit[314]{cm^3}
Die Masse des Kupferdrahts :math:`m_{\mathrm{Draht}} = V_{\mathrm{Draht}} \cdot
\rho_{\mathrm{Cu}} = \unit[314]{cm^3} \cdot \unit[8,9]{\frac{g}{cm^3}} =
\unit[2795]{g}` beträgt somit rund :math:`\unit[2,8]{kg}`.
:ref:`Zurück zur Aufgabe <kdi06>`
----
.. _kdi07l:
* Die Masse des Schnees ist gleich dem Produkt aus seinem Volumen und seiner
Dichte:
.. math::
m = \rho \cdot V = \unit[200]{\frac{kg}{m^3}} \cdot (\unit[3,00]{m} \cdot
\unit[2,00]{m} \cdot \unit[0,25]{m}) = \unit[300]{kg}
Die Schneelast hat somit eine Masse von :math:`\unit[300]{kg}`.
:ref:`Zurück zur Aufgabe <kdi07>`
----
.. foo
.. only:: html
:ref:`Zurück zum Skript <Körpereigenschaften>`