.. _Lösungen Kraftwandler und Getriebe: Kraftwandler und Getriebe ========================= .. _Lösungen Hebel: Hebel ----- Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Hebel `. ---- .. _kgh01l: * Das Funktionsprinzip einer Balkenwaage beruht darauf, eine unbekannte Masse mit einer oder mehreren Massen bekannter Größe zu vergleichen. Da die Masse überall den gleichen Wert hat und die Gewichtskraft der unbekannten Masse in gleichem Maß vom Ort abhängt wie die der Vergleichs-Masse(n), funktioniert eine Balkenwaage an jeder beliebigen Stelle, also auch auf dem Mond. Bei einer Federkraftwaage wird die Gewichtskraft einer unbekannten Masse mit der (bekannten) Spannkraft der Feder verglichen. Da auf dem Mond die Gewichtskraft der unbekannten Masse geringer ist, die Spannkraft der Feder jedoch gleich bleibt, zeigt eine Federkraftwaage auf dem Mond einen "falschen" Wert an -- die Skala müsste neu kalibriert werden. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _kgh02l: * Beim Öffnen einer Farbdose dient ein Schraubenzieher als Hebel. Die Länge des Kraftarms ist gleich der Strecke zwischen der Drehachse und dem Griff des Schraubenziehers. Die Länge des Lastarms ist gleich der Strecke zwischen der Drehachse und der Spitze des Schraubenziehers. Umso länger der Kraftarm im Vergleich zum Lastarm ist, desto weniger Kraft ist nötig, um den Deckel zu heben. *Beispiel:* Wenn der Abstand zwischen dem Dosenrand (der Drehachse) und Spitze des Schraubenziehers :math:`s_2 = \unit[0,01]{cm}` und der Abstand zum Griff :math:`s_1 = \unit[0,16]{m}` beträgt, dann bewirkt eine Kraft :math:`F_1 = \unit[5]{N}` am Griff eine Kraft von :math:`F_2 = \frac{s_1}{s_2} \cdot F_1 = 16 \cdot \unit[5]{N} = \unit[80]{N}`. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _kgh03l: * Damit die Balkenwaage als zweiseitiger Hebel im Gleichgewicht ist, müssen die auf der linken und auf der rechten Seite wirkenden Drehmomente :math:`M_1 = s_1 \cdot F_1` und :math:`M_2 = s_2 \cdot F_2` gleich groß sein: .. math:: M_1 &= M_2 \\[4pt] s_1 \cdot F_1 &= s_2 \cdot F_2 Diese Gleichung kann nach der gesuchten Größe :math:`s_2` aufgelöst werden: .. math:: s_1 \cdot F_1 = s_2 \cdot F_2 \quad \Longleftrightarrow \quad s_2 = \frac{s_1 \cdot F_1 }{F_2 } Die beiden wirkenden Kräfte :math:`F_1` und :math:`F_2` entsprechen jeweils den Gewichtskräften :math:`F_{\mathrm{G}} = m \cdot g` der beiden an der Balkenwaage hängenden Lasten. Eingesetzt ergibt sich mit :math:`m_1 = \unit[2]{kg} ,\; m_2 = \unit[500]{g} = \unit[0,5]{kg}` und :math:`s_1 = \unit[10]{cm} = \unit[0,1]{m}`: .. math:: s_2 = \frac{s_1 \cdot F_1}{F_2} = \frac{ \unit[0,1]{m} \cdot \unit[2]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}} \cdot }{\unit[0,5]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}} } = \unit[0,4]{m} = \unit[40]{cm} Die zweite Last, deren Masse nur ein Viertel der ersten Last beträgt, muss somit vier mal so weit entfernt von der Drehachse aufgehängt werden, damit die Balkenwaage im Gleichgewicht ist. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _kgh04l: * Beim Unterarm handelt es sich um einen einseitigen Hebel. Das in der Hand im Abstand :math:`s_2 = \unit[0,35]{m}` vom Ellenbogen gehaltene Gewicht hat eine Gewichtskraft von :math:`F_2 = m \cdot g = \unit[2,00]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}} = \unit[19,62]{N}`. Das vom Gewicht bewirkte Drehmoment :math:`M_2 = F_2 \cdot s_2` muss durch die im Abstand :math:`s_1 = \unit[0,05]{m}` wirkende Kraft :math:`F_1` des Muskels ausgeglichen werden. Da alle Kräfte senkrecht auf den Unterarm einwirken, muss gelten: .. math:: M_1 = M_2 \quad \Leftrightarrow \quad F_1 \cdot s_1 &= F_2 \cdot s_2 \\[6pt] \Rightarrow F_1 = \frac{F_2 \cdot s_2}{s_1} = \unit[19,6]{N} \cdot \frac{\unit[0,35]{m}}{\unit[0,05]{m}} \approx \unit[137]{N} Der Muskel muss mit :math:`F_1 \approx \unit[137]{N}` somit eine sieben mal grössere Kraft aufbringen, als wenn das gleiche Gewicht bei vertikal gehaltenem Unterarm getragen würde. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _kgh05l: * Damit sich der Hebel im Gleichgewicht befindet, muss die Summe der Drehmomente auf der linken Seite gleich der Summe der Drehmomente auf der rechten Seite des Hebels sein. Dies kann überprüft werden, indem man die jeweiligen Werte in die Drehmoment-Gleichung einsetzt und die erhaltenen Werte der Drehmomente miteinander vergleicht: .. math:: M_{\mathrm{links}} = F_1 \cdot s_1 + F_2 \cdot s_2 = \unit[3,5]{N} \cdot \unit[0,2]{m} + \unit[5]{N} \cdot \unit[0,1]{m} = \unit[1,2]{N \cdot m} \\[4pt] M_{\mathrm{rechts}} = F_3 \cdot s_3 + F_4 \cdot s_4 = \unit[1,5]{N} \cdot \unit[0,6]{m} + \unit[4]{N} \cdot \unit[0,075]{m} = \unit[1,2]{N \cdot m} Die Drehmomente auf der linken und auf der rechten Seite sind gleich groß, der Hebel befindet sich somit im Gleichgewicht. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _Lösungen Schiefe Ebenen: Schiefe Ebene ------------- Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Schiefe Ebene `. ---- .. _kgs01l: * Entlang einer schiefen Ebene gilt als Kraftverhältnis: .. :eq:`eqn-schiefe-ebene`: .. math:: \frac{F}{F_{\mathrm{G}}} = \frac{h}{l} Die Höhe :math:`h=\unit[0,4]{m}` der schiefen Ebene sowie ihre Länge :math:`l= \unit[2,4]{m}` sind gegeben, auch die Gewichtskraft :math:`F _{\mathrm{G}}=\unit[600]{N}` der Schubkarre ist bekannt. Löst man die obige Gleichung nach der Kraft :math:`F` auf, so erhält man nach Einsetzen der gegeben Werte die gesuchte Kraft. .. math:: F = \frac{F_{\mathrm{G}} \cdot h}{l} = \frac{\unit[600]{N} \cdot \unit[0,6]{m}}{\unit[2,4]{m}} = \unit[150]{N} Die zum Schieben der Schubkarre nötige Kraft beträgt somit :math:`\unit[150]{N}`. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _Lösungen Flaschenzüge und Rollen: Flaschenzüge und Rollen ----------------------- Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Flaschenzüge und Rollen `. ---- .. _kgf01l: * Bei einem Flaschenzug mit :math:`4` losen Rollen wird die Last gleichmäßig auf :math:`n = 8` Seilstücke verteilt. Die nötige Zugkraft :math:`F_{\mathrm{Zug}}` am losen Seilende beträgt, von Reibungskräften abgesehen, folglich auch nur :math:`1/8` der Gewichtskraft :math:`F_{\mathrm{G}} = m \cdot g` der Last. Zur Masse :math:`m = \unit[200]{kg}` der Last muss allerdings die Masse :math:`m = \unit[4 \cdot 5]{kg}` der losen Rollen hinzu addiert werden, da diese ebenfalls mit angehoben werden. .. math:: F_{\mathrm{Zug}} = \frac{F_{\mathrm{G}}}{n} = \frac{m \cdot g}{n} = \frac{\unit[220]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg} }}{8} = \unit[269,8]{N} Anstelle :math:`F_{\mathrm{G}} = \unit[200]{kg} \cdot \unit[9,81]{N/kg } = \unit[1962]{N}` muss somit nur etwas mehr als ein Achtel des Kraftwertes, also :math:`\unit[269,8]{N}`, aufgewendet werden. Gleichzeitig muss das Seil um die :math:`8`-fache Weglänge, also um :math:`8 \cdot \unit[3]{m} = \unit[24]{m}`, angehoben werden. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _kgf02l: * Bei einem Flaschenzug mit :math:`2` losen Rollen wird die Last gleichmäßig auf :math:`n=4` tragende Seilstücke verteilt. Die Zugkraft :math:`F _{\mathrm{Zug}} = m_{\mathrm{Person}} \cdot g` am losen Seilende kann entsprechend, wenn keine Reibungskräfte auftreten und das Gewicht des Flaschenzugs vernachlässigbar ist, auch eine :math:`4`-fach höhere Last :math:`F_{\mathrm{L}} = m_{\mathrm{Last}} \cdot g` anheben. .. math:: F_{\mathrm{Zug}} = \frac{F_{\mathrm{Last}}}{n} \quad &\Longleftrightarrow \quad F_{\mathrm{Last}} = n \cdot F_{\mathrm{Zug}} \\[8pt] m_{\mathrm{Last}} \cdot g &= n \cdot m_{\mathrm{Person}} \cdot g \\[6pt] m_{\mathrm{Last}} = n \cdot m_{\mathrm{Person}} &= 4 \cdot \unit[50]{kg} = \unit[200]{kg} Eine :math:`\unit[50]{kg}` schwere Person kann somit mit Hilfe des Flaschenzugs eine Last mit einer Masse von maximal :math:`\unit[200]{kg}` anheben. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _kgf03l: * Bei einem Potenzflaschenzug wird die zum Anheben der Last nötige Kraft an jeder losen Rolle halbiert. Bei :math:`n=3` Rollen ist -- sofern man ihr Eigengewicht und die Reibung vernachlässigen kann -- zum Anheben einer Last mit einem Gewicht von :math:`F_{\mathrm{G}} = \unit[800]{kg}` somit nur folgende Kraft :math:`F` nötig: .. math:: F = \frac{1}{2^n} \cdot F_{\mathrm{G}} = \frac{1}{2^3} \cdot \unit[800]{N} = \frac{1}{8} \cdot \unit[800]{N} = \unit[100]{N} Die zum Anheben nötige Kraft beträgt also mindestens :math:`F=\unit[100]{N}`. Berücksichtigt man das Eigengewicht :math:`F_{\mathrm{G,R}} = \unit[20]{N}` der einzelnen Rollen, so muss dieser Betrag an jeder losen Rolle zur jeweiligen Last hinzuaddiert werden. .. figure:: ../../pics/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/potenzflaschenzug-loesung.png :name: fig-potenzflaschenzug-loesung :alt: fig-potenzflaschenzug-loesung :align: center :width: 33% Anheben eines Gewichts mit Hilfe eines Potenzflaschenzugs. .. only:: html :download:`SVG: Potenzflaschenzug (Lösung) <../../pics/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/potenzflaschenzug-loesung.svg>` Zum Anheben der Last ist in diesem Fall, wie in der obigen Abbildung gezeigt, eine Kraft von :math:`F = \unit[117,5]{N}` nötig. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _Lösungen Zahnräder und Getriebe: Zahnräder und Getriebe ---------------------- Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Zahnräder und Getriebe `. ---- .. _kgz01l: * Die Kurbel und das vordere Zahnrad sind fest miteinander verbunden, ebenso das hintere Zahnrad und die Felge des Hinterrads. In diesen beiden Teile-Kombinationen sind die wirkende Drehmomente jeweils gleich. Somit kann als zunächst die Kraft :math:`F_2` berechnet werden, die das vordere Zahnrad auf die Kette ausübt. Für das Drehmoment, das der Fahrer auf die Kurbel ausübt, gilt: .. math:: M_1 = F_1 \cdot r_1 = \unit[50]{N} \cdot \unit[0,2]{m} = \unit[10]{Nm} Das gleiche Drehmoment tritt auch im vorderen Zahnrad auf; da es jedoch einen kleineren Radius :math:`r_2` als die Kurbel hat, muss die auf die Kette wirkende Kraft :math:`F_2` entsprechend größer sein: .. math:: M_1 = M_2 \quad \Leftrightarrow \quad F_1 \cdot r_1 = F_2 \cdot r_2 \\[6pt] \Rightarrow F_2 = \frac{r_1}{r_2} \cdot F_1 = \frac{\unit[0,2]{m}}{\unit[0,1]{m}} \cdot \unit[50]{N} = \unit[100]{N} Auf die Kette wird somit eine Zugkraft von :math:`F_2 = \unit[100]{N}` ausgeübt. Die Kette überträgt diese Kraft auf das hintere Zahnrad, so dass an diesem eine gleich große Kraft :math:`F_3 = F_2` angreift. Für das Drehmoment :math:`M_3` am hinteren Zahnrad gilt somit: .. math:: M_3 = F_3 \cdot r_3 = \unit[100]{N} \cdot \unit[0,05]{m} = \unit[5]{Nm} Das gleiche Drehmoment wirkt wegen der starren Verbindung mit dem hinteren Zahnrad auch in der Felge; da diese jedoch einen größeren Radius :math:`r_4` hat, ist die zugehörige Kraft :math:`F_4` am Umfang entsprechend geringer: .. math:: M_3 = M_4 \quad \Leftrightarrow \quad F_3 \cdot r_3 = F_4 \cdot r_4 \\[6pt] \Rightarrow F_4 = \frac{r_3}{r_4} \cdot F_3 = \frac{\unit[0,05]{m}}{\unit[0,35]{m}} \cdot \unit[100]{N} \approx \unit[14,3]{N} Die auf die Pedale einwirkende Kraft von :math:`F_1 = \unit[50]{N}` beschleunigt somit die Felge mit :math:`F \approx \unit[14,3]{N}` beziehungsweise kann -- beispielsweise mittels Bremsbacken -- durch eine solche an der Felge angreifende Kraft ausgeglichen werden. Schaltet man bei gleicher Tretkraft :math:`F_1` vorne auf ein kleines Zahnrad :math:`(r_2 = \unit[5]{cm})` herunter, so muss die dort wirkende Kraft :math:`F_2` wegen des nur halb so großen Radius doppelt so groß sein, um ein gleiches Drehmoment zu bewirken. Die Auf die Kette wirkende Kraft ist also mit :math:`F_2 = \unit[200]{N}` doppelt so groß. Am hinteren Rad bleibt alles unverändert, so dass die Kette dort ein doppelt so großes Drehmoment bewirkt und folglich auch die Kraft auf die Felge doppelt so groß wird, also :math:`F_4 \approx \unit[28,6]{N}` gilt. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` .. raw:: latex \rule{\linewidth}{0.5pt} .. raw:: html
.. only:: html :ref:`Zurück zum Skript `