.. _Lösungen zur Optik: Lösungen zur Optik ================== .. _Lösungen Ausbreitung des Lichts: Ausbreitung des Lichts ---------------------- Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Ausbreitung des Lichts `. ---- .. _oau01l: * Licht breitet sich von der Sonne geradlinig in alle Richtungen unseres Sonnensystems aus. Nur der schmale Lichtkegel, der dabei auf die Erde trifft, wird von uns direkt wahrgenommen. Zusätzlich können wir das Sonnenlicht wahrnehmen, wenn es auf andere Himmelskörper (vor allem Planeten und Kometen) trifft. Da das übrige Sonnenlicht unser Auge nicht erreicht, erscheint uns das restliche Weltall als dunkel. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _oau02l: * Die Zeit, die Licht zum Durchqueren eines Zimmers benötigt, beträgt weniger als :math:`\unit[\frac{1}{10\,000\,000}]{s}`. Zwar wird Licht beim Durchqueren von verschiedenen "optisch dichten" Stoffen (beispielsweise Wasser) etwas abgebremst, doch ist es stets so schnell, dass es für eine konstante Beleuchtung ständig von einer Lichtquelle neu erzeugt werden muss. Das "Einfangen" von winzigen Lichtmengen in einem lichtundurchlässigen Behältnis ist zwar möglich, doch können wir es dann nicht sehen -- dafür müsste das Licht ja aus dem Behältnis entweichen und in unsere Augen gelangen.. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _Lösungen Reflexion von Licht: Reflexion von Licht ------------------- Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Reflexion von Licht `. ---- .. _ore01l: * Nur diejenigen Stoffe, die eine *glatte* Oberfläche besitzen, können Licht direkt reflektieren -- beispielsweise Diamant, Fensterglas, Flüssigkeiten, Metalle und Kunststoffe (geschliffen und poliert), Salz, Zucker, Wasser, Schnee und Eis, Hochglanzpapier, etc. Stoffe mit *rauhen* Oberflächen können Licht diffus, d.h. in alle Richtungen streuend, reflektieren. Das reflektierte Licht erscheint dann als "matt", d.h. es treten keine Glanzstellen auf. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _ore02l: * Das Licht, das von Sternen zur Erde gelangt, trifft auf seinem Weg durch das Weltall auf kein Hindernis; es breitet sich daher geradlinig und "verlustfrei" über beliebig lange Strecken aus. Nachts können wir, wenn der Himmel nicht zu bewölkt oder neblig ist, dieses Licht daher auch auf der Erde beobachten. Die besten Beobachtungen können allerdings von Satelliten aus gemacht werden, denn entlang des Weges durch die Atmosphäre trifft einfallende Licht auf kleine Wasser-Tröpfchen und wird von diesen aus gleichmäßig in alle Richtungen reflektiert ("gestreut"). Diese Streuung findet vor allem in den erdnahen Atmosphären-Schichten statt, da dort eine höhere Gas- und Feuchtigkeitsdichte vorherrscht. Aus dem gleichen Grund können wir auch Lichtquellen auf der Erde nur bedingt weit sehen; bei nebligem Wetter wird die Sichtweite nochmals erheblich verkürzt. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _Lösungen Lichtbrechung: Lichtbrechung ------------- Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Lichtbrechung `. ---- .. _obr01l: * Die Lichtgeschwindigkeit :math:`c` in dem optischen Medium lässt sich berechnen, indem man die Lichtgeschwindigkeit :math:`c_0 = \unit[3,0 \cdot 10^8]{m/s}` im Vakuum durch die Brechzahl :math:`n=1,48` des optischen Mediums teilt: .. math:: c = \frac{c_0}{n} = \frac{\unit[3,0 \cdot 10^8]{m/s}}{1,48} \approx \unit[2,03 \cdot 10^8]{m/s} Die Lichtgeschwindigkeit in dem optischen Medium beträgt somit rund :math:`\unit[2,03 \cdot 10^8]{m/s}`. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _obr02l: * Die (absolute) Brechzahl :math:`n` des optischen Mediums lässt sich mittels der angegebenen Lichtgeschwindigkeit :math:`c=\unit[2,29 \cdot 10^8]{m/s}` berechnen, indem das Verhältnis aus der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und der Lichtgeschwindigkeit im Medium gebildet wird: .. math:: n = \frac{c_0}{c} = \frac{\unit[3,0 \cdot 10^8]{m/s}}{\unit[2,29 \cdot 10^8]{m/s}} = 1,31 Die Brechzahl des optischen Mediums beträgt somit :math:`n=1,31`. (Ein Vergleich mit tabellarischen Werten lässt vermuten, dass es sich bei dem Medium um Eis handelt.) :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _obr03l: * Trifft ein Lichtstrahl von einem optisch dünnen Medium (Luft, :math:`n_1=1`) auf ein optisch dichteres Medium (beispielsweise Glycerin, :math:`n_2 = 1,45`), so wird er zur Senkrechten hin gebrochen. Als Zusammenhang zwischen den Winkeln des einfallenden und gebrochenen Strahls gilt folgende Formel: .. math:: \frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}} = \frac{n_2}{n_1} Im gegebenen Fall ist :math:`\alpha = 30\degree` und :math:`n_1 = 1`, gesucht ist der Winkel :math:`\beta`. Löst man die Formel nach der gesuchten Größe auf, so folgt: .. math:: \beta = \text{asin}\left( \frac{\sin{\alpha}}{n_2} \right) = \text{asin} \left( \frac{\sin{(30 \degree)}}{1,45}\right) \approx 20,2\degree Der Winkel des gebrochenen Strahls beträgt etwa :math:`20,2\degree`. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _obr04l: * Die relative Brechzahl :math:`\frac{n_2}{n_1}` für den Übergang eines Lichtsrahls von Medium 1 (Quarzglas, :math:`n_1 = 1,46`) in Medium 2 (Flintglas, :math:`n_2 = 1,70`) lässt sich als Quotient der Brechzahlen beider Medien berechnen: .. math:: \frac{n_2}{n_1} = \frac{1,70}{1,46} \approx 1,16 Die Lichtbrechung erfolgt so, als würde ein sich zunächst in Luft ausbreitender Lichtstrahl auf ein optisches Medium mit einer Brechzahl von :math:`1,16` treffen: Der Lichtstrahl wird zur Senkrechten hin gebrochen, der Sinus des Brechungswinkels :math:`\beta` ist um das :math:`1,16`-fache kleiner als der Sinus des Einfallswinkels :math:`\alpha`. Ist der Einfallswinkel :math:`\alpha = 20 \degree`, so beträgt der Brechungswinkel :math:`\beta` folglich: .. math:: \sin{\beta} &= \frac{\sin{(\alpha)} \cdot n_1}{n_2} \quad \Leftrightarrow \quad \beta = \text{asin}\left( \frac{\sin{(\alpha)} \cdot n_1}{n_2} \right) \\[4pt] \beta &= \text{asin}\left( \frac{\sin{(20 \degree)}}{1,16}\right) \approx 17\degree Der Winkel :math:`\beta` des gebrochenen Lichtstrahls beträgt somit rund :math:`17\degree`. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _obr05l: * Da der im Winkel :math:`\alpha_1= 50,0\degree` einfallende Lichtstrahl an der Grenzfläche zur Senkrechten hin gebrochen wird (:math:`\beta = 30,9`), muss für die Brechzahlen beider Medien :math:`n_2 > n_1` gelten. Mit :math:`n_1 = 1` folgt aus dem Brechungsgesetz: .. math:: n_2 = \frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}} \cdot n_1 = \frac{\sin{50,0}}{\sin{30,9\degree}} \cdot 1 \approx 1,49 Beim zweiten Übergang :math:`(\alpha_2 = 30,9\degree,\, \beta_2 = 33,6\degree)` wird der Lichtstrahl von der Senkrechten weg gebrochen, folglich muss :math:`n_3 < n_2` gelten. Mit :math:`n_2 \approx 1,49` folgt: .. math:: n_3 = \frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}} \cdot n_2 = \frac{\sin{30,9}}{\sin{33,6\degree}} \cdot 1,49 \approx 1,38 Die Brechzahlen betragen somit näherungsweise :math:`n_1 = 1` (Luft), :math:`n_2 = 1,49` (beispielsweise Plexiglas oder Leinöl) und :math:`n_3 = 1,38` (beispielsweise Wasser mit 1 mol/l Saccharose). :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _obr06l: * Geht ein Lichtstrahl von Diamant :math:`(n_1 = 2,4)` in Luft :math:`(n_2 = 1)` über, so gilt für den Grenzwinkel :math:`\alpha_{\mathrm{max}}`: .. math:: \sin{\alpha_{\mathrm{max}}} &= \frac{n_2}{n_1} \quad \Leftrightarrow \quad \alpha_{\mathrm{max}} = \text{asin}\left( \frac{n_2}{n_1}\right) \\[4pt] \alpha_{\mathrm{max}} &= \text{asin}\left( \frac{1}{2,4}\right) \approx 24,6\degree Der Grenzwinkel :math:`\alpha_{\mathrm{max}}` beim Übergang eines Lichtstrahls von Diamant in Luft beträgt somit rund :math:`24,6\degree`. Trifft ein Lichstrahl mit einem größeren Winkel auf die Grenzfläche, so tritt Totalreflexion ein. Der Lichtstrahl kann den Diamanten (an dieser Stelle) also nicht mehr verlassen, sondern wird anstelle dessen gemäß des Reflexionsgesetzes in den Diamanten zurück reflektiert. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _obr07l: * Die zwei möglichen Fälle, in denen Licht beim Übergang von einem transparenten Medium in ein anderes nicht gebrochen wird, lassen sich gut erkennen, indem man die Gleichung für das Brechungsgesetz folgendermaßen umstellt: .. math:: \frac{n_1}{n_2} = \frac{\sin{\alpha} }{\sin{\beta}} \quad \Leftrightarrow \quad n_2 \cdot \sin{\alpha} = n_1 \cdot \sin{\beta} Soll keine Lichtbrechung stattfinden, so muss :math:`\alpha = \beta` gelten. Dies ist einerseits der Fall, wenn :math:`n_1 = n_2` gilt, also die Brechungsindizes der beiden Medien gleich sind. Andererseits gilt auch :math:`\alpha = 0 \degree \rightarrow \beta = 0\degree` und damit :math:`\alpha = \beta`, wenn der eintretende Lichtstrahl senkrecht zur Oberfläche der Grenzschicht verläuft. In allen anderen Fällen tritt Lichtbrechung auf. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _Lösungen Linsensystemen: Linsensysteme ------------- Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Linsensysteme `. ---- .. _oli01l: * Die Brechkraft :math:`D` einer Sammellinse mit einer Brennweite von :math:`f = \unit[150]{mm} = \unit[0,150]{m}` beträgt: .. math:: D = \frac{1}{f} = \frac{1}{\unit[0,150]{m}} = \unit[6,67]{dpt} Die Linse hat also eine Brechkraft von rund :math:`\unit[6,67]{dpt}`. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _oli02l: * Die Brennweite :math:`f` einer Zerstreuungslinse mit einer Brechkraft von :math:`D = \unit[-4,0]{dpt}` lässt sich folgendermaßen berechnen: .. math:: D = \frac{1}{f} \quad \Leftrightarrow \quad f = \frac{1}{D} .. math:: D = \frac{1}{f} = \frac{1}{\unit[-4]{dpt}} = \frac{1}{\unit[-4]{\frac{1}{m}}} = \unit[-0,25]{m} Die Brennweite der Zerstreuungslinse beträgt also rund :math:`\unit[-25]{cm}`. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _oli03l: * Die Brennweite :math:`f_{\mathrm{ges}}` des Linsensystems erhält man, indem man die Kehrwerte der Brennweiten beider Linsen addiert und anschließend den Kehrwert von diesem Ergebnis bildet. Mit :math:`f_1 = \unit[50]{mm} = \unit[0,050]{m}` und :math:`f_2 = \unit[75]{mm}= \unit[0,075]{m}` folgt: .. math:: \frac{1}{f_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} \quad \Leftrightarrow \quad f_{\mathrm{ges}} = \frac{1}{\left( \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}\right)} .. math:: f_{\mathrm{ges}} = \frac{1}{\frac{1}{\unit[0,050]{m}} + \frac{1}{\unit[0,075]{m}}} = \unit[0,03]{m} Die Brennweite des Linsensystems beträgt somit insgesamt :math:`\unit[30]{mm}`. Das gleiche Ergebnis kann man erhalten, indem man zunächst beide Brennweiten mittels der Formel :math:`D = \frac{1}{f}` in Dioptrien umrechnet, die Dioptrienzahlen addiert, und von der Gesamt-Dioptrienzahl wiederum auf die zugehörige Brennweite umrechnet: .. math:: D_1 &= \frac{1}{f_1} = \frac{1}{\unit[0,050]{m}} = \unit[20,0]{dpt} \\ D_2 &= \frac{1}{f_2} = \frac{1}{\unit[0,075]{m}} = \unit[13,3]{dpt} \\ D_{\mathrm{ges}} &= D_1 + D_2 = \unit[20,0]{dpt} + \unit[13,3]{dpt} = \unit[33,3]{dpt} \\ f_{\mathrm{ges}} &= \frac{1}{D_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{\unit[33,3]{dpt}} = \frac{1}{\unit[33,3]{\frac{1}{m}}} = \unit[0,03]{m} Auch mit diesem Rechenweg erhält man eine Gesamt-Brennweite von :math:`\unit[30]{mm}`. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _oli04l: * Um die Entfernung :math:`b` des Bildes von der Linse zu berechnen, muss man die gegebenen Größen :math:`D = \frac{1}{f} = \unit[5,0]{dpt} = \frac{5,0}{\unit{\frac{1}{m}}}` und :math:`g = \unit[60]{cm} = \unit[0,6]{m}` in die Linsengleichung einsetzen: .. math:: \frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{g} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{b} = \frac{1}{f} - \frac{1}{g} = D - \frac{1}{g} .. math:: b = \frac{1}{D - \frac{1}{g}} = \frac{1}{\unit[5]{\frac{1}{m}} - \frac{1}{\unit[0,6]{m}}} = \frac{1}{\unit[3,33]{\frac{1}{m}}} = \unit[0,3]{m} Das Bild befindet sich also im Abstand von :math:`\unit[30]{cm}` hinter der Linse. Für den Abbildungsmaßstab :math:`\tilde{\beta}` folgt somit: .. math:: \tilde{\beta} = \frac{b}{g} = \frac{\unit[0,3]{m}}{\unit[0,6]{m}} = \frac{1}{2} Der Gegenstand wird durch die Linse somit um die Hälfte verkleinert abgebildet. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _oli05l: * Wenn die Brechkraft einer Zerstreuungslinse :math:`D = \unit[-8,0]{dpt}` beträgt, so entspricht dies einer Brennweite von :math:`f = \frac{1}{D} = \frac{1}{\unit[-8]{dpt}} = \unit[0,125]{m}`. Setzt man diese Größe sowie die Entfernung :math:`g=\unit[9,0]{cm} = \unit[0,090]{m}` des Gegenstands von der Linse in die Linsengleichung ein, so erhält man: .. math:: \frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{g} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{b} = \frac{1}{f} - \frac{1}{g} .. math:: b = \frac{1}{\left(\frac{1}{f} - \frac{1}{g}\right)} = \frac{1}{\left( \frac{1}{\unit[-0,125]{m}} - \frac{1}{\unit[0,090]{m}}\right)} = \unit[-0,052]{m} Das Bild des Gegenstands befindet sich somit in einem Abstand von :math:`\unit[5,2]{cm}` vor (!) der Zerstreuungslinse. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. _Lösungen Optische Geräte: Optische Geräte --------------- Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Optische Geräte `. ---- .. _oge01l: * Die Vergrößerung :math:`V` des Kepler-Fernrohrs entspricht dem Verhältnis der Brennweiten :math:`f_{\mathrm{Obj}} = \unit[0,32]{m}` des Objektivs und :math:`f_{\mathrm{Ok}} = \unit[0,04]{m}` des Okulars: .. math:: V = \frac{f_{\mathrm{Obj}}}{f_{\mathrm{Ok}}} = \frac{\unit[0,32]{m}}{\unit[0,04]{m}} = 8 Das Kepler-Fernrohr hat somit eine :math:`8`-fache Vergrößerung. :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- .. foo .. only:: html :ref:`Zurück zum Skript `