Eigenschaften von Schall¶

Als „Schall“ bezeichnen wir alle Klänge, Geräusche usw. die Menschen und/oder Tiere mit ihrem Gehör wahrnehmen können. Damit Schall entstehen kann, muss ein mechanischer Körper in einen entsprechenden Schwingungszustand gebracht werden.

Schallquellen und Ausbreitung von Schall¶

Als Schallquelle wird ein Körper bezeichnet, der durch mechanische Schwingung Schall erzeugt. Dabei handelt es sich meist um einen elastischen Festkörper, doch auch Flüssigkeiten und Gase können als Schallquellen auftreten.

Beispiele:

Saiteninstrumente (beispielsweise Gitarren oder Violinen), gespannte Gummis (beispielsweise von Trommeln) und ähnliche elastische Festkörper erzeugen beim Anzupfen oder Anschlagen verschiedenartige Töne und Geräusche.
Bewegte Flüssigkeiten verursachen Strömungsgeräusche („Plätschern“, „Rauschen“, usw).
In Blasinstrumenten (beispielsweise Flöten) kann die darin enthaltene Luftmenge durch Anblasen in Schwingung versetzt werden. Hierdurch entstehen Klänge, die charakteristisch sind für die Größe, die Form und das Material des Instruments.

Bei einem Schallempfänger handelt es sich ebenfalls um einen elastischen Körper, der zu mechanischen Schwingungen angeregt werden kann und dabei die empfangenen Schallwellen in biologische oder elektrische Signale umsetzt.

Schallquelle und Schallausbreitung am Beispiel eines Weckers.

SVG: Schallquelle

Schall braucht stets eine stoffliche Substanz (akustisches „Medium“), um sich ausbreiten zu können. In einem Raum ohne Materie („Vakuum“) ist keine Schallausbreitung möglich.

Die Schallgeschwindigkeit

Bei der Schallausbreitung gehen mechanische Wellen kreisförmig von einer Schallquelle aus. Aus mikroskopischer Sichtweise werden dabei die Schwingungen der einzelnen Teilchen der Schallquelle durch Stoßvorgänge auf benachbarte Teilchen des akustischen Mediums übertragen. Auch innerhalb eines akustischen Mediums werden die Schwingungen der Teilchen durch Stoßvorgänge an benachbarte Teilchen weitergegeben.

Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Materialien.¶
Material	Schallgeschwindigkeit in $\unit[]{\frac{m}{s}}$
Gummi	$150$
Luft (bei $\unit[0]{\degree C}$ )	$332$
Kork	$500$
Wasser	$1\,450$
Hartgummi	$1\,570$
Eis	$3\,250$
Holz (Buche)	$3\,300$
Holz (Eiche)	$3\,800$
Aluminium	$5\,100$
Stahl	$5\,920$
Marmor	$6\,100$
Diamant	$18\,000$

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Schwingungszustände und damit auch der Schallwellen ist allgemein umso höher, je größer die Steifigkeit des Schall übertragenden Materials ist.[1]

Die Schallfrequenz

Je höher die Frequenz ist, mit der eine Schallquelle schwingt, desto höher klingt der Ton, den sie erzeugt. Für Menschen hörbare Frequenzen liegen dabei in einem Frequenzbereich von etwa $\unit[15]{Hz}$ bis $\unit[20]{kHz}$ . Die obere Grenze („Hörschwelle“) nimmt allerdings mit zunehmendem Alter deutlich ab, d.h. ältere Menschen können hohe Töne deutlich schlechter hören, teilweise sogar überhaupt nicht mehr.

Der Frequenzbereich bis $\unit[15]{Hz}$ wird als Infraschall, der Bereich von etwa $\unit[20]{kHz}$ bis $\unit[10]{GHz}$ als Ultraschall bezeichnet. Viele Tierarten verständigen sich im Ultraschallbereich, beispielsweise Nachtfalter, Fledermäuse und Delfine (bei Frequenzen von $\unit[100 \text{ bis } 200]{kHz}$ ).

Technisch wird Ultraschall in vielerlei Anwendungen genutzt, beispielsweise in Entfernungsmessern und Bewegungsmeldern. In der Medizin lassen sich mittels Ultraschall schwacher Intensität Gewebeuntersuchungen durchführen; mit Ultraschall hoher Intensität können auch Geräte gereinigt sowie mineralische Ablagerungen im Körper (insbesondere Zahnstein, Blasen- und Nierensteine) zertrümmert werden.

Die Länge von Schallwellen

Mit kurzen Schritten und einer hohen Schrittfrequenz kann man sich genauso schnell fortbewegen wie mit langen Schritten und einer niedrigen Schrittfrequenz. Für Schallwellen gilt dieses Prinzip ebenso, denn tiefe wie auch hohe Töne breiten sich gleichermaßen mit der Schallgeschwindigkeit $c$ aus.

Wellenlängen von Schallwellen unterschiedlicher Frequenz.

SVG: Frequenz und Wellenlänge

Mathematisch lässt sich dieser Sachverhalt dadurch beschreiben, dass das Produkt aus der Wellenlänge $\lambda$ des Schalls (Einheit: $\unit[]{m}$ ) und der Schallfrequenz $f$ (Einheit: $\unit[]{\frac{1}{s}}$ ) gleich der Schallgeschwindigkeit $c$ (Einheit: $\unit[]{\frac{m}{s}}$ ) ist:

(1)¶ $c = \lambda \cdot f$

Durch Umstellen der obigen Formel kann unmittelbar die Länge einer Schallwelle bei einer bestimmten Frequenz berechnet werden. Dabei wird genutzt, dass die Schallgeschwindigkeit $c$ eine Konstante ist, deren Wert nur vom Material des akustischen Mediums abhängt (siehe Tabelle Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Materialien). Entsprechend gilt:

$\lambda = \frac{c}{f}$

Je höher die Frequenz einer Schallwelle, desto kürzer ist somit ihre Wellenlänge.

Töne, Klänge und Geräusche¶

Schallwellen lassen sich in folgende drei Arten unterteilen:

Töne:

Als Ton bezeichnet man eine harmonische Schwingung, d.h. eine regelmäßige Sinusschwingung mit fester Frequenz. Verschiedene Töne lassen sich ihrer Frequenz beziehungsweise Tonhöhe nach anordnen. Beispielsweise besteht eine Tonleiter aus acht Tönen (Oktave) mit bestimmten Frequenzverhältnissen, wobei der letzte Ton der Oktave eine genau doppelt so hohe Frequenz besitzt wie der erste Ton der Oktave.

Zur Stimmung von Instrumenten wird häufig der so genannte „Kammerton“ ${\color{white}_{|}}a'$ mit einer Frequenz von $\unit[440]{Hz}$ genutzt.
Klänge:

Ein Klang setzt sich aus mehreren Tönen zusammen. Er entsteht durch Überlagerung verschiedener Frequenzen, die ganzzahlige Vielfache des tiefsten Tons („Grundtons“) sind.

Beispielhafte Klangmuster verschiedener Instrumente.

SVG: Klangmuster verschiedener Instrumenge

Die für jeden Gegenstand und jedes Musikinstrument typischen Vielfachen der Grundtonfrequenz werden „Obertöne“ genannt und sorgen für die charakteristischen „Klangfarben“ verschiedener Instrumente. Beispielsweise klingen eine Violine und ein Klavier deutlich unterschiedlich, auch wenn beide „gestimmt“ sind und auf beiden Instrumenten der gleiche Grundton gespielt wird.[2][3]

Anzumerken ist, dass die Klangmuster der dargestellten Instrumente selbst keinesfalls „regelmäßig“ sind: Alleine bei einen einzelnen gespielten Ton ${\color{white}_{|}}a'$ finden je Sekunde $440$ volle Schwingungsvorgänge statt, von denen jeder einzelne etwas unterschiedlich aussieht.
Geräusche:

Geräusche setzen sich ebenfalls aus mehreren Tönen zusammen; allerdings überwiegen dabei „chaotische“, d.h. nicht periodische Schwingungsmuster. Bei einem ‚Knall‘ ist dies ebenfalls der Fall, mit dem Unterschied, dass die Lautstärke des Geräusches dabei sehr rasch abnimmt.

Schallintensität und Schallpegel¶

Als mechanische Welle überträgt Schall zwar keine Materie, aber Energie. Der Energiefluss je Zeit wird, entsprechend der Definition der mechanischen Leistung, als Schall-Leistung $P_{\mathrm{s}}$ bezeichnet.

Definition:

Die Schallintensität $I_{\mathrm{s}}$ gibt an, wie groß die Schall-Leistung ist, die auf einer Fläche $A$ auftrifft:

$I_{\mathrm{s}} = \frac{P_{\mathrm{s}}}{A}$

Die Schallintensität wird in der Einheit $\frac{W}{m^2}$ angegeben.

Beispiel:

Ein in ein Gehäuse verbauter Lautsprecher sendet eine Schall-Leistung von $P_{\mathrm{s}}=\unit[0,4]{W}$ aus. Wie groß ist die Schallintensität in einer Entfernung von $r=\unit[0,5]{m}$ vom Lautsprecher?

Lautsprecher erzeugen normalerweise kugelförmige Schallwellen. Ist der Lautsprecher in ein Gehäuse verbaut, so kann angenommen werden, dass er nur in die vor ihm liegende Raumhälfte Schall aussendet. Die gesamte Schall-Leistung von $P_{\mathrm{s}}=\unit[0,4]{W}$ verteilt sich also auf immer größer werdende Halbkugel-Flächen.

Da die Oberfläche einer Kugel allgemein $4 \cdot \pi \cdot r^2$ beträgt, entspricht die Oberfläche einer Halbkugel $A=2 \cdot \pi \cdot r^2$ . Für die Schallintensität $I_{\mathrm{s}}$ ergibt sich mit $r=\unit[0,5]{m}$ somit:

$I = \frac{P_{\mathrm{s}}}{A} = \frac{\unit[0,4]{W}}{2 \cdot \pi \cdot \left( \unit[0,5]{m} \right)^2} \approx \unit[0,25]{\frac{W}{m^2}}$

Wie man am obigen Beispiel sehen kann, nimmt die Schallintensität quadratisch mit dem Abstand $r$ von der Schallquelle ab, es ist also $I(r) \propto \frac{1}{r^2}$ .

Die Schall-Leistung $P_{\mathrm{s}}$ , die vom Ohr wahrgenommen wird, kann wiederum mittels der Schallintensität $I = \frac{P_{\mathrm{s}}}{A}$ berechnet werden, indem man diese mit der Fläche $A$ des Gehöreingangs multipliziert; beim menschlichen Ohr beträgt die effektiv wirksame Fläche des Trommelfells etwa $\unit[55]{mm^2} = \unit[55 \cdot 10 ^{-6}]{m^2}$ .

Menschliche Ohren haben folgenden Wahrnehmungsbereich:

Die minimale wahrnehmbare Schall-Leistung wurde bei Tests mit unterschiedlichen Versuchspersonen als $P_{\mathrm{min}} \approx \unit[1 \cdot 10 ^{-12}]{W}$ ermittelt.
Die maximale wahrnehmbare Schall-Leistung beträgt rund $P_{\mathrm{max}} \approx \unit[1]{W}$ ; bei noch größeren Schall-Leistungen können Schmerzen und irreparable Schäden auftreten.

Der große Wahrnehmungsbereich des menschlichen Ohres ( $12$ Größenordnungen!) hat dazu geführt, dass zur Messung der Lautstärke eine logarithmische Skala eingeführt wurde, die nach Alexander Graham Bell benannt ist:

Definition:

Die Lautstärke von Schall kann anhand des so genannten Schall-Leistungs-Pegels gemessen, der folgendermaßen definiert ist:

$L_{\mathrm{W}} = 10 \cdot \log_{10}{\left( \frac{P}{P_{\mathrm{min}}} \right)}$

Der Schall-Leistungs-Pegel hat keine Einheit; dennoch wird der sich ergebende Zahlenwert zur besseren Übersichtlichkeit mit Dezibel $(\unit{dB})$ bezeichnet.

Beispiele:

Welcher Schall-Leistungs-Pegel liegt vor, wenn die vom menschlichen Ohr empfangene Schall-Leistung den Wert $P_{\mathrm{min}} = \unit[10 ^{-12}]{W}$ hat?

Für $P = P_{\mathrm{min}}$ ergibt im Logarithmus der Wert $1$ als Argument. Da man jede Zahl mit $0$ potenzieren muss, um den Wert $1$ zu erhalten, ergibt der Logarithmus für diesen Wert den Wert $0$ . Für die Lautstärke der empfangenen Schall-Leistung $P_{\mathrm{min}}$ gilt somit:

$L_{\mathrm{W}} = 10 \cdot \log_{10}{\left( \frac{P_{\mathrm{min}}}{P_{\mathrm{min}}} \right)} = 10 \cdot \log_{10}{(1)} = 10 \cdot 0 = \unit[0]{dB}$
Welcher Schall-Leistungs-Pegel liegt vor, wenn die vom menschlichen Ohr empfangene Schall-Leistung den Wert $P_{\mathrm{max}} = \unit[1]{W}$ hat?

Für $P = P_{\mathrm{max}}$ ergibt im Logarithmus der Wert $10^{12}$ als Argument. Da man die Zahl $10$ mit $12$ potenzieren muss, um den Wert $10^{12}$ zu erhalten, ergibt der Logarithmus für diesen Wert den Wert $12$ . Für die Lautstärke der empfangenen Schall-Leistung $P_{\mathrm{max}}$ gilt somit:

$L_{\mathrm{W}} = 10 \cdot \log_{10}{\left( \frac{P_{\mathrm{max}}}{P_{\mathrm{min}}} \right)} = 10 \cdot \log_{10}{(10^{12})} = 10 \cdot 12 = \unit[120]{dB}$
Welcher Schall-Leistungs-Pegel wirkt auf ein menschliches Ohr, wenn es Schall von einem Lautsprecher mit einer Schall-Leistung von $P_{\mathrm{s}}=\unit[0,4]{W}$ in einer Entfernung von $r=\unit[0,5]{m}$ wahrnimmt?

Wie im obigen Beispiel gezeigt, hat die Schallintensität im Abstand von $\unit[0,5]{m}$ den Wert $I = \unit[0,25]{\frac{W}{m^2}}$ . Auf die Fläche $A=\unit[55 \cdot 10^{-6}]{m^2}$ des Trommelfells wirkt somit folgende Schall-Leistung ein:

$P = I \cdot A = \unit[0,25]{\frac{W}{m^2}} \cdot \unit[55 \cdot 10^{-6}]{m^2} = \unit[1,375 \cdot 10^{-5}]{W}$

Diese Schall-Leistung entspricht folgendem Schall-Leistungs-Pegel:

$L_{\mathrm{W}} = 10 \cdot \log_{10}{\left( \frac{P}{P_{\mathrm{min}}} \right)} = 10 \cdot \log_{10}{\left(\frac{\unit[1,375 \cdot 10^{-5}]{W}}{\unit[1 \cdot 10^{-12}]{W}}\right)} = 10 \cdot \log_{10}{(1,375 \cdot 10^{7})} \approx \unit[71,4]{dB}$

Die Schallpegel-Skala bildet also den normalen Hörbereich des Menschen auf einen Zahlenbereich zwischen $0$ und $120$ ab; Alltagsgeräusch haben Schallpegel von etwa $\unit[30]{dB}$ bis $\unit[80]{dB}$ , ein normales Gespräch erzeugt in $\unit[1]{m}$ Entfernung einen Schallpegel von circa $\unit[60]{dB}$ .

Schallpegel in Dezibel. Der Schallpegel hängt stets von der Entfernung zwischen der Schallquelle und dem Ohr beziehungsweise Messgerät ab.

SVG: Schallpegel

Da es sich bei der Dezibel-Skala um eine logarithmische Skala handelt, bedeutet eine doppelte Leistung der Schallquelle keinesfalls auch eine Verdopplung des Dezibel-Werts. Vielmehr gilt in diesem Fall:

$P_2 = 2 \cdot P_1 \quad \Longleftrightarrow \quad L_{\mathrm{W,2}} &= 10 \cdot \log_{10}{\left( \frac{P_2}{P_{\mathrm{min}}} \right)} = 10 \cdot \log_{10}{\left( \frac{2 \cdot P_1}{P_{\mathrm{min}}} \right)} \\[6pt] &= 10 \cdot \left(\log_{10}{\left( \frac{P_1}{P_{\mathrm{min}}} \right)} + \log_{10}{(2)}\right) \\[6pt] &\approx 10 \cdot \left( \log_{10}{\left( \frac{P_1}{P_{\mathrm{min}}} \right)} + \;\,0,301 \;\; \right) = L_{\mathrm{W_1}} + \unit[3,01]{dB}$

Eine Verdoppelung der Leistung einer Schallquelle bewirkt also lediglich eine Zunahme des Schallpegels um $\Delta L_{\mathrm{W}} \approx \unit[3,0]{dB}$ . Ein derartiger Unterschied ist deutlich hörbar, kleinere Schallpegel-Differenzen von nur $\unit[1]{dB}$ bis $\unit[2]{db}$ sind meist nur bei direktem Vergleich erkennbar.

Lautstärke bei unterschiedlichen Frequenzen

Mittels der Dezibel-Skala lassen sich die menschlich wahrgenommenen Lautstärken von Tönen nur dann vergleichen, wenn diese die gleiche Frequenz haben: Das menschliche Gehör reagiert nämlich auf unterschiedliche Schallfrequenzen unterschiedlich sensibel.

Schallpegel in Dezibel, die bei unterschiedlichen Frequenzen als gleich laut empfunden werden.

SVG: Isophone Lautstärkepegel

Die Richtwerte für die Dezibel-Skala wurden bei einer Schallfrequenz von $f=\unit[1000]{Hz}$ bestimmt. In der Abbildung Isophone Lautstärkepegel stellt die unterste Kurve die minimale Lautstärke dar, ab der Töne wargenommen werden können; bei $f=\unit[1000]{Hz}$ entspricht dies gerade dem Wert $L_{\mathrm{W}}=\unit[0]{dB}$ . Bei einem Frequenzwert von $f=\unit[400]{Hz}$ gibt die Kurve einen Wert von $L_{\mathrm{W}} \approx \unit[10]{dB}$ an, was bedeutet, dass bei dieser Frequenz der Schallpegel um $\unit[+10]{dB}$ höher sein muss, damit der Ton überhaupt gehört werden kann – dies erfordert wiederum eine $10$ -fach höhere Schall-Leistung $P_{\mathrm{s}}$ .

Dass Menschen Töne mit niedrigen Schallfrequenzen weniger intensiv wahrnehmen, hat zur Folge, dass Basslautsprecher so konstruiert werden, dass sie hohe Schall-Leistungen abstrahlen können; Hochton-Lautsprecher kommen entpsrechend mit nur kleinen Schall-Leistungen aus. Am empfindlichsten ist das menschliche Gehör bei Frequenzen im Bereich von $\unit[3000]{Hz}$ bis $\unit[4000]{Hz}$ : In diesem Bereich genügen dem Ohr bereits empfangene Leistungen von weniger als $P_{\mathrm{s}}=\unit[10^{-12}]{W}$ , um Schall wahrnehmen zu können.

Gibt man eine Lautstärke unter Berücksichtigung der in Abbildung Isophone Lautstärkepegel dargestellten Hörkurven an, so schreibt man dabei „Phon“ anstelle von „Dezibel“ als Einheit. Zu berücksichtigen ist dabei, dass es sich auch bei einer „Phon“-Angabe um einen reinen Zahlenwert handelt, der nur der Kenntlichkeit halber mit Phon benannt ist.

Anmerkungen:

[1]	Bei einem gasförmigen akustischen Medium ist die Schallgeschwindigkeit auch von Druck und Temperatur abhängig. Beispielsweise beträgt die Schallgeschwindigkeit in $\unit[0]{\degree C}$ kalter Luft $\unit[332]{\frac{m}{s}}$ , bei $\unit[20]{\degree C}$ jedoch $\unit[343]{m/s}$ .

[2]

Bei der Erstellung der in der Abbildung dargestellten Klangmuster wurden die Programme Musescore und Audacity verwendet:

In Musescore wurde für unterschiedliche Instrumente jeweils eine Partitur mit nur einem einzigen Ton (a) erzeugt; diesen wurde dann als .wav-Dateien exportiert.
In Audacity wurden die einzelnen .wav-Dateien geöffnet und die Stereo-Spuren über den entsprechenden Eintrag im „Spuren“-Menü in eine einzige Mono-Spur umgewandelt. Anschließend genügte ein Hineinzoomen und Aufnehmen von Screenshots als Vorlage.

[3]

Im musikalischen Bereich wird üblicherweise nicht explizit auf die Obertöne eines Instruments eingegangen – stattdessen wird stets der jeweils gespielte Grundton als „Ton“ bezeichnet. Ein Klang, beispielsweise ein „Dreiklang“, setzt sich für einen Musiker entsprechend aus mehreren gleichzeitig klingenden (Grund-)Tönen zusammen und wird daher meist als Synonym für das Wort „Akkord“ genutzt.

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