Stereometrie

Die Stereometrie ist das geometrische Teilgebiet, in dem Eigenschaften dreidimensionaler Grundformen untersucht werden. Hierbei sind für vielerlei Anwendungen insbesondere die Größe des Volumens und der Oberfläche von regelmäßigen Formen von Interesse.

Das Prinzip von Cavalieri

Schneidet man zwei geometrische Körper mit gleich große Grundfläche und gleicher Höhe in beliebig viele dünne “Scheiben” (wobei die Schnitte stets durch beide Körper in gleicher Höhe verlaufen), so ist das Volumen beider Körper genau dann identisch, wenn jede dieser “Scheiben” eine gleiche Grundfläche aufweist.

Wird beispielsweise, wie in der obigen Abbildung dargestellt, ein Stapel mit quadratischen Karteikarten seitlich verschoben, so bleibt dadurch das Volumen des Stapels unverändert. Die Karten könnten ebenso diagonal zerschnitten und in gedrehter Form aneinandergereiht werden; auch in diesem Fall würde sich das Volumen nicht ändern. Die einzelnen Grundflächen müssen für die Anwendung des Prinzips von Cavalieri somit nicht kongruent sein, sondern nur gleich große Flächeninhalte haben.

Quader, Würfel und Prisma

Quader und Würfel

In einem Quader sind im Allgemeinen alle Seitenlängen unterschiedlich lang, alle Winkel betragen 90 \degree. Für das Volumen V und die Oberfläche A eines Quaders gilt:

V_{\text{Quader}} &= a \cdot b \cdot c \\
A_{\text{Quader}} &= 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)

fig-quader

Grundform eines Quaders.

In einem Würfel – einer Sonderform eines Quaders – sind alle Seitenlängen gleich lang, alle Winkel betragen 90 \degree. Für das Volumen V und die Oberfläche A eines Würfels gilt:

V_{\text{Würfel}} &= a \cdot a \cdot a = a^3 \\
A_{\text{Würfel}} &= 6 \cdot a^2

fig-würfel

Grundform eines Würfels.

Prismen

Für das Volumen V und die Oberfläche A eines Prismas gilt:

V_{\text{Prisma}} &= A_{\mathrm{G}} \cdot h \\
A_{\text{M,Prisma}} &= A_{\mathrm{S1}} + A_{\mathrm{S2}} + \ldots + A_{\mathrm{Sn}} \\
A_{\text{O,Prisma}} &= 2 \cdot A_{\mathrm{G}} + A_{\mathrm{M}}

fig-prisma-formen

Prismen mit drei-, vier-, fünf- und sechseckigen Grundflächen.

Pyramide und Pyramidenstumpf

Für das Volumen V und die Oberfläche A einer Pyramide gilt:

V_{\mathrm{{Pyramide}}} &= \frac{A_{\mathrm{G}} \cdot h}{3} \\[4pt]
A_{\mathrm{{M, Pyramide}}} &= A_1 + A_2 + \ldots + A_{\mathrm{n}}\\
A_{\mathrm{{O, Pyramide}}} &= A_{\mathrm{G}} + A_{\mathrm{M}}

fig-pyramide-formen

Pyramiden mit einem Dreieck, einem Rechteck oder einem Quadrat als Grundflächen.

Für das Volumen V und die Oberfläche A eines Pyramidenstumpfes gilt:

V_{\mathrm{{Pyramidenstumpf}}} &= \frac{1}{3} \cdot h \cdot (A_{\mathrm{G}} +
\sqrt{A_{\mathrm{G}} \cdot A_{\mathrm{D}}} + A_{\mathrm{D}}) \\[4pt]
A_{\mathrm{{M, Pyramidenstumpf}}} &= A_1 + A_2 + \ldots + A
_{\mathrm{n}}\\
A_{\mathrm{{O, Pyramidenstumpf}}} &= A_{\mathrm{G}} + A_{\mathrm{M}} + A_{\mathrm{D}}

fig-pyramidestumpf

Pyramidenstumpf einer Quadrat-Pyramide.

Kugel und Kreiszylinder

Für das Volumen V und die Oberfläche A einer Kugel gilt:

V_{\mathrm{{Kugel}}} &= \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \\[4pt]
A_{\mathrm{{O, Kugel}}} &= 4 \cdot \pi \cdot r^2

fig-kugel

Grundform einer Kugel.

Für das Volumen V und die Oberfläche A eines Kreiszylinders gilt:

V_{\mathrm{{Kreiszylinder}}} &= p \cdot r^2 \cdot h \\[4pt]
A_{\mathrm{{M, Kreiszylinder}}} &= 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h \\
A_{\mathrm{{O, Kreiszylinder}}} &= 2 \cdot \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot h

fig-kreiszylinder

Grundform eines Kreiszylinders.

Kreiskegel und Kreiskegelstumpf

Für das Volumen V und die Oberfläche A eines Kreiskegels gilt mit s =  \sqrt{r^2 + h^2}:

V_{\mathrm{{Kreiskegel}}} &= \frac{\pi \cdot r^2 \cdot h}{3}  \\[4pt]
A_{\mathrm{{M, Kreiskegel}}} &= \pi \cdot r \cdot s \\
A_{\mathrm{{O, Kreiskegel}}} &= \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s

fig-kreiskegel

Grundform eines Kreiskegels.

Für das Volumen V und die Oberfläche A eines Kreiskegelstumpfes gilt mit s =  \sqrt{(r_1 - r_2)^2 + h^2}:

V_{\mathrm{{Kreiskegelstumpf}}} &= \frac{\pi}{3} \cdot h \cdot \left( r_1^2
+ r_2^2 + r_1 \cdot r_2 \right) \\[4pt]
A_{\mathrm{{M, Kreiskegelstumpf}}} &= \pi \cdot s \cdot (r_1 + r_2) \\
A_{\mathrm{{O, Kreiskegelstumpf}}} &= \pi \cdot (r_1^2 + r_2^2 + s \cdot
(r_1 + r_2))

fig-kreiskegelstumpf

Grundform eines Kreiskegelstumpfes.