Abbildungen, Funktionen, Relationen und Operationen

Abbildungen

Unter einer Abbildung F aus einer Menge \mathbb{M}_1 in eine Menge \mathbb{M}_2 versteht man eine Teilmenge der Produktmenge \mathbb{M}_1 \times \mathbb{M}_2.

F \subseteq \mathbb{M}_1 \times \mathbb{M}_2

F ist somit eine Menge von geordneten Paaren (x,y) mit x
\in \mathbb{M}_1 und y \in \mathbb{M}_2. Man sagt, dass durch die Abbildung F das Element y dem Element x zugeordnet wird.[1] Die Mengen \mathbb{M}_1 und \mathbb{M}_2 können auch gleich sein.

Beispiel:

  • Durch eine Abbildung F \subseteq \mathbb{R} \times \mathbb{R} kann beispielsweise jeder reellen Zahl x ihre Quadratzahl x^2 zugeordnet werden. Es ist dann (x,x^2) \in F für alle x \in
\mathbb{R}.

Die Menge aller x \in \mathbb{M}_1, für die ein y \in
\mathbb{M}_2 existiert, nennt man Definitionsbereich der Abbildung; entsprechend nennt man die Menge aller y \in \mathbb{M}_2, für die ein zugehöriges x \in \mathbb{M}_1 existiert, Wertebereich der Abbildung.

fig-venn-diagramm-abbildung

Beispielhaftes Venn-Diagramm einer Abbildung.

Inverse Abbildung

Unter einer inversen Abbildung F_{\mathrm{U}} (auch “Umkehrabbildung” genannt) versteht man die Menge aller geordneten Paare (y,x), für die (x,y) \in F gilt.

Der Definitionsbereich der inversen Abbildung ist der Wertebereich der ursprünglichen Abbildung und umgekehrt; die inverse Abbildung der inversen Abbildung ist mit der ursprünglichen Abbildung identisch.

Verkettung von Abbildungen

Es sei F_1 eine Abbildung von \mathbb{M}_1 in \mathbb{M}_2 und F_2 eine Abbildung aus \mathbb{M}_2 in \mathbb{M}_3. Eine Abbildung F_3 = F_2 \circ F_1 (gelesen: “F_2 verkettet mit F_1”) wird dann als Verkettung (Hintereinanderausführung) bezeichnet, wenn für alle geordneten Paare (x,y) \in F_1 und (y,z) \in F_2 gilt: (x,z) \in F_3.

Allgemein gilt für Verkettungen von Abbildungen zwar das Assoziativgesetz nicht, die Reihenfolge der Abbildungen ist also nicht vertauschbar; jedoch gilt das Assoziativ-Gesetz in folgender Form:

F_3 \circ (F_2 \circ F_1) = (F_3 \circ F_2) \circ F_1

Für eindeutige Abbildungen (Funktionen) ist folgende Darstellung üblich:

(f_2 \circ f_1)(x) = f_2 (f_1(x))

Man nennt dabei die Funktion f_1 die innere Funktion und f_2 die äußere Funktion der Verkettung. Somit ist die Reihenfolge der Verkettung (“f_2 nach f_1”) gut erkennbar.

Beispiel:

  • Es sei z = f_2(y) = \sqrt{y} sowie y = f_1(x) =
x^2 + 1. Somit gilt z = f_2 (f_1 (x)) = \sqrt{x^2 + 1}.

Funktionen

Eine Abbildung f aus M_1 in M_2 heißt eindeutig, wenn jedem x \in M_1 höchstens ein y \in M_2 zugeordnet wird. Eine derartige Abbildung f wird Funktion genannt; man bezeichnet sie im Allgemeinen mit einem kleinen lateinischen Buchstaben.

Jedem x im Definitionsbereich von f wird somit genau ein Wert y \in M_2 zugeordnet. Der Mathematiker Leonhard Euler hat hierfür die Schreibweise y = f(x) eingeführt. Dabei wird die Variable x als Argument der Funktion f bezeichnet, y=f(x) wird Funktionswert genannt.

Zwei Funktionen sind gleich, wenn sie für jedes x \in \mathbb{M}_1 den gleichen Funktionswert y \in \mathbb{M}_2 liefern, also f_1 (x) =
f_2 (x) für alle x \in \mathbb{M}_1 gilt.

Ist auch die inverse Abbildung f_{\mathrm{U}}(x) einer Funktion f(x) eindeutig, so nennt man die Funktion f(x) (eindeutig) umkehrbar; die Funktion f_{\mathrm{U}}(x) wird entsprechend als Umkehrfunktion bezeichnet. Sie entspricht der Menge an geordneten Paaren (y,\, x), für die (x,\, y) \in f gilt. Auch in diesem Fall ist der Definitionsbereich der Umkehrfunktion der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt.

Funktionen sind insbesondere in der Analysis von zentraler Bedeutung.

Relationen

Eine Relation R ist eine Abbildung aus einer Menge \mathbb{M} in die gleiche Menge \mathbb{M}. Von besonderer Bedeutung sind zweistellige Relationen, also Teilmengen von \mathbb{M} \times \mathbb{M}.

R \subseteq \mathbb{M} \times \mathbb{M}

Wenn für ein geordnetes Paar (x_1 ,\, x_2 ) \in R gilt, so sagt man, dass x_1 und x_2 in der Relation R zueinander stehen. In mathematischer Form schreibt man:

x_1 \; R \; x_2

Beispiel:

  • Es sei \mathbb{M} = \lbrace 1 ,\, 2 ,\, 3 ,\, 4 \rbrace und R die “Kleiner als”-Relation < . Dann gilt:

    1 < 2 \; ; \; 1 < 3 \; ; \; 1 < 4 \; ; \; 2 < 3 \; ; \; 2 < 4 \; ; \; 3 < 4

    Alle durch die “Kleiner als”-Relation verknüpften Zahlen lassen sich als geordnete Paare darstellen:

    R = \lbrace (1,2) ,\, (1,3) ,\, (1,4) ,\, (2,3) ,\, (2,4) ,\, (3,4) \rbrace
\subseteq \mathbb{M} \times \mathbb{M}

Nach dem gleichen Prinzip lassen sich auch drei- und mehrstellige Relationen bilden, beispielsweise “x liegt zwischen y und z”.[2] Darüber hinaus gelten auch für Relationen die allgemeinen Eigenschaften von Abbildungen; beispielsweise kann eine Relation R mit (x_1 ,\,
x_2) \in R durch Bildung der entsprechenden Paare (x_2 ,\, x_1 ) \in
R_{\mathrm{U}} invertiert werden. Ebenfalls lassen sich zwei Relationen R_1 und R_2 zu einer einzigen Relation R_2 \circ R_1 verketten.

Reflexivität, Symmetrie und Transitivität

Verschiedene Relationen lassen sich hinsichtlich drei charakteristischer Eigenschaften unterscheiden:

  • Reflexivität:

    Eine Relation R in einer Menge \mathbb{M} heißt reflexiv, wenn jedes x \in \mathbb{M} in Relation zu sich selbst steht, also für alle x gilt: (x,x) \in R

    Beispiele:

    • Die “Kleiner/Gleich”-Relation \le ist für die Menge \mathbb{R} der reellen Zahlen reflexiv, denn es gilt x \le
x für alle x \in \mathbb{R}:
    • Die “Kleiner”-Relation < ist, ebenfalls bezogen auf die Menge \mathbb{R} der reellen Zahlen, nicht reflexiv.
  • Symmetrie:

    Eine Relation R in einer Menge \mathbb{M} heißt symmetrisch, wenn für alle x_1 ,\, x_2 \in \mathbb{M} aus dem Zutreffen von R auf (x_1 ,\, x_2) auch das Zutreffen von R auf (x_2 ,\, x_1 ) folgt.[3]

    Beispiel:

    • Für alle Geraden g_1 und g_2 ist die Relation “g_1 steht senkrecht auf g_2” symmetrisch.
  • Transitivität:

    Eine Relation R in einer Menge M heißt transitiv, wenn für alle x_1 ,\, x_2 ,\, x_3 aus dem Zutreffen von R auf (x_1 ,\, x_2 ) und dem Zutreffen von R auf (x_2 ,\,
x_3 ) auch das Zutreffen von R auf (x_1 ,\, x_3 ) folgt.

    Beispiel:

    • Die Kleiner-Relation < für reelle Zahlen ist transitiv, denn gilt für je drei beliebige reelle Zahlen x_1 < x_2 sowie x_2 <
x_3, so gilt ebenfalls x_1 < x_3.

Eine weitere wichtige Eigenschaft vieler Relationen ist die so genannte “Linearität”. Eine Relation R in einer Menge \mathbb{M} heißt linear, wenn entweder x_1 \; R \; x_2 oder x_2 \; R
\; x_1 gilt. Ein Beispiel hierfür ist die “Kleiner-Gleich”-Relation \le für reelle Zahlen \mathbb{R}, denn es gilt für alle x_1 ,\, x_2
\in \mathbb{R} stets entweder x_1 \le x_2 oder x_2 \le x_1.

Ordnungs- und Äquivalenzrelationen

Zwei Relationstypen sind in der Mathematik von besonderer Bedeutung:

1.: Ordnungsrelationen:

Es gibt verschiedene Ordnungsrelationen; sie haben gemeinsam, dass sie transitiv sind, unterscheiden sich jedoch in ihren weiteren Eigenschaften.

Beispiel:

  • Eine wichtige Ordnungsrelation ist die so genannte “reflexive Ordnung”, beispielsweise die “Kleiner/Gleich”-Relation \le für die reellen Zahlen. Sie ist reflexiv, antisymmetrisch, transitiv und linear.[4]

2.: Äquivalenzrelationen:

Äquivalenzrelationen sind Relationen, die sowohl reflexiv als auch symmetrisch und transitiv sind.

Beispiele:

  • Die wohl wichtigste Äquivalenzrelation ist die Gleichheit-Relation = (“Identität”) zweier reeller Zahlen. Offensichtlich gilt für jede reelle Zahl x: x = x (Reflexivität); gilt zudem für zwei beliebige reelle Zahlen x_1  = x_2, so gilt auch x_2 = x_1 (Symmetrie); gilt ferner für drei beliebige reelle Zahlen: x_1 = x_2 und x_2 =
x_3, so gilt ebenfalls x_1 = x_3 (Transitivität).
  • Die Kongruenz- und Ähnlichkeits-Relation zwischen geometrischen Körpern stellen ebenfalls Äquivalenzrelationen dar.

Durch eine Äquivalenz-Relation wird eine Menge \mathbb{M} in unterschiedliche Äquivalenz-Klassen zerlegt.[5] Jedes Element einer solchen Klasse heißt Repräsentant der Klasse und steht mit allen anderen Elementen der Klasse in der Relation R, es gilt also x_1 \; R \; x_2 für alle x_1 ,\, x_2 einer Äquivalenz-Klasse.[6]

Alle Repräsentanten werden als nicht voneinander verschieden betrachtet, es wird also davon abgesehen, dass sich die Elemente einer Äquivalenz-Klasse in gewissen Eigenschaften unterscheiden. Somit sind Äquivalenzrelationen charakteristisch für mathematische Abstraktionsprozesse: Eine Menge \mathbb{M} kann mit Hilfe einer Äquivalenzrelation R in ein System von Äquivalenz-Klassen zerlegt werden. Diese Klassen treten somit an die Stelle ihrer Repräsentanten, die wiederum anhand ihrer entsprechenden Klasse “identifiziert” werden.

Operationen

Durch eine (zweistellige) Operation werden Elemente (x_1 ,\, x_2) einer Produkt-Menge \mathbb{M} \times \mathbb{M} in eindeutiger Weise auf je ein Element x der Menge \mathbb{M} abgebildet. Mathematisch schreibt man hierfür:

x_1 \; \mathrm{Op} \; x_2 = y  \quad \text{ oder } \quad \mathrm{Op}(x_1 ,\,
x_2) = y

Das jeweilige Zeichen \mathrm{Op} wird dabei als Operationszeichen (oder kurz “Operator”) bezeichnet, x_1 und x_2 werden Operanden genannt.[7]

Beispiel:

  • Durch die Operation der Addition (Operationszeichen: +) werden beispielsweise zwei natürliche Zahlen n_1,\,  n_2 \in \mathbb{N} auf eine natürliche Zahl n_3 = n_1 + n_2 abgebildet.

Nach dem gleichen Prinzip lassen sich auch ein- oder mehrstellige Operationen als eindeutige Abbildungen von Elementen (x_1 ,\, x_2 ,\, \ldots ) aus \mathbb{M} \times \mathbb{M} \times \ldots auf Elemente y \in
\mathbb{M} bilden.

Beispiele:

  • Durch die einstellige Operation “Bildung von (-x)” wird jede (reelle) Zahl x auf eine gleich große, negative Zahl abgebildet.
  • Durch die einstellige Operation “Bildung von \frac{1}{x}” wird jede (reelle) Zahl x \ne 0 auf den Kehrwert der Zahl abgebildet.

Eine Operation nennt man unbeschränkt ausführbar, wenn sie für alle Elemente (x_1 ,\, x_2 ,\, \ldots ) \in \mathbb{M}_1 \times \mathbb{M}_2 \times
\ldots definiert ist; andernfalls nennt man sie beschränkt ausführbar. Im Bereich der natürlichen Zahlen beispielsweise ist die Addition eine unbeschränkt ausführbare, die Subtraktion hingegen eine nur beschränkt ausführbare Operation.

Eigenschaften von Operationen

Operationen können – je nach Operation und zugrunde liegender Menge – verschiedene Eigenschaften besitzen. Im folgenden werden mögliche Eigenschaften von zweistelligen Operationen aufgelistet, die entsprechend auch auf mehrstellige Operationen zutreffen können:

  • Kommutativität:

    Eine Operation \mathrm{Op} in einer Menge \mathbb{M} heißt kommutativ genau dann, wenn für alle x_1 ,\, x_2 \in \mathbb{M} gilt:

    x_1 \; \mathrm{Op} \; x_2 = x_2 \; \mathrm{Op}
\; x_1

    Ein Beispiel für eine kommutative Operation ist die Addition in der Menge der natürlichen Zahlen.

  • Assoziativität:

    Eine Operation \mathrm{Op} in einer Menge \mathbb{M} heißt assoziativ genau dann, wenn für alle x_1 ,\, x_2 ,\, x_3 \in
\mathbb{M} gilt:

    (x_1 \; \mathrm{Op} \; x_2 ) \; \mathrm{Op} \; x_3 = x_1 \; \mathrm{Op}
\; (x_2 \; \mathrm{Op} \; x_3 )

    Ein Beispiel für eine assoziative Operation ist die Multiplikation in der Menge der reellen Zahlen.

  • Distributivität:

    Eine Operation \mathrm{Op}_1 heißt in einer Menge \mathbb{M} (linksseitig) distributiv bezüglich \mathrm{Op}_2 genau dann, wenn für alle x_1 ,\, x_2 ,\, x_3 \in \mathbb{M} gilt:

    x_1 \; \mathrm{Op}_1 \; (x_2 \; \mathrm{Op}_2 \; x_3 ) = (x_1 \;
\mathrm{Op}_1 \; x_2 ) \; \mathrm{Op}_2 \; (x_1 \; \mathrm{Op}_1 \; x_3
)

    Ein Beispiel für eine distributive Operation mit den zwei Operatoren \cdot und + ist folgende Verknüpfung dreier reeller Zahlen x_1 ,\, x_2 ,\, x_3:

    x_1 \cdot (x_2 + x_3 ) = x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3


Anmerkungen:

[1]In diesem Zusammenhang wird x auch als “Urbild” von y beziehungsweise y als “Bild” von x.
[2]Eine n-stellige Relation entsprechend eine Teilmenge \mathbb{M}^n = \mathbb{M} \times \mathbb{M} \times \ldots \times
\mathbb{M}.
[3]Folgt im umgekehrten Fall aus dem Zutreffen von R auf (x_1 ,\, x_2) das Nicht-Zutreffen von R auf (x_2
,\, x_1), so nennt man die Relation antisymmetrisch.
[4]Gilt die Linearität nicht, so spricht man von einer reflexiven Halbordnung. Ein Beispiel hierfür ist die Teilbarkeitsrelation “n_1 teilt n_2” für zwei natürliche Zahlen.
[5]

Unter einer Zerlegung einer nichtleeren Menge \mathbb{M} versteht man ein System von nichtleeren, paarweise elementfremden Teilmengen von \mathbb{M} mit der Eigenschaft, dass \mathbb{M} die Vereinigungsmenge des Systems ist.

Ebenfalls existiert zu jeder Zerlegung einer nichtleeren Menge \mathbb{M} in paarweise elementfremde Teilmengen auch eine Äquivalenz-Relation R, durch die die Zerlegung von \mathbb{M} nach R definiert ist.

[6]

Äquivalenz-Klassen reeller Zahlen, die durch Gleichheits-Relation gebildet werden, bestehen jeweils aus genau einer Zahl, da jede Zahl nur mit sich selbst identisch ist. Zahlen können allerdings meist auf unterschiedliche Arten dargestellt werden; beispielsweise gilt 2 =
\sqrt{4} = \frac{8}{4} = \ldots

Allgemein können Äquivalenz-Klassen beliebig viele Elemente beinhalten. Betrachtet man beispielsweise die Menge aller Fahrzeuge und die Relation “hat die gleiche Farbe wie”, so beinhalten die Äquivalenzklassen “rot”, “grün”, “blau”, usw. jeweils eine große Anzahl an Fahrzeugen.

[7]Bei speziellen Operationen haben die Operanden eigene Bezeichnungen; im Term x^{n} bezeichnet man beispielsweise x als Basis und n als Exponent.