Mengen und ihre Eigenschaften¶
Der Begriff „Menge“ wurde erstmals von Georg Cantor benutzt. Er bezeichnete damit eine „Zusammenfassung von bestimmten, klar unterscheidbaren Objekten unserer Anschauung und unseres Denkens zu einem Ganzen.“
Eine Menge (Kurzschreibweise: ) hat damit folgende Eigenschaften:[1]
- Eine Menge ist genau dann festgelegt, wenn sich von allen Objekten festlegen lässt, ob sie zur Menge gehören oder nicht.
- Ein Objekt darf nicht mehrfach in der Menge enthalten sein.
Die in einer Menge enthaltenen Objekte werden als Elemente bezeichnet.
Beispiele:
- Die Teilnehmer eines bestimmten Lehrgangs sind wohlunterschiedene Objekte unserer Anschauung, sie bilden also eine Menge.
- Die natürlichen Zahlen sind wohlunterschiedene Objekte unseres Denkens und bilden somit eine Menge.
- Die abstrakten Objekte , , , bilden eine einelementige Menge, da sie untereinander gleich sind.
- Die Menge der Primzahlen enthält unendlich viele Elemente.
- Die umgangssprachlichen Bezeichnungen: „eine Menge Geld“, „eine Menge Wasser“ usw. werden in der Mathematik nicht als Mengen angesehen, da sich nicht genau angeben lässt, welche Objekte dazugehören.
Als Variablen für Mengen werden Großbuchstaben, als Variablen für Elemente einer Menge Kleinbuchstaben verwendet. ist eine Menge, wenn für jedes konkrete oder abstrakte Objekt der Satz „“ eine wahre oder falsche Aussage ist. Gehört zu einer Menge kein konkretes oder abstraktes Objekt, so wird sie als leere Menge bezeichnet und mit dem Symbol dargestellt.
Die mathematische Kurzschreibweise bedeutet, dass das Element in der Menge enthalten ist. Ist dieser Satz
- für alle falsch, so ist eine leere Menge,
- für endlich viele wahr, so ist eine endliche Menge,
- für unendlich viele wahr, so ist eine unendliche Menge.
Ist ein Element nicht in der Menge enthalten, so schreibt man .
Darstellung von Mengen¶
Mengen lassen sich auf verschiedene Arten angeben:
- Aufzählende Form:
Die Symbole der Objekte werden in geschweiften Klammern, durch Komma getrennt, aufgelistet.
Beispiele:
- Kennzeichnende Form:
In der geschweiften Klammer wird eine Regel aufgeschrieben, anhand derer festgelegt ist, ob ein bestimmtes Element zur Menge gehört oder nicht.
Beispiel:
Die Schreibweise bedeutet somit, dass genau dann gilt, wenn die Aussageform wahr ist.
- Mengendiagramme:
Die Elemente der Menge werden innerhalb einer geschlossenen Kurve dargestellt („Venn-Diagramm“)
Mengengleichheit
Zwei Mengen und sind gleich, wenn jedes Element von auch Element von ist, in Kurzschreibweise .
Teilmenge und Obermenge¶
Sind alle Elemente der Menge auch Elemente der Menge , so ist eine Teilmenge von , in Kurzschreibweise . Hierbei gibt es zwei Möglichkeiten:
- heißt echte Teilmenge von , wenn gilt und mindestens ein Element besitzt, das nicht zu gehört.
- heißt unechte Teilmenge von , wenn gilt und kein Element besitzt, das nicht zu gehört – es gilt .
In beiden Fällen wird die Menge , die auch alle Elemente von enthält, als Obermenge von bezeichnet.
Beispiel:
Mengenoperationen¶
Die Schnittmenge¶
Unter der Schnittmenge zweier Mengen und versteht man die Menge aller Objekte, die sowohl zu als auch zu gehören, in Kurzschreibweise .
Beispiel:
Nach dem gleichen Prinzip lässt sich auch die Schnittmenge mehrerer Mengen bilden. Mengen, die keine gemeinsamen Elemente haben, werden als disjunkte oder elementefremde Mengen bezeichnet.
Die Vereinigungsmenge¶
Die Menge aller Objekte, die zu mindestens einer der Mengen oder gehören, heißt Vereinigungsmenge von und , in Kurzschreibweise: .
Beispiel:
Nach dem gleichen Prinzip lässt sich auch die Vereinigungsmenge mehrerer Mengen bilden.
Die Differenz- und Komplementärmenge¶
Die Menge aller Objekte, die zu gehören, ohne zugleich auch zu zu gehören, heißt Differenzmenge (oder auch Restmenge) der Mengen und , in Kurzschreibweise .
Beispiel:
Die Komplementärmenge einer Menge ist diejenige Menge bezüglich einer Obermenge , deren Elemente zwar zu , aber nicht zu gehören. Somit gilt .
Die Produktmenge¶
Die Produktmenge (auch Kreuzmenge oder kartesisches Produkt) der Mengen und ist die Menge sämtlicher geordneter Paare, die mit den Elementen der Menge (an erster Stelle) und denen der Menge (an zweiter Stelle) gebildet werden können, in Kurzschreibweise :[2]
Ordnet man die Elemente von als Punkte eines Zahlenstrahls und die Elemente von auf einem dazu senkrecht stehenden Zahlenstrahl an, dann stellen sich die Elemente von als Punkte der Ebene dar, die von den beiden Zahlenstrahlen aufgebaut wird. Führt man diesen Gedanken fort, so findet man, dass alle Punkte einer -Koordinatenebene mit und durch die Elemente von dargestellt werden können.
Die Mächtigkeit von Mengen¶
Haben zwei endliche Mengen und die gleiche Anzahl an Elementen, so bezeichnet man und als gleichmächtig. Die Anzahl aller Elemente einer endlichen Menge wird auch Kardinalzahl genannt.
Die Abzählbarkeit
Die Mächtigkeit von unendlichen Mengen wird an der Menge der natürlichen Zahlen gemessen. Lässt sich jedes Element einer Menge in eindeutiger Weise einem Element aus zuordnen, so wird die Menge als abzählbar bezeichnet; die Elemente von lassen sich also mit Hilfe der natürlichen Zahlen „numerieren“.
Beispiel:
- Jeder Zahl aus der Menge der natürlichen Zahlen kann durch die Zuordnung eine geradzahlige natürliche Zahl zugeordnet werden. Die (unendliche) Menge der geradzahligen natürlichen Zahlen ist somit ebenfalls abzählbar.
Ist eine Menge nicht abzählbar, wie beispielsweise die Menge der reellen Zahlen, so wird sie überabzählbar genannt.
Anmerkungen:
[1] | Genaugenommen lassen sich, wenn man den Begriff „Menge“ nicht genauer fasst, paradoxe Aussagen formulieren. Am bekanntesten ist die Russelsche Antinomie:
Durch eine Formulierung von bestimmten Bedingungen, die jede Menge erfüllen muss, konnten die Mathematiker Ernst Zermelo und Abraham Adolf Fränkel im Jahr 1930 eine widerspruchsfreie Mengenlehre einführen. Für die meisten alltäglichen Mathematik-Aufgaben genügt allerdings der ursprüngliche Mengenbegriff. |
[2] | Ein Element einer Produktmenge ist nicht mit einer Menge zu verwechseln. Während in letzterer die Reihenfolge von und keine Rolle spielt, d.h. gilt, sind zwei Elemente einer Produktmenge nur gleich, wenn ihre Komponenten paarweise gleich sind, wenn also gilt: |
[3] | Da hierbei die Reihenfolge der Zusammenfassung beliebig ist, kann auf die Klammern verzichtet werden. |
[4] | Genau genommen entspricht die obige Darstellung nur der „linksseitigen“ Distributivität. Für zwei Mengen gilt jedoch ebenso die „rechtsseitige“ Distributivität: Gelten sowohl die linksseitige wie auch die rechtsseitige Distributivität, wird allgemein von „Distributivität“ gesprochen. |
Hinweis
Zu diesem Abschnitt gibt es Übungsaufgaben.