Ableitungen von trigonometrischen Funktionen¶
Im Folgenden sollen die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen ,
,
und
hergeleitet werden.
Ableitung der Sinusfunktion
Um eine Ableitungsregel für die Sinusfunktion
herzuleiten, geht man vom Differentialquotienten
aus. Dieser lautet
für die Sinusfunktion:
Mittels des Additionstheorems kann der Zählerterm folgendermaßen
umgeschrieben werden:
Damit kann der Differentialquotient in folgender Form geschrieben werden:
Im letzten Rechenschritt wurde der Faktor in Form eines Doppelbruchs
in den Nenner gezogen, um die Form auf der rechten Seite zu erhalten. Der
Differentialquotient ist als Grenzwert eines Produkts zweier Funktionen gemäß
den Rechenregeln für Grenzwerte gleich dem
Produkt der Grenzwerte beider Funktionen. Für den Grenzwert des ersten Faktors
gilt:
Der Grenzwert des zweiten Faktors kann zur besseren Lesbarkeit als mit
geschrieben werden. Um diesen Grenzwert für kleine Werte von
abzuschätzen, kann man die Sinusfunktion mit der Cosinus- und der
Tangensfunktion vergleichen. Dabei gilt mit
:
Im ersten Rechenschritt wurde durch dividiert, im zweiten
wurden die Kehrwerte der Terme betrachtet, wobei sich die Ungleichheitszeichen
umkehren. Wegen
wird die Ungleichung zu
, also muss gelten:
Für die Ableitung der Sinus-Funktion folgt damit:
(1)¶
Die Ableitung der Sinus-Funktion ist also gleich der Cosinus-Funktion.
Ableitung der Cosinusfunktion
Die Ableitung der Cosinus-Funktion kann mit Hilfe der Ableitungsregel der
Sinusfunktion anhand des Zusammenhangs bestimmt werden; dabei wird wiederum die
Kettenregel verwendet. Mit
als
der äußeren und
als der inneren Funktion gilt:
Da gilt, folgt für
die Ableitung der Cosinus-Funktion:
(2)¶
Die Ableitung der Cosinus-Funktion ist also gleich der negativen Sinusfunktion.
Ableitung der Tangens- und Cotangensfunktion
Die Ableitung der Tangensfunktion kann mit Hilfe der Ableitungsregeln der Sinus- und
Cosinusfunktion bestimmt werden; dabei wird wiederum die Quotientenregel verwendet:
Für die Ableitung der Tangensfunktion gilt also:
(3)¶
Für die Cotangensfunktion gilt entsprechend:
Für die Ableitung der Cotangensfunktion gilt also:
(4)¶