Ableitungen von trigonometrischen Funktionen

Im Folgenden sollen die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen \sin{(x)}, \cos{(x)}, \tan{(x)} und \cot{(x)} hergeleitet werden.

Ableitung der Sinusfunktion

Um eine Ableitungsregel für die Sinusfunktion y=f(x) = \sin{(x)} herzuleiten, geht man vom Differentialquotienten \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} aus. Dieser lautet für die Sinusfunktion:

\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \lim _{\Delta x \to 0} \left( \frac{\sin{(x + \Delta x)} - \sin{(x)}}{\Delta x}\right)

Mittels des Additionstheorems \sin{(x_1)} - \sin{(x_2)} = 2 \cdot \cos{\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right)} \cdot \sin{\left(\frac{x_1 -x_2}{2}\right)} kann der Zählerterm folgendermaßen umgeschrieben werden:

\sin{(x + \Delta x)} - \sin{(x)} = 2 \cdot \cos{\left(\frac{(x + \Delta x) + x}{2}\right)} \cdot \sin{\left( \frac{(x + \Delta x) - x}{2}\right)} = 2 \cdot \cos{\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right)} \cdot \sin{\left( \frac{\Delta x}{2}\right)}

Damit kann der Differentialquotient in folgender Form geschrieben werden:

\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \lim _{\Delta x \to 0} \left( \frac{2 \cdot \cos{\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right)} \cdot \sin{\left( \frac{\Delta x}{2}\right)} }{\Delta x}\right) = \lim _{\Delta x \to 0} \left( \cos{\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right)} \cdot \frac{\sin{\left( \frac{\Delta x}{2}\right)}}{\frac{\Delta x}{2}}\right)

Im letzten Rechenschritt wurde der Faktor 2 in Form eines Doppelbruchs in den Nenner gezogen, um die Form auf der rechten Seite zu erhalten. Der Differentialquotient ist als Grenzwert eines Produkts zweier Funktionen gemäß den Rechenregeln für Grenzwerte gleich dem Produkt der Grenzwerte beider Funktionen. Für den Grenzwert des ersten Faktors gilt:

\lim _{\Delta x \to 0} \left( \cos{\left( x + \frac{\Delta x}{2}\right)}\right) = \cos{(x)}

Der Grenzwert des zweiten Faktors kann zur besseren Lesbarkeit als \lim _{z \to 0} \left(\frac{\sin{(z)}}{z} \right) mit z = \frac{\Delta x}{2} geschrieben werden. Um diesen Grenzwert für kleine Werte von z abzuschätzen, kann man die Sinusfunktion mit der Cosinus- und der Tangensfunktion vergleichen. Dabei gilt mit \tan{(z)} = \frac{\sin{(z)}}{\cos{(z)}}:

\sin{(z)} < z < \tan{(z)} \qquad \Leftrightarrow \qquad 1 < \frac{z}{\sin{(z)}} < \frac{1}{\cos{(z)}} \qquad \Leftrightarrow \qquad 1 > \frac{\sin{(z)}}{z} > \cos{(z)}

Im ersten Rechenschritt wurde durch \sin{(z)} dividiert, im zweiten wurden die Kehrwerte der Terme betrachtet, wobei sich die Ungleichheitszeichen umkehren. Wegen \lim _{z \to 0} \cos{(z)} = 1 wird die Ungleichung zu 1 > \lim _{z \to 0} \frac{\sin{(z)}}{z} > 1, also muss gelten:

\lim _{z \to 0} \frac{\sin{(z)}}{z} =1

Für die Ableitung der Sinus-Funktion folgt damit:

(1)f(x) = \sin{(x)} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \cos{(x)}

Die Ableitung der Sinus-Funktion ist also gleich der Cosinus-Funktion.

Ableitung der Cosinusfunktion

Die Ableitung der Cosinus-Funktion kann mit Hilfe der Ableitungsregel der Sinusfunktion anhand des Zusammenhangs \cos{(x)} = \sin{\left(-x + \frac{\pi}{2}\right)} bestimmt werden; dabei wird wiederum die Kettenregel verwendet. Mit f_1(x) = \sin{(x)} als der äußeren und f_2 = -x + \frac{\pi}{2} als der inneren Funktion gilt:

\big(\cos{(x)}\big)' = \left(\sin{\left( -x + \frac{\pi}{2} \right)}\right)' = \underbrace{\cos{\left(-x + \frac{\pi}{2} \right)}}_{\text{Ableitung der äußeren Funktion}} \cdot \underbrace{\phantom{\frac{\pi}{2}}(-1)\phantom{\frac{\pi}{2}}}_{\text{Ableitung der inneren Funktion}}

Da \cos{\left(-x + \frac{\pi}{2}\right)} = \sin{(x)} gilt, folgt für die Ableitung der Cosinus-Funktion:

(2)f(x) = \cos{(x)} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = - \sin{(x)}

Die Ableitung der Cosinus-Funktion ist also gleich der negativen Sinusfunktion.

Ableitung der Tangens- und Cotangensfunktion

Die Ableitung der Tangensfunktion f(x) = \tan{(x)} = \frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}} kann mit Hilfe der Ableitungsregeln der Sinus- und Cosinusfunktion bestimmt werden; dabei wird wiederum die Quotientenregel verwendet:

\big(\tan{(x)}\big)' = \left(\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}\right)' = \frac{\cos{(x)} \cdot \cos{(x)} - (-\sin{(x)}) \cdot \sin{(x)}}{\big(\cos{(x)}\big)^2} = \frac{\cos^2{(x)} + \sin ^2{(x)}}{\cos^2{(x)}} = \frac{1}{\cos^2{(x)}}

Für die Ableitung der Tangensfunktion gilt also:

(3)f(x) = \tan{(x)} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{\cos^2{(x)}}

Für die Cotangensfunktion f(x) = \cot{(x)} = \frac{\cos{(x)}}{\sin{(x)}} gilt entsprechend:

{\color{white}-}\big(\cot{(x)}\big)' = \left(\frac{\cos{(x)}}{\sin{(x)}}\right)' = \frac{-\sin{(x)} \cdot \sin{(x)} - \cos{(x)} \cdot \cos{(x)}}{\big(\sin{(x)}\big)^2} = \frac{-\sin^2{(x)} - \cos ^2{(x)}}{\sin^2{(x)}} = -\frac{1}{\sin^2{(x)}}

Für die Ableitung der Cotangensfunktion gilt also:

(4)f(x) = \cot{(x)} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = -\frac{1}{\sin^2{(x)}}