Rationale Funktionen¶

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Rationale Funktionen.

Lineare Funktionen

Als Wertetabelle für die Funktion $y = f(x) = 2 \cdot x + 3$ erhält man:

$x$ $f(x)$

$-2$ $-1$

$-1$ $+1$

$\phantom{-}0$ $+3$

$+1$ $+5$

$+2$ $+7$

Zeichnet man diese Werte in ein kartesisches Koordinatensystem ein, so ergibt sich folgender Funktionsgraph:

Ist der Definitions- beziehungsweise Wertebereich der Funktion $f(x)$ gleich der Menge $\mathbb{Z}$ der ganzen Zahlen, so erhält man nur die einzelnen Punkte als Funktionsgraph; sind der Definitions- beziehungsweise Wertebereich hingegen gleich der Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen, so erhält man als Funktionsgraph eine Gerade.

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Der Steigungsfaktor $a$ einer linearen Funktion gibt an, um wie viele Längeneinheiten $(\unit{LE})$ sich der Funktionswert $f(x)$ ändert, wenn der $x$ -Wert um $\unit[1]{LE}$ erhöht wird.

Im konkreten Fall verbindet die Gerade die Punkte $\mathrm{P}_1 = (-2;\, -1)$ und $\mathrm{P}_2 = (1;\, 5)$ . Der Funktionswert von $x_1=-2$ beträgt also $f(x_1)=-1$ , der Funktionswert von $x_2=1$ hingegen $f(x_2)=+5$ :

$x$ $f(x)$

$-2$ $-1$

$\vdots$ $\vdots$

$+1$ $+5$

Zwischen $x_1=-2$ und $x_2=+1$ liegen insgesamt $\unit[3]{LE}$ ; zwischen $f_1(x)=-1$ und $f_2(x)=5$ hingegen $\unit[6]{LE}$ . Für den Steigungsfaktor $a$ ergibt sich damit:

$a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2-x_1} = \frac{5-(-1)}{1-(-2)} = \frac{6}{3} = 2$

Die zur Geraden gehörende lineare Funktion hat somit den Steigungsfaktor $a=2$ .

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