Exponential- und Logarithmusgleichungen¶
Exponentialgleichungen¶
Bei Exponentialgleichungen steht die Variable im Exponenten mindestens
eines Terms. Derartige Gleichungen sind im Allgemeinen nur näherungsweise unter
Verwendung von Computerprogrammen lösbar.
In Spezialfällen sind Exponentialgleichungen allerdings auch bei Verwendung
eines üblichen Taschenrechners lösbar, nämlich dann, wenn auf beiden Seiten
ausschließlich konstante Terme oder Terme der Form stehen;
soll dabei für einen beliebigen, von der Variablen
abhängigen Term stehen.
Wenn eine derartige Gleichung eine Lösung besitzt, also die linke Seite der Gleichung der rechten entspricht, dann muss ebenfalls der Logarithmus der linken und der rechten Seite gleich sein. Dieser Rechentrick ermöglicht die Verwendung der folgenden Identität:[1]
Durch das „Logarithmieren“ einer Gleichung kann somit ein im Exponenten
stehender, von der Variablen abhängiger Term in einen gewöhnlichen
Term umgewandelt werden. Dieser kann, je nach Art des Terms, weiter vereinfacht
und ausgewertet werden.
Beispiele:
Die Lösung folgender Gleichung soll bestimmt werden:
Das Logarithmieren beider Seiten führt auf folgende Gleichung:
Somit hat die Gleichung die Lösung
.
Die Lösung folgender Gleichung soll bestimmt werden:
Das Logarithmieren beider Seiten führt auf folgende Gleichung:
Hierbei können die Rechenregeln für Logarithmen genutzt werden. Da
gilt, kann die Gleichung weiter vereinfacht werden:
Somit hat die Gleichung die Lösung
.
Tritt die Variable sowohl im Exponenten eines Terms als auch als Basis
eines anderen Terms auf, so ist die Gleichung nur näherungsweise mit
Computerprogrammen lösbar. Besteht die Gleichung hingegen ausschließlich aus
Termen mit gleicher Basis und der Variablen
im Exponenten, so heben
sich die Exponentialterme durch das Logarithmieren gegenseitig auf, und es
können ausschließlich die Exponenten verglichen werden.
Beispiel:
Die Lösungen folgender Gleichung soll bestimmt werden:
Hierbei bezeichnet
die Eulersche Zahl. Das Logarithmieren beider Seiten führt auf folgende Gleichung:
Somit muss nur die sich ergebende quadratische Gleichung gelöst werden. Die Lösungen lassen sich in diesem Fall einfach mit dem Satz von Vieta bestimmen:
Die Lösungsmenge der Gleichung lautet somit
.
Logarithmusgleichungen¶
Bei Logarithmusgleichungen tritt die Variable mindestens einmal als
Argument eines Logarithmus auf. Im Allgemeinen sind solche Gleichungen nur
näherungsweise unter Verwendung von Computerprogrammen lösbar.
Logarithmusgleichungen sind – ebenso wie Exponentialgleichungen – nur dann
unter Verwendung eines üblichen Taschenrechners lösbar, wenn auf beiden Seiten
ausschließlich konstante Terme oder Terme der Form
auftreten, wobei
die Basis des Logarithmus bezeichnet und
für einen beliebigen, von der Variablen
abhängigen Term steht.
Wenn eine derartige Gleichung eine Lösung besitzt, also die linke Seite der
Gleichung der rechten entspricht, dann muss die Gleichung ebenfalls gelten, wenn
man eine der Basis des Logarithmus entsprechende Zahl mit den Termen
auf beiden Seiten potenziert. Dieser Rechentrick ermöglicht die Verwendung der
folgenden Identität:[2]
Durch das „Exponenzieren“ einer Gleichung kann somit ein im Argument eines
Logarithmus stehender, von der Variablen abhängiger Term in einen
gewöhnlichen Term umgewandelt werden. Dieser kann, je nach Art des Terms, weiter
vereinfacht und ausgewertet werden.
Beispiel:
Die Lösung folgender Gleichung soll bestimmt werden:
Das Exponenzieren beider Seiten führt auf folgende Gleichung:
Somit hat die Gleichung die Lösungsmenge
.
Anmerkungen:
[1] | Der Logarithmus ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
[2] | Der Logarithmus ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Hinweis
Zu diesem Abschnitt gibt es Übungsaufgaben.