Determinanten¶
Determinanten stellen neben dem Gaussschen Lösungsverfahren ein weiteres nützliches Werkzeug im Umgang mit linearen Gleichungssystemen dar. Sie ermöglichen unter anderem eine verhältnismäßig einfache und schnelle Untersuchung, ob ein lineares Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt oder nicht.
Zweireihige Determinanten
Um den Umgang mit Determinanten zu verdeutlichen, werden im folgenden Abschnitt zunächst wiederum lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten betrachtet. Diese lassen sich im Allgemeinen in folgender Form darstellen:
Allgemein kann ein solches Gleichungssystem gelöst werden, indem man beispielsweise die erste Gleichung mit und die zweite Gleichung mit multipliziert. Es folgt:
In dieser Form sind die Koeffizienten von in beiden Gleichungen identisch. Subtrahiert man die zweite Gleichung von der ersten, so erhält man eine einzelne Gleichung für :
Im zweiten Rechenschritt wurde auf der linken Seite ausgeklammert. Ist die verbleibende Klammer ungleich Null, so erhält man als Lösung für :
Nach dem gleichen Prinzip kann man im die erste Gleichung des ursprünglichen Gleichungssystems mit und die zweite Gleichung mit multiplizieren, um eine Bestimmungsgleichung für zu erhalten. Die Lösung lautet dabei:
Die Lösbarkeit des Gleichungssystems hängt also nur davon ab, ob für den Term gilt. Die „Determinante“ eines Gleichungssystems wird daher folgendermaßen definiert:
(1)¶
Das Ergebnis dieser Determinante lässt sich nach der so genannten „Regel von Sarrus“ berechnen, indem man das Produkt der in der „Hauptdiagonale“ stehenden Zahlen (von links oben nach rechts unten) bildet und davon das Produkt der in der „Nebendiagonalen“ stehenden Zahlen (von links unten nach rechts oben) subtrahiert. Ist die resultierende Zahl ungleich Null, so ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar.
Die Lösungen für und lassen sich nach der so genannten Regel von Cramer ebenfalls in Determinanten-Schreibweise darstellen. Im Nenner steht dabei immer die eigentliche Determinante des Gleichungssystems, im Zähler wird die erste beziehungsweise zweite Spalte der Determinante durch die rechte Seite der Gleichung ersetzt. Somit gilt:
(2)¶
Dreireihige Determinanten
Determinanten lassen sich auch für Gleichungssysteme mit drei Gleichungen und drei Unbekannten definieren. In allgemeiner Form lässt sich ein solches Gleichungssystem folgendermaßen beschreiben:
Entsprechend lässt sich hierfür eine Determinante in folgender Form definieren:
(3)¶
Wiederum lässt sich die Determinante nach der Regel von Sarrus berechnen, indem man die Produkte der in der „Hauptdiagonale“ stehenden Zahlen (von links oben nach rechts unten) bildet und davon die Produkte der in der „Nebendiagonalen“ stehenden Zahlen (von links unten nach rechts oben) subtrahiert. Ist die resultierende Zahl ungleich Null, so ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar.
Die Lösungen für , und lassen sich ebenfalls nach der Regel von Cramer in Determinanten-Schreibweise darstellen. Im Nenner steht wiederum die eigentliche Determinante des Gleichungssystems, im Zähler wird die erste, zweite beziehungsweise dritte Spalte der Determinante durch die rechte Seite der Gleichung ersetzt. Somit gilt:
(4)¶
Mehrreihige Determinanten
Auch Gleichungssysteme mit mehr als drei Gleichungen und Unbekannten lassen sich mit der obigen Determinantenmethode (Regel von Cramer) lösen. Dazu müssen Determinanten mit Reihen berechnet werden. Möchte man für solche Determinanten eine allgemeine Lösungsregel angeben, so werden die dabei auftretenden Terme jedoch schnell unübersichtlich: Eine Erweiterung der Regel von Sarrus auf -reihige Determinanten enthält allgemein Summanden, bei einer -reihigen Determinante müssten also bereits Summanden ausgewertet werden , bei einer -reihigen Determinante sogar .
Einfacher ist es im allgemeinen, aus einer -reihigen Determinante insgesamt Determinanten mit Reihen zu bilden. Dieses rekursive Entwlicklungsschema, das auch von Computer-Algebra-Systemen zur Berechnung beliebig großer Determinanten genutzt wird, soll hier am Beispiel einer vierreihigen Determinante vorgestellt werden.
Definition:
Streicht man in einer Determinante eine beliebige Zeile und eine beliebige Spalte , so bezeichnet man die übrigbleibenden Elemente als Unterdeterminante . Das Element , das sich am Schnittpunkt beider Linien befindet, nennt man Schnittpunktelement.
Definition:
Multipliziert man den Wert der Unterdeterminante mit dem Faktor , so spricht man von der zum Element adjungierten Unterdeterminante :
(5)¶
Das Vorzeichen des Faktors hängt von der Zeilen- und Spaltennummer von ab; ist die Summe beider Zahlen gerade, so ist das Vorzeichen positiv, andernfalls negativ. Anschaulich kann man das Vorzeichen auch anhand einer schachbrettartigen Vorzeichentabelle ablesen.
Mit den beiden obigen Definitionen kann der so genannte Entwicklungssatz von Leibniz folgendermaßen formuliert werden:
„Multipliziert man die Elemente einer beliebigen Reihe mit den jeweiligen adjungierten Unterdeterminanten und addiert die so entstehenden Produkte, so erhält man den Wert der Determinante.“
Es ist frei wählbar, nach welcher Reihe (Zeile oder Spalte) man eine Determinante entwickelt. Entwickelt man eine Determinante nach der -ten Zeile, so gilt:
Entwickelt man eine Determinante hingegen nach der -ten Spalte, so gilt:
Zweckmäßig ist es, für die Entwicklung eine Reihe zu wählen, die möglichst viele Nullen enthält.
Beispiel:
Folgende Determinante mit Reihen soll berechnet werden:
Zunächst wird die Determinante in Unterdeterminanten mit Reihen entwickelt. Vorteilhaft ist hierbei eine Entwicklung nach der vierten Spalte, da diese zwei Nullen enthält. Nach dem Leibnizschen Entwicklungssatz gilt:
Alle Determinanten liefern reelle Zahlen als Ergebnisse; mit Null multipliziert ergeben sie ebenfalls Null. Es müssen somit nur die zweite und die dritte Unterdeterminante ausgewertet werden. Hierzu kann die Regel von Sarrus genutzt werden:
Die Determinante hat somit den Wert .
Um ein lineares Gleichungssystem mit Gleichungen und Unbekannten zu lösen, müssen neben der Determinante der Koeffizienten auch die Determinanten berechnet werden, die sich ergeben, wenn man die -te Spalte von durch die Ergebnisspalte ersetzt. Für die Lösung gilt dann mit :
Voraussetzung ist bei dieser allgemeinen Regel von Cramer wiederum, dass die Determinante der Koeffizienten ungleich Null ist.
Determinanten-Regeln
Zum Rechnen mit Determinanten sind zudem folgende Regeln bisweilen nützlich:
- Der Wert einer Determinante bleibt gleich, wenn man sie transponiert, also die Zeilen mit den Spalten vertauscht.
Vertauscht man zwei Zeilen miteinander, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante. Ebenso ändert sich das Vorzeichen einer Determinante, wenn man zwei Spalten vertauscht.
Der Wert einer Determinante bleibt gleich, wenn die Elemente einer Zeile mit einem beliebigen Faktor multipliziert und das Ergebnis zu den entsprechenden Elementen einer anderen Zeile addiert.
Das gleiche gilt, wenn man die mit einem beliebigen Faktor multiplizierten Elemente einer Spalte zu den entsprechenden Elementen einer anderen Spalte addiert.
Eine Determinante hat den Wert Null, wenn alle Elemente einer Zeile oder Spalte gleich Null sind oder wenn je zwei Zeilen beziehungsweise Spalten gleich oder zueinander proportional sind.
Eine Determinante wird mit einem Faktor multipliziert, indem man alle Elemente einer einzelnen Zeile oder einer einzelnen Spalte mit diesem Faktor multipliziert.
Hinweis
Zu diesem Abschnitt gibt es Übungsaufgaben.