Bedingte Wahrscheinlichkeit

Definition:

Bei einem Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge \Omega werden zwei Ereignisse M_1 und M_2 mit P(M_1) > 0 betrachtet. Dann bezeichnet man folgenden Ausdruck als bedingte Wahrscheinlichkeit von M_2 unter der Bedingung M_1:

P _{M_1}(M_2) = \frac{P(M_1 \cap M_2)}{P(M_1)}

Handelt es sich bei P(M_1) und P(M_2) um Laplace-Wahrscheinlichkeiten, so gilt:

P _{M_1}(M_2) = \frac{P(M_1 \cap M_2)}{P(M_1)} = \frac{|M_1 \cap
M_2|}{|M_1|}

Die obige Definition lässt sich auch, insbesondere bei der Nutzung von Baumdiagrammen, als Produktsatz formulieren. Es gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl M_1 als auch M_2 eintreten:

P(M_1 \cap M_2) = P(M_1) \cdot P _{M_1}(M_2)

Für bedingte Wahrscheinlichkeiten gelten zudem folgende Regeln:

  • Multiplikationsregel: In einem Ergebnisbaum stellt jeder Knoten ein Elementarereignis dar. Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses entspricht dabei dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse längs des zugehörigen Weges.
  • Additionsregel: Besteht ein Ereignis in einem Ereignisbaum aus mehreren Wegen, so ist die zugehörige Wahrscheinlichkeit gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Wege.

Stochatisch unabhängige Ereignisse

Ein Ereignis M_2 ist von einem Ereignis M_1 unabhängig, wenn M_1 auf die Wahrscheinlichkeit von M_2 keinen Einfluss hat.

Definition:

Ist \Omega die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments und M_1 und M_2 zwei Ereignisse mit P(M_1) > 0, so nennt man M_2 stochastisch unabhängig von M_1, wenn gilt:

P _{M_1}(M_2) = P(M_2)

Andernfalls heißt M_2 stochastisch abhängig von M_1.

Ist ein Ereignis M_2 stochastisch unabhängig vom Ereignis M_1, so ist umgekehrt auch M_1 stochastisch unabhängig von M_2, denn in diesem Fall gilt:

P _{M_2}(M_1) = \frac{P(M_1 \cap M_2)}{P(M_2)} = \frac{P(M_1)(M_2)
\cdot P(M_1)}{P(M_2)} = \frac{P(M_2) \cdot P(M_1)}{P(M_2)} = P(M_1)

Als Sonderfall von stochastischer Unabhängigkeit gilt P(M_1 \cap M_2) =
P(M_1) \cdot P(M_2) stets auch dann, wenn die Wahrscheinlichkeit von mindestens einem der beiden Ereignisse gleich Null ist. Allgemein gilt für alle stochastisch unabhängigen Ereignisse:

M_1 \text{ und } M_2 \text{ sind stochastisch unabhängig} \quad
\Leftrightarrow \quad P(M_1 \cap M_2) = P(M_1) \cdot P(M_2)

Sind zwei Ereignisse M_1 und M_2 stochastisch unabhängig, so gilt dies auch für die Gegenereignisse. In diesem Fall sind somit auch die Ereignisse M_1 \cap \overline{M}_2, \overline{M}_1 \cap M_2 sowie \overline{M}_1 \cap \overline{M}_2 stochastisch unabhängig.