Lichtbrechung

Trifft Licht auf die Grenzfläche zweier Stoffe, so wird es zum Teil reflektiert, zum Teil verändert es an der Grenze beider Stoffe seine Richtung. Senkrecht auftreffendes Licht ändert seine Richtung nicht.

Das Brechungsgesetz

Um das Brechungsgesetz zu formulieren, zeichnet man an der Stelle, an der das Licht auftrifft, eine Gerade senkrecht zur Grenzfläche. Der Winkel zwischen dieser Senkrechten und dem einfallenden Strahl wird Einfallswinkel \alpha, der Winkel zwischen der Senkrechten und dem gebrochenen Strahl Brechungswinkel \beta genannt.

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Lichtbrechung beim Übergang eines Lichtstrahls von einem optisch dünnen in ein optisch dickes Medium.

Brechzahl und Brechungsgesetz

Die Sinus-Werte der Einfallswinkel und Brechungswinkel, \sin{\alpha} und \sin{\beta}, stehen im gleichen Verhältnis zueinander wie die Geschwindigkeiten c_1 und c_2, die das Licht in den jeweiligen Stoffen erreichen kann. Breitet sich das Licht zunächst in Luft bzw. Vakuum aus und trifft auf ein transparentes Material, so ergibt das Verhältnis der Winkelgrößen einen konstanten, vom Material abhängigen Wert, der als (absolute) Brechzahl n bezeichnet wird:

(1)n = \frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}

Die (absolute) Brechzahl n gegenüber dem Vakuum ist eine für jeden Stoff charakteristische Materialeigenschaft.[1] Sie gibt gleichzeitig das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (c_0 = \unit[3,0
\cdot 10^8]{\frac{m}{s}}) zur die Lichtgeschwindigkeit c im jeweiligen Stoff an:

(2)n = \frac{c_0}{c}

Für die Brechzahl von Vakuum gilt nach der obigen Formel n_0=1, für die Brechzahl von Luft in sehr guter Näherung ebenfalls.[2] In allen optischen Medien breitet sich das Licht mit geringerer Geschwindigkeit aus, so dass die (absoluten) Brechzahlen aller Materialien n \ge 1 gilt.

Die unterschiedlichen Brechzahlen verschiedener Materialien, die in vielen Lehrbüchern und in tabellarischer Form abgedruckt sind, können bei optischen Versuchen zur Materialbestimmung genutzt werden.

Brechzahlen gegenüber Vakuum für verschiedene Stoffe
Stoff Brechzahl n_{\mathrm{0}}
Eis 1,31
Wasser 1,33
Quarzglas 1,46
Plexiglas 1,49
Flintglas 1,70
Diamant 2,40

Tritt ein Lichtstrahl von einem Stoff mit der Brechzahl n_1 in einen anderen Stoff mit einer höheren Brechzahl n_2 > n_1 über, so wird er zur Senkrechten hin gebrochen. In diesem Fall gibt die so genannte relative Brechzahl \frac{n_2}{n_1} an, in welchem Verhältnis die Sinus-Werte des Einfalls- und Brechungswinkels stehen:

(3)\frac{n_2}{n_1} = \frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}

Beispiel:

  • Licht breitet sich in Glas oder Wasser langsamer aus als in Luft. Das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit in Luft c_{\mathrm{Luft}} zu der in Lichtgeschwindigkeit in Wasser c_{\mathrm{Wasser}} ist daher größer als 1:

    n_{\mathrm{Luft \rightarrow  Wasser}} = \frac{c_{\mathrm{Luft}}}{c_{\mathrm{Wasser}}} =
\frac{\unit[300 000]{\frac{km}{s} } }{\unit[225 000]{\frac{km}{s} } } = 1,33

    Das bedeutet nichts anderes, als dass der Einfallswinkel \alpha des Lichts um den Faktor 1,33 größer ist als der Brechungswinkel \beta. Das Licht wird zur senkrechten Gerade hin gebrochen.

Die Totalreflexion

Tritt ein Lichtstrahl von einem optischen Medium mit hoher Brechzahl n_1 in einen anderen Stoff mit niedriger Brechzahl n_2 über, so wird er von der Senkrechten weg gebrochen; der Brechungswinkel \beta ist in diesem Fall größer als der Einfallswinkel \alpha. Konkret gilt:

(4)\sin{\alpha } = \frac{n_2}{n_1} \cdot \sin{\beta }

fig-lichtbrechung-2

Lichtbrechung beim Übergang eines Lichtstrahls von einem optisch dicken in ein optisch dünnes Medium.

Bei einem bestimmten, von den beiden Materialien abhängigen Einfallswinkel \alpha_{\mathrm{max}} nimmt der Brechungswinkel \beta den Wert 90\degree an. In diesem Fall kann der einfallende Lichtstrahl nicht mehr aus dem optisch dichteren Medium in das optisch dünnere Medium übergehen, sondern wird reflektiert beziehungsweise verläuft längs der Grenzfläche beider Medien. Da hierbei \sin{90\degree} = 1 gilt, vereinfacht sich die obige Gleichung (4) zu folgender Formel:

\sin{\alpha_{\mathrm{max}}} = \frac{n_2}{n_1}

fig-lichtbrechung-totalreflexion

Totalreflexion beim Übergang eines Lichtstrahls von einem optisch dichten in ein optisch dünnes Medium.

Mit Hilfe eines Taschenrechners kann die Umkehrfunktion \text{asin} des Sinus (“Arcus-Sinus”) und somit der Grenzwinkel \alpha für das Auftreten von Totalreflexion anhand der beiden Brechzahlen n_1 und n_2 berechnet werden:[3]

(5)\alpha_{\mathrm{max}} = \text{sin}^{-1} \left(\frac{n_2}{n_1}
\right)

Hierbei ist zu beachten, dass bei der Totalreflexion n_1 die Brechzahl des optisch dichteren und n_2 die Brechzahl des optisch dünneren Mediums bezeichnet, also n_1 > n_2 und somit \frac{n_1}{n_2} < 1 gilt. Andernfalls kann keine Totalreflexion stattfinden.

Beispiel:

  • Für den Übergang eines Lichtstrahls von Wasser in Luft ist n_1 = 1,33 und n_2 = 1. Somit ergibt \frac{n_2}{n_1} \approx 0,752 und \alpha = \text{sin} ^{-1}(0,752)  \cdot \frac{360 \degree}{2 \cdot \pi}
\approx 48,75\degree.
  • Für den Übergang eines Lichtstrahls von Quarzglas in Wasser ist n_1 =
1,46 und n_2 = 1,33. Somit ergibt \frac{n_2}{n_1} \approx
0,911 und \alpha = \text{sin} ^{-1}(0,911) \cdot \frac{360 \degree}{2
\cdot \pi} \approx 65,64\degree.

Je größer der Unterschied der Brechzahlen n_1 und n_2 ist, desto kleiner ist der Grenzwinkel \alpha_{\mathrm{max}}, ab dem Totalreflexion auftritt. Ist der Einfallswinkel größer als der Grenzwinkel (\alpha >
\alpha_{\mathrm{max}}), so wird der Lichtstrahl an der Grenzfläche vollständig gemäß dem Reflexionsgesetz zurückgeworfen. Diese Eigenschaft wird zur Konstruktion von optischen Glasfaser- bzw. Kunstfaserkabeln als so genannte “Lichtleiter” genutzt.

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Totalreflexion in einem Lichtleiter.

Damit der Einfallswinkel an der Längswand stets groß genug ist, muss ein Lichtleiter möglichst dünn sein und darf nicht zu stark gebogen werden. Eine einzelne Faser eines Lichtleiter-Bündels hat meist einen Durchmesser von etwa \unit[0,01]{mm}.

Doppelte Lichtbrechung an einer ebenen Platte

Beim Durchgang durch eine ebene Platte, beispielsweise eine Glasscheibe, wird ein Lichtstrahl zweimal gebrochen: Beim Eintritt wird der Strahl zur Senkrechten hin, beim Austritt von der Senkrechten weg gebrochen. Da die Brechzahlen und somit die Ablenkungen in beiden Fällen gleich sind, erfährt der Lichtstrahl insgesamt nur eine parallele Verschiebung. In vielen Fällen, insbesondere bei dünnen Scheiben, kann der Effekt vernachlässigt und der doppelt gebrochene Lichtstrahl durch einen einzelnen, geraden Lichtstrahl ersetzt werden.

fig-lichtbrechung-ebene-platte

Lichtbrechung an einer ebenen Platte.

Eine Totalreflexion kann in diesem Fall nicht auftreten, da der Austrittswinkel des Lichtstrahls gleich dem Eintrittswinkel ist und für diesen (von der Senkrechten aus gemessen) stets \alpha < 90\degree gilt.

Doppelte Lichtbrechung an einem Prisma

Fällt ein Lichtstrahl auf ein Prisma, so wird er ebenfalls zweimal gebrochen – einmal beim Eintritt in das Prisma (Übergang Luft -> Glas) und ein weiteres mal beim Austritt aus dem Prisma (Übergang Glas -> Luft). Da die beiden Grenzflächen gegeneinander geneigt sind, wird wird der Lichtstrahl insgesamt zum dickeren Ende des Prismas hin abgelenkt.

fig-lichtbrechung-prisma

Lichtbrechung an einem Prisma.

Umso größer der Keilwinkel \gamma des Prismas ist (d.h. je stumpfer das Prisma ist), desto stärker ist der Winkel \delta, um den der einfallende Lichtstrahl abgelenkt wird.

Bei sehr stumpfen Prismen ist sogar eine Totalreflexion des einfallenden Lichts an dem Lichtstrahl gegenüber liegenden Fläche auftreten. Hierbei kann eine Ablenkung des Lichts um 90\degree bzw. 180\degree erreicht werden. Derartige “Umkehrprismen” werden beispielsweise in Fernrohre oder Fotokameras eingebaut, um eine Umlenkung bzw. Vertauschung parallel einfallender Strahlen zu erreichen.

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Ablenkung von Lichtstrahlen um 90\degree bzw. 180\degree an rechtwinkligen Prismen.

Optische Linsen

Geschliffene Gläser können einfallende Lichtstrahlen – je nach Bauform – bündeln oder zerstreuen. Solche glasartigen Körper, die meist kreisförmig sind und eine bestimmte Krümmung aufweisen, werden als “optische Linsen” bezeichnet. Ein bekanntes Beispiel ist die Lupe, mit deren Hilfe man ein vergrößertes Bild eines Gegenstandes erhalten kann.

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Sammellinse (linkes Bild) und Zerstreuungslinse (rechtes Bild) als typische Formen optischer Linsen.

Um die Bildentstehung an einer optischen Linse zu erklären, verwendet man (weitestgehend) die gleichen Begriffe wie bei der Beschreibung von gekrümmten Spiegeln:

  • Optische Achse:

    Die Gerade, die durch die Mitte der Linse verläuft und senkrecht zur Linsenebene steht, heißt optische Achse.

  • Parallelstrahlen:

    Alle Strahlen, die parallel zur optischen Achse auf eine optische Linse treffen, heißen Parallelstrahlen. Sie werden durch die Linse gesammelt beziehungsweise zerstreut und schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt hinter bzw. vor der Linse. Dieser Punkt auf der optischen Achse wird Brennpunkt F genannt.

    Der Abstand zwischen Linsenmittelpunkt und einem Brennpunkt wird Brennweite f genannt. Die Brennweite einer optischen Linse ist umso größer, desto flacher die Linse ist.

  • Brennpunktstrahlen:

    Alle Strahlen, die durch einen Brennpunkt einer optischen Linse verlaufen, werden durch die Linse so gebrochen, dass sie hinter der Linse parallel zur optischen Achse verlaufen.

  • Mittelpunktstrahlen:

    Strahlen, die durch den Linsenmittelpunkt verlaufen, werden beim Eintritt in das Linsenglas ebenso stark gebrochen wie beim Austritt. Mittelpunktstrahlen werden daher nur leicht parallel verschoben (bei dünnen Linsen kaum erkennbar). In guter Näherung durchlaufen Mittelpunktstrahlen die Linse somit unverändert.

Zeichnet man für einen beliebigen Gegenstandspunkt G zwei oder drei der oben genannten Strahlen ein, so erhält man den passenden Bildpunkt als Schnittpunkt der Strahlen.

Bildentstehung an einer Sammellinse

Bei der Abbildung eines Gegenstandes durch eine Sammellinse hängen Lage und Größe des Bildes von der Entfernung g des Gegenstands zur Linse und von deren Brennweite f ab.

Nähert man einen Gegenstand einer Sammellinse aus weiter Entfernung, so entfernt sich auch das Bild von der Sammellinse. Sammellinsen erzeugen umgekehrte, seitenvertauschte Bilder von Gegenständen, wenn sich diese außerhalb der Brennweite befinden.

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Bildentstehung an einer Sammellinse (Gegenstand außerhalb der Brennweite).

Zur Konstruktion des Bildes genügen wiederum die von einem Gegenstandspunkt ausgehenden Brennpunkt- und Parallelstrahlen, die durch die Sammellinse wiederum auf Parallel- bzw. Brennpunktstrahlen abgebildet werden. Der Schnittpunkt der gebrochenen Strahlen entspricht der Lage des Bildes.

Nähert man einen Gegenstand vom Brennpunkt her einer Sammellinse, so nähert sich auch das Bild der Sammellinse. Sammellinsen erzeugen vergrößerte und aufrechte Bilder der Gegenstände, wenn sie sich innerhalb der Brennweite befinden (Lupeneffekt).

fig-bildentstehung-sammellinse-innerhalb-brennweite

Bildentstehung an einer Sammellinse (Gegenstand innerhalb der Brennweite).

Zur Konstruktion des Bildes zeichnet man die einem Gegenstandspunkt ausgehenden Bildstrahlen hinter der Sammellinse weiter. Dabei ist zu beachten, dass Brennpunktstrahlen zu Parallelstrahlen werden und Mittelpunktstrahlen stets senkrecht auf die Linse treffen und diese somit ohne Lichtbrechung durchlaufen. Die Lage des Bildes entspricht dem Schnittpunkt der so verlängerten Parallel- bzw. Mittelpunktstrahlen hinter dem Gegenstand.

Aufgrund ihrer vergrößernden Wirkung werden flache Sammellinsen (mit einer großen Brennweite) unter anderem als Lupen und Objektive verwendet.

Bildentstehung an einer Zerstreuungslinse

Eine Zerstreuungslinse erzeugt stets aufrechte, verkleinerte Bilder. Nähert man einen Gegenstand an die Linsenoberfläche an, so bewegt sich auch das Bild des Gegenstands auf die Linse zu und wird dabei größer; es bleibt jedoch stets kleiner als das Original.

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Bildentstehung an einer Zerstreuungslinse

Zur Konstruktion des Bildes zeichnet man zu einem Gegenstandspunkt wiederum einen Parallel- und einen Brennpunktstrahl ein. Der Parallelstrahl wird durch die Zerstreuungslinse so gebrochen, dass die nach hinten gerichtete Verlängerung des Strahls durch den Brennpunkt verläuft. Das (stets verkleinerte) Bild befindet sich am Schnittpunkt des so verlängerten Parallelstrahls mit dem Mittelpunktstrahl zwischen dem Gegenstand und der Linse.


Anmerkungen:

[1]

Manchmal wird die Brechzahl auch Brechungsindex genannt.

Für kleine Einfallswinkel \alpha, also annähernd senkrechten Lichteinfall, kann die so genannte “Kleinwinkelnäherung” \sin{\alpha}
\approx \alpha genutzt werden (sofern \alpha im Bogenmaß angegeben wird). In diesem Fall gilt:

n = \frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}} \approx \frac{\alpha}{\beta}

Für steilere Einfallswinkel muss hingegen stets mit dem Brechungsgesetz in der allgemeinen Form (3) gerechnet werden.

[2]Transparente Materialien mit einem hoher Brechzahl werden oftmals als “optisch dicht”, Materialien mit einer niedrigeren Brechzahl entsprechend als “optisch dünn” bezeichnet.
[3]Exakt beträgt die Brechzahl laut Wikipedia (Brechungsindex) von Luft bei Normalbedingungen 1,000292. Starke Temperatur- und Feuchtigkeitsschwankungen können zu Abweichungen führen und optische Effekte verursachen (beispielsweise Fata Morgana).

Hinweis

Zu diesem Abschnitt gibt es Experimente und Übungsaufgaben.