Ausbreitung von Wärme

Ein von selbst ablaufender Austausch von Wärme erfolgt stets von einem Körper höherer Temperatur zu einem Körper niederer Temperatur, bis beide Körper die gleiche Temperatur erreicht haben (“Wärmegleichgewicht”). Die vom kalten Körper aufgenommene Wärmemenge Q_1 ist hierbei gleich der vom warmen Körper abgegebenen Wärmemenge Q_2.

Die Ausbreitung von Wärme kann auf drei Arten geschehen, die im folgenden Abschnitt näher beschrieben werden.

Die Wärmeleitung

Wird Wärme übertragen, obwohl der Körper selbst in Ruhe bleibt, so spricht man von Wärmeleitung. Dabei geben die schnellen Teilchen, aus denen der Körper besteht, ihre Energie allerdings durch Zusammenstöße an benachbarte, langsamere Teilchen ab. So gelangt Wärme von Orten mit hoher Temperatur zu Orten mit tieferer Temperatur.

In Festkörpern breitet sich die Wärme vorwiegend durch Wärmeleitung aus. In Flüssigkeiten und Gasen tritt ebenfalls, jedoch nur in geringem Maße, Wärmeleitung auf. Unterschiedliche Materialien können folglich die Wärme unterschiedlich gut leiten:

  • Alle Metalle sind gute Wärmeleiter. Allgemein haben alle Materialien, die eine hohe elektrische Leitfähigkeit \sigma aufweisen, auch eine hohe Wärmeleitfähigkeit \lambda.[1] Der Grund hierfür sind freie Elektronen, die sowohl elektrische Ladung als auch Wärme transportieren können.

    In der Technik werden Metalle beispielsweise als Kühlkörper an Motoren und Computerchips eingesetzt. In chemischen Laboren werden zur Verwendung von Bunsenbrennern feinmaschige Drahtgitter eingesetzt, um die Flamme nach oben hin zu begrenzen: Das Gitter leitet die Wärme ab, so dass das Gas auf der oberen Seite die Zündtemperatur nicht erreicht.

  • Glas, Porzellan, Plastik, Schaumstoff und Holz sind schlechte Wärmeleiter. Schaumstoff, Styropor u.s.w. wird in Bauwerken als Isolationsmaterial eingesetzt. Holzgriffe dienen an Werkzeugen und Töpfen als Wärmedämmung.

  • Flüssigkeiten sind schlechte, Gase sogar sehr schlechte Wärmeleiter. Dünne Luftschichten bis etwa \unit[3]{cm} dienen beispielsweise in Luftmatratzen als Isolationsschicht. In dickeren Schichten kann Luft zirkulieren (Wärmeströmung), wodurch die Isolationsfähigkeit erheblich absinkt.

Wärmeleitfähigkeiten verschiedener Materialien
Material \lambda in \unit{\frac{W}{m \cdot K}}
Silber 407
Kupfer 389
Aluminium 220
Eisen 74
Eis 2,2
Schaumstoffe, Glas, Porzellan, Beton \approx 1,0
Ziegelstein \approx 0,6
Holz (trocken) 0,1 bis 0,2
Wasser 0,6
Ethanol 0,17
Benzin 0,12
Luft 0,026

Die hohe Wärmedämm-Fähigkeit von Stroh (\lambda = 0,038), Styropor (\lambda = 0,036), Kork (\lambda = 0,036), Mineralwolle (\lambda = 0,035) oder Hohlziegeln beruht ebenfalls auf der schlechten Wärmeleitfähigkeit der eingeschlossenen Luft. Im Vakuum kann überhaupt keine Wärmeleitung stattfinden.

Quantitativ lässt sich die Wärmeleitung durch die in einer bestimmten Zeit transportierte Wärme beschreiben. Für den so genannten Wärmestrom I
_{\mathrm{Q}} gilt also:

(1)I_{\mathrm{Q}} = \frac{\Delta Q}{\Delta t}

Der Wärmestrom wird in Watt (Joule je Sekunde) gemessen.

Der Wärmestrom I_{\mathrm{Q}} ist einerseits proportional zum Temperaturunterschied \Delta T zwischen der heißen und der kalten Seite des Wärmeleiters, andererseits auch proportional zur Wärmeleitfähigkeit \lambda des Wärme leitenden Materials. Zusätzlich ist I_{\mathrm{Q}} direkt proportional zur Querschnittsfläche A und indirekt proportional zur Länge beziehungsweise Schichtdicke l des Wärmeleiters. Insgesamt gilt also:

(2)I_{\mathrm{Q}} = - \lambda \cdot \frac{A}{l}\Delta T

Das Minuszeichen gibt an, dass der Wärmestrom stets in Richtung der kälteren Materialseite stattfindet.[2]

Reihen- und Parallelschaltung von Wärmeleitern

Oftmals besteht ein Wärme leitender Körper, beispielsweise eine Wand mit Dämmschicht, aus mehr als einem Material. Werden dabei einzelne Schichten mit gleichen Flächen, aber unterschiedlichen Schichtdicken l_1 ,\, l_2 ,\,
\text{usw.} und unterschiedlichen Wärmeleitfähigkeiten \lambda_1 ,\,
\lambda_2 ,\, \text{usw.} durchlaufen, so handelt es sich um eine “Reihenschaltung” mehrerer Wärmeleiter.

Um den Wärmestrom in diesem Fall zu berechnen, muss man – wie beim Ohmschen Gesetz der Elektrizitätslehre – die “Wärmewiderstände” der einzelnen Schichten addieren. Dazu definiert man den so genannten Wärmedurchlasswiderstand R = \frac{l}{\lambda \cdot A}, mit dem sich die obige Gleichung für den Wärmestrom folgendermaßen formulieren lässt:[3]

I_{\mathrm{Q}} = \frac{\lambda \cdot A}{l} \cdot \Delta T = \frac{1}{R} \cdot
\Delta T

Besteht die Anordnung aus n hintereinander liegenden Schichten, so gilt für R:

(3)R_{\mathrm{ges}} = \sum_{i=1}^{n} R_i =  \frac{l_1}{\lambda_1 \cdot
A_1 } + \frac{l_2}{\lambda_2 \cdot A_2} + \ldots + \frac{l_n}{\lambda_n
\cdot A_n}

Die Einheit des Wärmewiderstands ist \unit{\frac{K}{W}}. Bei einer Reihenschaltung von Wärmewiderständen, beispielsweise einem doppelt verglastem Fenster oder einer Mauer mit Dämmschicht, sind die Querschnittsflächen der einzelnen Wärmewiderstände oftmals identisch; A kann in diesem Fall ausgeklammert werden. Allgemein gilt für den Wärmestrom I_{\mathrm{Q,RS}} bei einer Reihenschaltung:

(4)I_{\mathrm{Q, RS}} = \frac{1}{R_{\mathrm{ges}}} \cdot \Delta T =
\frac{1}{\left( \frac{l_1}{\lambda_1 \cdot A_1} + \frac{l_2}{\lambda_2 \cdot
A_2} + \ldots + \frac{l_n}{\lambda_n \cdot A_n}\right)} \cdot \Delta T

Sind die einzelnen Wärmeleiter nicht hintereinander, sondern nebeneinander angeordnet, so spricht man von einer “Parallelschaltung” mehrerer Wärmeleiter. In diesem Fall addieren sich die Kehrwerte der Wärmewiderstände zum Kehrwert des Gesamtwiderstands:

\frac{1}{R_{\mathrm{ges}}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{R_i}  = \frac{\lambda_1
\cdot A_1}{l_1} + \frac{\lambda_2 \cdot A_2}{l_2} + \ldots + \frac{\lambda_n
\cdot A_n}{l_n}

Haben alle parallel zueinander liegenden Wärmeleiter, wie beispielsweise bei einem Heizkörper oder einem Röhrenkollektor, die gleiche Querschnittsfläche A, so kann diese bei der Berechnung des Gesamtwiderstands ausgeklammert werden. Allgemein gilt für den Wärmestrom I_{\mathrm{Q,PS}} bei einer Parallelschaltung:

(5)I_{\mathrm{Q,PS}} = \frac{1}{R_{\mathrm{ges}}} \cdot \Delta T = \left( \frac{A_1
\cdot \lambda_1}{l_1} + \frac{A_2 \cdot \lambda_2}{l_2} + \ldots +
\frac{A_n \cdot \lambda_n}{l_n} \right) \cdot \Delta T

Diese Gleichung kann auch für eine Anordnung mehrerer paralleler Wärmeleiter mit unterschiedlich großen Flächen genutzt werden, beispielsweise einer Außenwand mit einem Fenster oder mehreren Fenstern. Gibt es mehrere Systemgrenzen mit unterschiedlichen Temperaturdifferenzen (beispielsweise Innenwände und Außenwände), so müssen die Wärmeströme durch die einzelnen Bereiche separat berechnet und ihre Werte addiert werden:

I_{\mathrm{Q, PS}} = \sum_{i=1}^{n}  \frac{\lambda_{\mathrm{i}}}{l_{\mathrm{i}}}
\cdot A_{\mathrm{i}} \cdot \Delta T_{\mathrm{i}}

Die Wärmeströmung

Strömende Flüssigkeiten und Gase können Wärme mitführen. Diese Art der Wärmeausbreitung, bei der die am Wärmetransport beteiligten Teilchen ihre Lage ändern, wird Wärmeströmung genannt.

Beispiele:

  • Winde und Meeresströmungen transportieren die Wärme vom Äquator in Richtung der Pole.

  • In einem Fön wird durch ein Windrad Luft angesaugt und an elektrisch beheizten Heizdrähten vorbei geleitet. So entsteht ein warmer Luftstrom. Mit dem Luftstrom gelangt Wärme an den gewünschten Ort.

  • Bei einer Warmwasserheizung wird die Wärme durch das Wasser von der Zentralheizung aus in die Heizkörper transportiert.

    Eine Vorrichtung zur Strömungserzeugung wie bei einem Fön ist dabei nicht nötig: An der erwärmten Stelle dehnt sich das Wasser aus, seine Dichte nimmt ab. Das erwärmte Wasser steigt deshalb nach oben. Kühleres Wasser strömt von der Seite her nach, so dass sich ein “Kreislauf” bildet.

  • Jede Flamme ruft in ihrer Umgebung eine Wärmeströmung hervor. Staub oder andere leichte Körper werden entlang dieser Strömung fort getragen. Durch die Wärmeströmung wird auch ständig frische Luft, die zur Verbrennung notwendig ist, zur Flamme transportiert.

Wärmeströmungen entstehen, weil sich Flüssigkeiten und Gase beim Erwärmen stark ausdehnen und dadurch ihre Dichte verringern. In Vakuum oder ruhenden Körpern kann keine Wärmeströmung stattfinden.

Quantitativ lässt sich die durch Wärmeströmung übertragene Wärmemenge nur schwer erfassen, da die mathematischen Zusammenhänge bei Strömungsvorgängen sehr kompliziert sind. In einem vereinfachten Modell kann jedoch angenommen werden, dass der Wärmestrom I_{\mathrm{Q,cv}} bei auftretender Konvektion proportional zur Oberfläche A, zum Temperaturunterschied \Delta
T zwischen Fluid und begrenzender Kontaktfläche sowie zu einem so genannten Wärmeübertragungskoeffizienten h_{\mathrm{cv}} ist:

(6)I_{\mathrm{Q,cv}} = h_{\mathrm{cv}} \cdot A \cdot \Delta T

Der Wärmeübertragungskoeffizient h_{\mathrm{cv}} wird in \unit{\frac{W}{m^2 \cdot K}} angegeben. Multipliziert man diesen mit der Temperaturdifferenz \Delta T der Kontaktflächen und ihrer Fläche A, so erhält man den Wärmestrom beziehungsweise die abgegebene Heizleistung in Watt. Für technische Anwendungen – beispielsweise in der Bauphysik – sind vor allem laminare Wärmeströmungen in Luft von Interesse. Für eine horizontal verlaufende warme Fläche kann hierbei näherungsweise h_{\mathrm{cv}} \approx
\unit[9]{\frac{W}{m^2 \cdot K}} angenommen werden, für eine vertikale ist h_{\mathrm{cv}} \approx \unit[5,5]{\frac{W}{m^2 \cdot K}}.

Die Wärmestrahlung

Heiße Körper senden stets Wärmestrahlung aus. Durch diese Strahlung kann Wärme ohne Mitwirkung von Materie übertragen werden.

Wärmestrahlung kann Luft durchdringen, ebenso ist sie hinter Fensterscheiben wahrnehmbar. Die meisten Körper jedoch absorbieren Wärmestrahlung und werden durch sie erwärmt. Allgemein kann auftreffende Wärmestrahlung von einem Körper absorbiert, reflektiert, oder durchgelassen werden; Die Summe dieser drei Anteile ergibt stets 100\%.

Beispiele:

  • Körper mit dunkler Oberfläche absorbieren einen größeren Teil der Strahlung als Körper mit heller Oberfläche; sie erwärmen sich daher schneller. Der übrige Teil der Strahlung wird reflektiert.
  • Glänzende Metalloberflächen reflektieren einen großen Teil der Wärmestrahlung, die restliche Wärmestrahlung wird absorbiert.
  • Durchsichtiges Glas absorbiert nur einen kleinen Teil der Wärmestrahlung. Die Wärmestrahlung wird zum Teil reflektiert, zum Teil kann sie das Glas durchdringen. Ebenso erwärmen sich stehende Gewässer durch Sonnenstrahlen nur in der Nähe der Oberfläche; Wärmestrahlung kann dicke Wasserschichten nicht durchdringen.

Quantitativ kann die von einem heißen Gegenstand ausgestrahlte Wärmestrahlung – ähnlich wie bei den anderen Wärmetransportarten – durch den Wärmestrom I_{\mathrm{Q,s}} beschrieben werden:

I_{\mathrm{Q,s}} = \frac{\Delta Q}{\Delta t}

Diese Größe wird bisweilen auch “Bestrahlungsstärke” genannt, ihre Einheit ist Watt je Quadratmeter. Beispielsweise kann in Mitteleuropa die Sonne an einem wolkenlosen Sommertag eine Bestrahlungsstärke von rund \unit[1000]{\frac{W}{m^2}} erreichen.[4]

Jedes Objekt, das Wärmestrahlung absorbieren kann, emittiert diese auch entsprechend effizient. Ein idealer “schwarzer Körper”, wie er in der Wärmelehre oft als vereinfachendes Modell angenommen wird, kann einerseits die auftreffende Wärmestrahlung zu 100\% absorbieren und andererseits die seiner Temperatur entsprechende Wärmestrahlung bestmöglich abstrahlen. Für einen solchen Körper gilt das nach den Entdeckern Josef Stefan und Ludwig Boltzmann benannte Strahlungsgesetz, wonach die Intensität der Wärmestrahlung proportional zur vierten Potenz der absoluten Temperatur (gemessen in Kelvin) ist:

(7)I_{\mathrm{Q,s}} = \sigma \cdot A \cdot T^4

Die dabei auftretende Konstante \sigma = \unit[5,670 \cdot
10^{-8}]{\frac{W}{m^2 \cdot K^4}} wird dabei als “Stefan-Boltzmann-Konstante” bezeichnet. Bei der Wärmestrahlung selbst handelt es sich – wie auch bei Licht – um elektromagnetische Wellen. Von einem heißen Körper wird allerdings nicht nur eine einzelne Wellenlänge, sondern vielmehr ein kontinuierliches Spektrum an unterschiedlichen Wellenlängen abgestrahlt. Die Verteilung der abgestrahlten Energiemengen bei einer bestimmten Temperatur ist dabei wiederum von der Wellenlänge \lambda abhängig.

Kann ein Objekt Wärmestrahlung nicht zu 100\% absorbieren oder emittieren, so muss in der obigen Formel (7) auf der rechten Gleichungsseite noch ein Zahlenfaktor 0 \le \varepsilon \le
1 eingefügt werden, der den Emissions- beziehungsweise Absorptionsgrad des Objekts berücksichtigt:

(8)I_{\mathrm{Q,s}} = \varepsilon \cdot \sigma \cdot A \cdot T^4

Der Emissions- beziehungsweise Absorptionsgrad \varepsilon eines Objekts kann bei unterschiedlichen Wellenlängen unterschiedlich groß sein.

fig-waermestrahlung-schwarzer-koerper

Die spektrale Energiedichte (abgestrahlte Energie je Wellenlänge) der Wärmestrahlung eines schwarzen Körpers bei verschiedenen Temperaturen.

Mit steigender Temperatur verschiebt sich das Spektrum der Strahlung zu kürzeren Wellenlängen. Während bei geringen Temperaturen die abgestrahlten Wellenlängen überwiegend im infraroten Bereich liegen, beginnt eine heiße Oberfläche ab einer Temperatur von mindestens T=\unit[700]{\degree C} (rund \unit[1000]{K}) für das menschliche Auge sichtbar zu glühen. Quantitativ lässt sich dieser Zusammenhang durch das nach seinem Entdecker Wilhelm Wien benannte “Wiensche Verschiebungsgesetz” beschreiben:

(9)\lambda_{\mathrm{max}} = \frac{\unit[2897,8]{\mu m \cdot K}}{T}

Hierbei beschreibt \lambda_{\mathrm{max}} das Maximum der spektralen Energiedichte bei einer bestimmten (absoluten) Temperatur T. Für eine Temperatur von etwa \unit[5800]{K} stimmt die Wärmestrahlung eines schwarzen Körpers in sehr guter Näherung mit dem Strahlungsspektrum der Sonne überein.


Anmerkungen:

[1]Die Proportionalität zwischen Wärmeleitwert \lambda und elektrischem Leitwert \sigma lässt sich durch die Gleichung \frac{\lambda}{\sigma} = \text{konst} \cdot T beschreiben. Dieser Zusammenhang wird nach ihren Entdeckern Gustav Wiedemann und Rudolph Franz auch als “Wiedemann-Franzsches Gesetz” bezeichnet.
[2]Der Wärmestrom I_{\mathrm{Q}} wird von einem Temperaturgefälle \Delta T ebenso angetrieben wie ein elektrischer Strom I von einer elektrischen Spannungsdifferenz \Delta U. Die gleiche Gesetzmäßigkeit gilt außerdem auch bei Diffusionsströmen, die wird Konzentrationsdifferenzen \Delta c angetrieben werden.
[3]

Die Analogie zum Ohmschen Gesetz der Elektrizitätslehre besteht darin, dass dieses folgendermassen geschrieben werden kann:

I = \frac{\Delta Q_{\mathrm{el}}}{\Delta t} = \frac{U}{R_{\mathrm{el}}}

Für die Wärmeleitung gilt:

I_{\mathrm{Q}} = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = \left( \frac{\lambda \cdot
A}{l}\right) \cdot \Delta T

Die Wärmestrom entspricht somit der elektrischen Stromstärke, nur dass keine elektrische Ladungsmenge Q_{\mathrm{el}}, sondern eine Wärmemenge (ebenfalls mit Q bezeichnet) innerhalb einer bestimmten Zeit t transportiert wird. Die Temperaturdifferenz \Delta T hat für die Wärmeleitung die gleiche Bedeutung wie die elektrische Spannung U für den elektrischen Stromfluss: Ohne Temperaturdifferenz gibt es keinen Wärmestrom.

Der elektrische Widerstand kann mittels des spezifischen Widerstands \rho des leitenden Materials ausgedrückt werden als:

R_{\mathrm{el}} = \frac{\rho \cdot l}{A}

Verwendet man anstelle des spezifischen Widerstands \rho die spezifische Leitfähigkeit \sigma = \frac{1}{\rho} als materialspezifische Kenngröße, so gilt für den elektrischen Widerstand:

R_{\mathrm{el}} = \frac{l}{\sigma \cdot A}

Die elektrische Wärmeleitfähigkeit \sigma entspricht der Wärmeleitfähigkeit \lambda; der Term \frac{\lambda \cdot
A}{l} kann somit als Kehrwert des Wärmewiderstands R angesehen werden.

[4]Außerhalb der Lufthülle der Erde beträgt die Strahlungsintensität der Sonne im Jahresmitte \unit[1367]{\frac{W}{m^2}}; diese Größe wird mitunter auch als “Solarkonstante” bezeichnet.

Hinweis

Zu diesem Abschnitt gibt es Experimente und Übungsaufgaben.