Lösungen zur Mengenlehre

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Mengenlehre.


  • Eine Vereinigungsmenge enthält alle Elemente, die zu (mindestens) einer der beiden Teilmengen gehören. Für \mathbb{M}_1 \cup \mathbb{M}_2 ergibt sich im gegebenen Fall somit:

    \mathbb{M}_1 \cup \mathbb{M}_2 =  \{ a,\, b,\, c,\, d \} \cup \{ b,\, c,\, d,\, e,\, f \} = \{ a,\, b,\, c,\, d,\, e,\, f \}

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  • Eine Schnittmenge enthält alle Elemente, die gleichzeitig zu beiden Teilmengen gehören. Für \mathbb{M}_1 \cap \mathbb{M}_2 ergibt sich in den einzelnen Fäll somit:

    \begin{array}{>{\arraybackslash$}p{8cm}<{$} >{\arraybackslash$}p{8cm}<{$}}
    \text{a) }  \{ 1,\,2,\,3,\,4 \} \cap \{ 2,\,4,\,6,\,8,\,10 \} = \{ 2,\, 4 \}&
    \text{b) }  \{ a,\,b,\,c,\,d \} \cap \{ m,\,n,\,o,\,p,\,q \} = \emptyset \\[12pt]
    \text{c) }  \{ \frac{9}{3},\, 4,\, 5^2 \} \cap \{ 3^3,\, \sqrt{9},\, 7\} = \{ 3 \} &
    \text{d) }  \{ x \, | \; x < 5 \} \cap \{ x \, | \; x \ge 3 \} \\[4pt]
    & \phantom{\text{d) }} = \{ x\,|\; 3 \le x < 5 \}\\[12pt]
\end{array}

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  • Als Differenzmenge \mathbb{M}_1 \setminus \mathbb{M}_2 ergibt sich für diese beiden Mengen:

    \mathbb{M}_1 \setminus \mathbb{M}_2 &= \{ 1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6\}  \setminus
\{ 4,\, 5,\, 6,\, 7,\, 8,\, 9,\, 10\} =  \{ 1,\, 2,\, 3 \} \\[8pt]
\mathbb{M}_2 \setminus \mathbb{M}_1 &= \{ 4,\, 5,\, 6,\, 7,\, 8,\, 9,\, 10\} \setminus
 \{ 1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6\} =  \{ 7,\, 8,\, 9,\, 10 \}

    Es ist somit offensichtlich (\mathbb{M}_1 \setminus \mathbb{M}_2) \ne
(\mathbb{M}_2 \setminus \mathbb{M}_1).

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Abbildungen und Funktionen

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Abbildungen, Funktionen, Relationen und Operationen.


  • Die Abbildung kann als Teil der Produktmenge \mathbb{M}_1 \times
\mathbb{M}_2 aufgefasst werden; bezeichnet man diese Teilmenge als F, so gilt:

    F = \{ (1;\,6),\,  (1;\,8),\,  (3;\,7),\, (5;\,9)  \}

    Die Abbildung ist keine Funktion, da das Element 1 aus der Menge \mathbb{M}_1 nicht eindeutig auf ein Element der Menge \mathbb{M}_2 abgebildet wird.

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