Lineare Gleichungssysteme

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Lineare Gleichungssysteme.

  • Multipliziert man die zweite Gleichung (\mathrm{II}) mit dem Faktor 2, so nehmen die Koeffizienten in der x_1-Spalte die gleichen Werte an:

    (\mathrm{I}): \quad 4 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 &= \;\,-6 \\ (\mathrm{II}): \quad 2 \cdot x_1 - 3 \cdot x_2 &= \;\,-7 \\[12pt] \Rightarrow (\mathrm{I}): \quad 4 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 &= \;\,-6 \\ (2 \cdot \mathrm{II}): \quad 4 \cdot x_1 - 6 \cdot x_2 &= -14

    Subtrahiert man nun beide Gleichungen voneinander, so bleibt die erste Zeile unverändert, während die zweite Zeile durch die Differenz aus der ersten und zweiten Gleichung ersetzt wird.

    \Rightarrow (\mathrm{I}): \quad 4 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 &= -6 \\ (\mathrm{I} - \mathrm{II}): \qquad \;\,\, 0 + 8 \cdot x_2 &= +8

    Die zweite Zeile stellt nun eine Gleichung mit nur einer Unbekannten dar; beim Auflösen dieser Gleichung erhält man das Ergebnis x_2 = 1. Setzt man diesen Wert für x_2 in die Gleichung \mathrm{I} ein, so erhält man für die andere Unbekannte:

    4 \cdot x_1 + 2 \cdot 2 = -6 \quad \Longleftrightarrow \quad 4 \cdot x_1 = -8 \quad \Longleftrightarrow \quad x_1 = -2

    Das Gleichungssystem hat somit die Lösung \mathbb{L} = \{ (-2 ;\; 1) \}.

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  • Bezeichnet man die Anzahl an Sätzen, die der erste Spieler gewonnen hat, mit x_1 und entsprechend die Anzahl der vom anderen Spieler gewonnenen Sätze mit x_2, so entspricht das Rätsel folgendem linearen Gleichungssystem:

    x_1 + 1 &= 2 \cdot (x_2 - 1) \\ x_1 - 1 &= x_2 + 1 \\

    Dieses Gleichungssystem kann beispielsweise dadurch gelöst werden, indem man die zweite Gleichung nach x_1 auflöst; man erhält dadurch x_1 = x_2 + 2. Setzt man diesen Ausdruck für x_2 in die erste Gleichung ein, so erhält man:

    (x_2+2) + 1 &= 2 \cdot (x_2 - 1) \\ x_2 + 3 &= 2 \cdot x_2 - 2) \\ x_2 &= 5 \\

    Der zweite Spieler hat somit insgesamt 5 Sätze gewonnen, der erste wegen der Beziehung x_1 = x_2 + 2 insgesamt 7 Sätze.

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  • \text{a) } Ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten hat genau dann eine Lösung, wenn es bei Betrachtung von nur zwei der drei Gleichungen eine Lösung hat und diese auch für die dritte Gleichung gilt.

    (\mathrm{I}): \qquad \phantom{+}2 \cdot x_1 + 8 \cdot x_2 &= \phantom{+2}4 \\[4pt] (\mathrm{II}): \qquad -5 \cdot x_1 + 4 \cdot x_2 &= \phantom{+}20 \\[4pt] (\mathrm{III}): \qquad \phantom{+}7 \cdot x_1 + 4 \cdot x_2 &= -16

    Es genügt also, zunächst beispielsweise folgendes Gleichungsystem zu betrachten:

    (\mathrm{I}): \qquad \phantom{+}2 \cdot x_1 + 8 \cdot x_2 &= \phantom{2}4 {\color{white}...}\\[4pt] (\mathrm{II}): \qquad -5 \cdot x_1 + 4 \cdot x_2 &= 20

    Multipliziert man die zweite Gleichung mit dem Faktor 2, so kann man diese von der ersten Gleichung subtrahieren, um das Gleichungssystem auf eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten zu reduzieren:

    (\mathrm{I}): \qquad \phantom{+1}2 \cdot x_1 + 8 \cdot x_2 &= \phantom{2}4 {\color{white}\qquad \quad ...}\\[4pt] (2 \cdot \mathrm{II}): \qquad -10 \cdot x_1 + 8 \cdot x_2 &= 40 \\[12pt] (\mathrm{I} - 2 \cdot \mathrm{II}): \qquad \;\phantom{+}12 \cdot x_1 \phantom{+8 \cdot x_2} &= -36

    Diese Gleichung liefert x_1=-3 als Ergebnis. Setzt man diesen Wert für x_1 in die erste Gleichung ein, so erhält man für x_2:

    2 \cdot (-3) + 8 \cdot x_2 &= \phantom{1}4 \\ 8 \cdot x_2 &= 10 \\ x_2 &= \phantom{1}1,25 \\

    Nun ist zu prüfen, ob auch die dritte Gleichung durch die Variablen-Werte x_1 = -3 und x_2=1,25 erfüllt wird:

    \phantom{+}7 \cdot (-3 ) + 4 \cdot (1,25) &= -16\\[4pt] -21 + 5 &= -16 \quad \checkmark

    Die gefundene Lösung erfüllt auch die dritte Gleichung. Das Gleichungssystem hat somit eine eindeutige Lösung, und zwar \mathbb{L} = \{(-3;\, 1,25)\}.

  • \text{b) } Wiederum betrachtet man zunächst nur zwei der drei Gleichungen. Multipliziert man beispielsweise die dritte Gleichung mit 4 und addiert sie zur zweiten, so erhält man eine neue Gleichung, die nur die Variable x_1 als Unbekannte hat:

    (\mathrm{II}): \quad \phantom{+}5 \cdot x_1 - 4 \cdot x_2 &= \;\,-2 \\[4pt] (\mathrm{4 \cdot III}): \quad -8 \cdot x_1 + 4 \cdot x_2 &= -16\\[20pt] (\mathrm{II} + 4 \cdot \mathrm{III}): \quad -3 \cdot x_1 \phantom{+ 4 \cdot x_2} &= -18

    Aus dieser Gleichung folgt x_1 = 6. Setzt man diesen Wert für x_1 in Gleichung \mathrm{(II)} ein, so erhält man für x_2:

    5 \cdot 6 - 4 \cdot x_2 &= \;\;-2 \\ - 4 \cdot x_2 &= -32 \\ \Rightarrow \; x_2 &= \phantom{-3}8 \\

    Nun ist zu prüfen, ob auch Gleichung \mathrm{(I)} durch die Variablen-Werte x_1 = 6 und x_2=8 erfüllt wird:

    -3 \cdot 6 + 7 \cdot 8 & = 15 \\ -18 + 56 & = 15 \\ 38 & = 15 \quad \text{\Lightning}

    Die gefundene Lösung erfüllt zwar die zweite und dritte, nicht jedoch die erste Gleichung. Das Gleichungssytem ist somit nicht lösbar, die Lösungsmenge ist also die leer: \mathbb{L} = \{ \}.

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  • Bei einem Gleichungssystem mit drei Unbekannten und nur zwei Gleichungen stellt die dritte Variable einen frei wählbaren Parameter dar; das Gleichungssystem kann folglich nur in Abhängigkeit dieser Variablen gelöst werden.

    Im konkreten Fall soll das Gleichungssystem in Abhängigkeit von der Variablen x_3 gelöst werden. Hierzu sortiert man diese als erstes auf die rechte Seite des Gleichungssystems (so, als ob es sich dabei um einen gewöhnlichen Zahlenwert handeln würde). Man erhält:

    (\mathrm{I}): \quad \phantom{+}1 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 &= -6 -2 \cdot x_3 \\[4pt] (\mathrm{II}): \quad -1 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 &= \phantom{-}4 +1 \cdot x_3

    Dieses Gleichungssystem kann man beispielsweise lösen, indem man die zweite Gleichung von der ersten subtrahiert. Man erhält dann als Gleichung für x_1:

    (\mathrm{I - II}): \quad \phantom{+}2 \cdot x_1 \phantom{+ 0 \cdot x_2 } &= -10 - 3 \cdot x_3 \\[4pt] \Rightarrow \qquad \phantom{2 \cdot }x_1 \phantom{+ 0 \cdot x_2 } &= -\phantom{1}5 - 1,5 \cdot x_3

    Somit ist x_1 in Abhängigkeit von x_3 bestimmt. Setzt man diesen Ausdruck für x_1 in die zweite Gleichung ein, so erhält man für x_2:

    -1 \cdot (-5 - 1,5 \cdot x_3) + 2 \cdot x_2 & = \phantom{-}4 + 1 \cdot x_3 \\[4pt] +5 + 1,5 \cdot x_3 + 2 \cdot x_2 & = \phantom{-}4 + 1 \cdot x_3 \\[4pt] 2 \cdot x_2 & = -1 - 0,5 \cdot x_3 \\[4pt] x_2 & = -0,5 - 0,25 \cdot x_3

    Die Lösungsmenge des Gleichungssystems in Abhängigkeit von x_3 lautet somit \mathbb{L}=\{-5 - 1,5 \cdot x_3;\, -0,5 - 0,25 \cdot x_3\}.

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