Ungleichungen¶

Quadratische Ungleichungen¶

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Quadratische Ungleichungen.

Mittels des Satzes von Vieta kann man schnell ermitteln, dass die Gleichung $x^2 + 9 \cdot x + 14 = 0$ die Nullstellen $x_1=2$ und $x_2=7$ besitzt; man kann die Ungleichung also auch folgendermaßen darstellen:

$x^2 + 9 \cdot x + 14 &< 0 \\[4pt] \Longleftrightarrow (x-2) \cdot (x-7) &< 0 \\[4pt]$

Die Ungleichung ist dann erfüllt, wenn einer der beiden Faktoren auf der linken Seite größer Null und der andere kleiner Null ist. Mit dieser Fallunterscheidung ergibt sich:
- Für $(x-2) > 0$ und $(x-7) < 0$ :
  
  $x - 2 > 0 \quad \text{ und } \quad x - 7 < 0 \\[4pt] x > 2 \quad \text{ und } \quad x < 7 \\[4pt]$
  
  Die Lösungsmenge für diesen Fall ist somit $\mathbb{L}_1 = \; ]2;\; 7[$ .
- Für $(x-2) < 0$ und $(x-7) > 0$ :
  
  $x - 2 < 0 \quad \text{ und } \quad x - 7 > 0 \\[4pt] x < 2 \quad \text{ und } \quad x > 7 \\[4pt]$
  
  Die Lösungsmenge für diesen Fall ist die leere Menge, also $\mathbb{L}_2 = \emptyset$ .
Die Gesamt-Lösungsmenge ist gleich der Vereinigungsmenge beider Fälle; es ist somit $\mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_2 = \; ]2;\; 7[$ .

Zurück zur Aufgabe

Betragsungleichungen¶

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Betragsungleichungen.

Der Term $|x-1|$ ist, sofern $x \ge 1$ ist, identisch mit $x-1$ , andernfalls identisch mit $-(x-1)$ . Mit dieser Fallunterscheidung ergibt sich:
- Für $x \ge 1$ :
  
  $x-1 < 4 \quad \Longleftrightarrow \quad x < 5$
  
  Die Lösungsmenge für diesen Fall ist somit $\mathbb{L}_1 = \;[1;\; 5[$ .
- Für $x < 1$ :
  
  $-(x-1) < 4 \quad \Longleftrightarrow \quad -x < 3 \quad \Longleftrightarrow \quad x > -3$
  
  Die Lösungsmenge für diesen Fall ist somit $\mathbb{L}_2 = \; ]\!-3;\; 1[$ .
Die Gesamt-Lösungsmenge ist gleich der Vereinigungsmenge beider Fälle; es ist somit $\mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_2 = \; ]\!-3;\; 5[$ .

Zurück zur Aufgabe