Lösungen zur Linearen Algebra und analytischen Geometrie¶

Determinanten¶

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Determinanten.

Um die Determinante mittels der Regel von Sarrus zu bestimmen, schreibt man die erste und zweite Spalte noch einmal hinter die dritte Spalte. Dann berechnet man zunächst die Produkte der Zahlen in jeder Hauptdiagonalen (von links oben nach rechts unten) und bildet ihren Summenwert:

$& \begin{matrix} 1 & &3 & & \!\!\!\!-2 & & 1 & & 3\\ & \searrow & & \searrow & & \searrow \\ \!\!\!\!-1 & & \!\!\!\!-5 & & 4 & & \!\!\!\!-1 & & \!\!\!\!-5 \\ & & & \searrow & & \searrow & & \searrow \\ 0 & & 7 & & \!\!\!\!-2 & & 0 & &7 \end{matrix} \\[6pt] & = 10 + 0 + 14 = 24$

Anschließend bildet man die Summe der Produkte der in den Nebendiagonalen stehenden Zahlen (links unten nach rechts oben):

$& \begin{matrix} 1 & &3 & & \!\!\!\!-2 & & 1 & & 3\\ & & & \nearrow & & \nearrow & & \nearrow \\ \!\!\!\!-1 & & \!\!\!\!-5 & & 4 & & \!\!\!\!-1 & & \!\!\!\!-5 \\ & \nearrow & & \nearrow & & \nearrow \\ 0 & & 7 & & \!\!\!\!-2 & & 0 & &7 \end{matrix} \\[6pt] & = 0 + 28 + 6 = 34$

Schließlich subtrahiert man beide Werte voneinander; das Ergebnis lautet somit $24-34 = -10$ .

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$\text{a) }$ Zunächst kann man anhand der Koeffizienten-Determinate prüfen, ob das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist:

$\begin{vmatrix} a_{\mathrm{11}} & a_{\mathrm{12}} \\ a_{\mathrm{21}} & a_{\mathrm{22}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & \phantom{+}5 \\ 3 & -9 \end{vmatrix} = -9 -15 = -24$

Der Wert der Determinante ist ungleich Null, das Gleichungssystem ist somit eindeutig lösbar.

Zur Bestimmung der Unbekannten $x_1$ bildet man eine zweite Determinante, wobei die Koeffizienten von $x_1$ (die erste Spalte) durch die Werte auf der rechten Gleichungsseite ersetzt werden:

$\begin{vmatrix} b_1 & a_{\mathrm{12}} \\ b_2 & a_{\mathrm{22}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 8 & \phantom{+}5 \\ -24 & -9 \end{vmatrix} = -72 - (-120) = 48$

Dividiert man den Wert dieser Determinante durch den Wert der Koeffizienten-Determinate, so erhält man als Wert für $x_1$ :

$x_1 = \frac{\begin{vmatrix} b_1 & a_{\mathrm{12}} \\ b_2 & a_{\mathrm{22}} \end{vmatrix} }{\begin{vmatrix} a_{\mathrm{11}} & a_{\mathrm{12}} \\ a_{\mathrm{21}} & a_{\mathrm{22}} \end{vmatrix} } = \frac{\phantom{+}48}{-24} = -2$

Zur Bestimmung der Unbekannten $x_2$ kann man entsprechend eine weitere Determinante bilden, bei der nun die Koeffizienten von $x_2$ (die zweite Spalte) durch die Werte auf der rechten Gleichungsseite ersetzt werden:

$\begin{vmatrix} a_{\mathrm{11}} & b_1 \\ a_{\mathrm{21}} & b_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & \phantom{+0}8 \\ 3 & -24 \end{vmatrix} = -24 - 24 = -48$

Dividiert man den Wert dieser Determinante durch den Wert der Koeffizienten-Determinate, so erhält man als Wert für $x_2$ :

$x_2 = \frac{\begin{vmatrix} a_{\mathrm{11}} & b_1 \\ a_{\mathrm{21}} & b_2 \end{vmatrix} }{\begin{vmatrix} a_{\mathrm{11}} & a_{\mathrm{12}} \\ a_{\mathrm{21}} & a_{\mathrm{22}} \end{vmatrix} } = \frac{-48}{\phantom{+}24} = +2$

Das Gleichungssystem hat somit die Lösung $\mathbb{L} = \{ (-2 ;\; 2) \}$ .

$\text{b) }$ Zunächst kann man wiederum anhand der Koeffizienten-Determinate prüfen, ob das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Nach der Regel von Sarrus erhält man:

$\begin{vmatrix} a_{\mathrm{11}} & a_{\mathrm{12}} & a_{\mathrm{13}} \\ a_{\mathrm{21}} & a_{\mathrm{22}} & a_{\mathrm{23}} \\ a_{\mathrm{31}} & a_{\mathrm{32}} & a_{\mathrm{33}} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \phantom{+}5 & \phantom{+}2 & -3 \\ -2 & -7 & \phantom{+}3 \\ \phantom{+}3 & -9 & \phantom{+}1 \end{vmatrix} = -35 + 18 + (-54) - 63 - (-135) - (-4) = 5$

Der Wert der Determinante ist ungleich Null, das Gleichungssystem ist somit eindeutig lösbar.

Zur Bestimmung der Unbekannten $x_1$ bildet man erneut eine Determinante, wobei die Koeffizienten von $x_1$ (die erste Spalte) durch die Werte auf der rechten Gleichungsseite ersetzt werden:

$\begin{vmatrix} b_1 & a_{\mathrm{12}} & a_{\mathrm{13}} \\ b_2 & a_{\mathrm{22}} & a_{\mathrm{23}} \\ b_3 & a_{\mathrm{32}} & a_{\mathrm{33}} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 11 & \phantom{+}2 & -3 \\ \phantom{1}1 & -7 & \phantom{+}3 \\ 15 & -9 & \phantom{+}1 \end{vmatrix} = -77 + 90 + 27 - 315 + 297 - 2 = 20$

Dividiert man den Wert dieser Determinante durch den Wert der Koeffizienten-Determinate, so erhält man als Wert für $x_1$ :

$x_1 = \frac{20}{5} = 4$

Zur Bestimmung der Unbekannten $x_2$ geht man wiederum von der ursprünglichen Determinante aus, ersetzt allerdings die Koeffizienten von $x_2$ (die zweite Spalte) durch die Werte auf der rechten Gleichungsseite:

$\begin{vmatrix} a_{\mathrm{11}} & b_1 & a_{\mathrm{13}} \\ a_{\mathrm{21}} & b_2 & a_{\mathrm{23}} \\ a_{\mathrm{31}} & b_3 & a_{\mathrm{33}} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \phantom{+}5 & 11 & -3 \\ -2 & \phantom{1}1 & \phantom{+}3 \\ \phantom{+}3 & 15 & \phantom{+}1 \end{vmatrix} = 5 + 99 + 90 - (-9) - 225 - (-22) = 0$

Der Wert dieser Determinante ist Null; somit ergibt auch eine Division durch den Wert $5$ der Koeffizienten-Determinante den Wert $0$ :

$x_2 = \frac{0}{5} = 0$

Zur Bestimmung der Unbekannten $x_3$ geht man erneut von der ursprünglichen Determinante aus, ersetzt allerdings die Koeffizienten von $x_3$ (die zweite Spalte) durch die Werte auf der rechten Gleichungsseite:

$\begin{vmatrix} a_{\mathrm{11}} & a_{\mathrm{12}} & b_1 \\ a_{\mathrm{21}} & a_{\mathrm{22}} & b_2 \\ a_{\mathrm{31}} & a_{\mathrm{32}} & b_3 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \phantom{+}5 & \phantom{+}2 & 11 \\ -2 & -7 & \phantom{1}1 \\ \phantom{+}3 & -9 & 15 \end{vmatrix} = -525 + 6 + 198 - (-231) - (-45) - (-60) = 15$

Dividiert man den Wert dieser Determinante durch den Wert der Koeffizienten-Determinate, so erhält man als Wert für $x_3$ :

$x_3 = \frac{15}{5} = 3$

Das Gleichungssystem hat somit die Lösung $\mathbb{L} = \{ (4 ;\; 0 ;\; 3) \}$ .

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