Körpereigenschaften¶

Volumen¶

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Volumen.

Wird die Farbe gleichmäßig aufgetragen, so gilt für das zum Anstreichen einer Fläche $A$ mit einer Schichtdicke $h$ benötigte Farbvolumen:

$V = A \cdot h$

Umgekehrt kann aus dieser Formel die Dicke $h$ der Farbschicht berechnet werden, wenn das Volumen $V$ und die Fläche $A$ bekannt sind. Dazu muss nur berücksichtigt werden, dass ein Liter einem Kubik-Dezimeter entspricht:

$\unit[1]{l} \equiv \unit[1]{dm^3} = \unit[\frac{1}{1000} ]{m^3}$

Somit gilt:

$h = \frac{V}{A} = \frac{\unit[\frac{1}{1000} ]{m^3}}{\unit[6]{m^2}} \approx \unit[0,00017]{m} = \unit[0,17]{mm}$

Bei der Etikettenangabe wird somit davon ausgegangen, dass die Farbe mit einer Schichtdicke von knapp $\unit[0,2]{mm}$ aufgetragen wird.

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Die Fläche $A$ der (rechteckigen) Blechtafel ist gleich dem Produkt aus ihrer Länge $l$ und Breite $b$ :

$A = l \cdot b = \unit[1,50]{m} \cdot \unit[1,20]{m} = \unit[1,80]{m^2}$

Das Volumen $V$ der nötigen Lackschicht kann damit als Produkt der Fläche $A$ und der (gleichmäßigen) Schichtdicke $h = \unit[0,1]{mm} = \unit[0,000\,1]{m}$ berechnet werden:

$V = A \cdot h = \unit[1,8]{m^2} \cdot \unit[0,000\,1]{m} = \unit[0,000\,18]{m^3} = \unit[0,18]{dm^3}$

Zum Streichen der Fläche mit der angegebenen Schichtdicke sind somit je Fläche rund $\unit[0,2]{dm^3} = \unit[0,2]{l}$ nötig; für beide Seiten sind entsprechend $\unit[0,4]{l}$ Lack notwendig.

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Dichte¶

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Dichte.

In Kork und Styropor ist verhältnismäßig viel Luft eingelagert. Körper aus Kork oder Styropor nehmen daher bei einer bestimmten Masse $m$ ein großes Volumen $V$ ein. Die Dichte $\rho = \frac{m}{V}$ ist somit gering.

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Die Formel für die Dichte $\rho$ eines Körpers lautet $\rho =\frac{m}{V}$ . Die Masse $m$ und das Volumen $V$ des Würfels sind bekannt. Eingesetzt ergibt sich:

$\rho = \frac{m}{V} = \frac{\unit[178]{g} }{\unit[20]{cm^3} } = 8,9 \unit[]{\frac{g}{cm^3} }$

Die Dichte des Würfels beträgt $\unit[8,9]{g/cm^3}$ . Da Kupfer die gleiche Dichte besitzt, handelt es sich wahrscheinlich um einen Würfel aus Kupfer.

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Eine mögliche Lösung besteht darin zu überlegen, dass Kubick-Dezimeter gerade einem Liter entspricht:

$\unit[1]{dm^3} = \unit[1]{l}$

Quecksilber hat eine Dichte von $\unit[13,6]{kg/dm^3}$ , d.h. es passen $m = \unit[13,6]{kg}$ in ein Volumen $V = \unit[1]{l}$ . Nun steht in der $0,5$ -Liter-Flasche nur die Hälfte dieses Volumens zur Verfügung, so dass auch nur die Hälfte dieser Masse hinein passt – das sind $\unit[6,8]{kg}$ . Quecksilber der Masse $m = \unit[6]{kg}$ füllt die Flasche somit nicht aus.

Ein anderer Lösungsweg ergibt sich, indem man berechnet, welches Volumen die sechs Kilogramm Quecksilber einnehmen:

Aus der gegebenen Dichte $\rho = \frac{m}{V} = \unit[13,6]{kg/dm^3}$ des Quecksilbers und seiner Masse $m = \unit[6]{kg}$ lässt sich das Volumen des Quecksilbers bestimmen:

$\rho = \frac{m}{V} \qquad \Leftrightarrow \qquad V = \frac{m }{\rho }$

$V = \frac{m}{\rho } = \frac{\unit[6]{kg}}{ \unit[13,6]{{\frac{kg}{dm^3}} }} = \unit[0,441]{dm^3} = \unit[0,441]{l}$

Dieses Volumen ist kleiner als $0,5$ Liter, also kann man es in die Flasche füllen.

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Würde Glaswolle ausschließlich aus dem Glasgemisch bestehen, so würde sich aus der Dichte $\rho = \unit[2,5]{g/cm^3} = \unit[2500]{kg/m^3}$ bei einem Volumen von $V = \unit[1]{m^3}$ eine Masse von $m = \unit[2500]{kg}$ ergeben:

$\rho = \frac{m}{V} \quad \Leftrightarrow \quad m = \rho \cdot V \\ m = \unit[2500]{\frac{kg}{m^3} } \cdot \unit[1]{m^3} = \unit[2500]{kg}$

Tatsächlich wiegt ein Kubickmeter Glaswolle jedoch nur $\unit[100]{kg}$ . Das Glasgemisch kann somit – das Gewicht der Luft wird an dieser Stelle vernachlässigt – den entsprechenden Bruchteil des Volumens ausmachen:

$\frac{V_{\mathrm{Glasgemisch}}}{V_{\mathrm{gesamt}}} = \frac{100}{2500} = 0,04 = 4\%$

Der Anteil des Glasgemisches am Gesamtvolumen begrägt somit $4\%$ .

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Das Volumen $V = \unit[75,0]{cm^3}$ an Wasser, das aus dem Überlaufgefäß heraus fließt, entspricht dem Volumen des Holz-Blei-Klotzes.

Das Bleistück mit der Masse $m_{\mathrm{Pb}} = \unit[400]{g}$ und der Dichte $\rho_{\mathrm{Pb}} = \unit[11,3]{g/cm^3}$ hat alleine folgendes Volumen:

$V_{\mathrm{Pb}} = \frac{m_{\mathrm{Pb}}}{V_{\mathrm{Pb}}} = \frac{\unit[400]{g}}{\unit[11,3]{\frac{g}{cm^3} }} = \unit[35,4]{cm^3}$

Das restliche Volumen $V - V_{\mathrm{Pb}} = \unit[75,0]{cm^3} - \unit[35,4]{cm^3} = \unit[39,6]{cm^3}$ entspricht somit dem Volumen $V _{\mathrm{Holz}}$ des Holzstücks. Da die Masse $m_{\mathrm{Holz}} = \unit[27,5]{g}$ des Holzstücks ebenfalls bekannt ist, kann seine Dichte durch Einsetzen der Werte in die Dichte-Formel berechnet werden:

$\rho_{\mathrm{Holz}} = \frac{m_{\mathrm{Holz}}}{V_{\mathrm{Holz}}} = \frac{\unit[27,5]{g}}{\unit[39,6]{cm^3}} \approx \unit[0,69]{\frac{g}{cm^3} }$

Bei der Holzprobe könnte es sich nach Tabelle Dichte einiger Festkörper somit um Buche handeln.

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Das Volumen des Drahts ( $r = \unit[1,00]{mm} = \unit[0,10]{cm}$ ; $l = \unit[100]{m} = \unit[10\,000]{cm}$ ) kann mit Hilfe der Volumen-Formel für zylindrische Körper berechnet werden:

$V_{\mathrm{Draht}} = \pi \cdot r^2 \cdot l = \pi \cdot \unit[0,01]{cm^2} \cdot \unit[10\,000]{cm} \approx \unit[314]{cm^3}$

Die Masse des Kupferdrahts $m_{\mathrm{Draht}} = V_{\mathrm{Draht}} \cdot \rho_{\mathrm{Cu}} = \unit[314]{cm^3} \cdot \unit[8,9]{\frac{g}{cm^3}} = \unit[2795]{g}$ beträgt somit rund $\unit[2,8]{kg}$ .

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Die Masse des Schnees ist gleich dem Produkt aus seinem Volumen und seiner Dichte:

$m = \rho \cdot V = \unit[200]{\frac{kg}{m^3}} \cdot (\unit[3,00]{m} \cdot \unit[2,00]{m} \cdot \unit[0,25]{m}) = \unit[300]{kg}$

Die Schneelast hat somit eine Masse von $\unit[300]{kg}$ .

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